МЕТОД И АЛГОРИТМ ВЕЙВЛЕТ – ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В СИСТЕМЕ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ
асп.,
Московский политехнический университет
В статье предложен новый подход к обработке цифровых сигналов, основанный на совместном применении системы остаточных классов и вейвлетов конечного поля. В работе показана возможность построения высокоэффективных вейвлет – преобразований ортогональными вейвлет – фильтрами Добеши по алгоритму Малла на базе свертки, вычисленной в системе остаточных классов. Показано, как система остаточных классов с простыми модулями может быть использована для реализации цифровой обработки сигналов с применением вейвлетов конечного поля. Предложен принцип организации вычислений при вейвлет-обработке цифровых сигналов в системе остаточных классов. В данной статье показана эффективность комбинированного подхода при обработке цифровых сигналов с использованием вейвлет-преобразований и системы остаточных классов (СОК).
В последнее время большое внимание уделяется многомасштабным преобразованиям и их приложениям к обработке сигналов [3,5]. В данной статье предлагается метод совместного применения вейвлет – преобразования и системы остаточных классов в задачах цифровой обработки сигналов [1], позволяющей существенно повысить эффективность обработки данных. Вейвлет – преобразование – это хорошо разработанный математический аппарат кратномасштабного анализа сигналов [2].
В качестве средства анализа физических процессов вейвлет - функции имеют ряд привлекательных свойств. Преобразование Фурье, являющееся одним из основных средств такого анализа, не обладает свойством локализации во времени. Дельта-функция Дирака представляет собой функционал, ставящий в соответствие некой функции ее значение в данной точке. Такое преобразование абсолютно локализовано во времени, но при этом полностью теряется информация о частоте процесса. В этой ситуации мы сталкиваемся с проявлением закона типа квантового соотношения неопределенности, т. е. с невозможностью одновременно определить мгновенную частоту процесса и его значение в данный момент времени. Попытка уточнить один из этих параметров немедленно приводит к ухудшению наших знаний о другом параметре. Вейвлет-анализ по существу представляет собой семейство функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности и предоставляющих исследователю возможность гибкого выбора между ними. Фурье-анализ и его модификации (дискретное косинусное преобразование и пр.) такими свойствами не обладают [5,8].
Интегральное вейвлет-преобразование дает сходное частотно-временное описание с некоторыми существенными отличиями и представляет собой скалярное произведение сигнала s(t) и двухпараметрической вейвлет-функции 
заданного вида. Причем любая вейвлет-функция 
данного семейства получается из единственной материнской функции 
путем растяжения/сжатия и сдвига 
. Термин «материнский» означает, что функции с различной шириной носителя, используемые в преобразовании, порождаются одной базовой функцией – материнским вейвлетом. Интегральное вейвлет-преобразование функции 
имеет вид [2]:
где a – параметр временного масштаба, определяемый как (1/частота) и отвечающий за ширину вейвлета, b – параметр сдвига, определяющий положение вейвлета на оси времени.
Нормализация 
на множитель 
гарантирует, что интегральная энергия каждого вейвлета 
не зависит от а. Для вейвлет-преобразования анализирующая функция 
получается из одной материнской (или порождающей) функции 
, причем большие значения а соответствуют низким частотам, малые – высоким. Двухпараметрическая функция Sψ(a, b) дает информацию об изменении относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования. Масштаб является в определенном смысле аналогом частоты в Фурье-преобразовании. Однако в отличие от него каждому значению масштаба соответствует бесконечное количество сдвинутых друг относительно друга локализованных во времени вейвлет-функций. Довольно грубо можно представить вейвлеты как некоторые волновые функции (модулированные импульсами синусоиды), способные осуществлять преобразование Фурье не по всей временной оси, а локально по месту своего расположения [5]. Для этого, кроме изменения средней частоты, маленькие волны должны перемещаться к тому месту сигнала, в котором должно осуществляться локальное преобразование Фурье[8].
Сущность интегрального вейвлет-преобразования заключается в разбиение сигнала s(t) на масштабированные и сдвинутые по оси времени версии материнского вейвлета и вычислении коэффициентов корреляции участков исходного сигнала s(t) и версий вейвлета 
на заданном масштабе. В результате получается набор коэффициентов, показывающих, насколько поведение сигнала в данный момент времени похоже на поведение вейвлета на данном масштабе, т. е. вейвлет-коэффициенты отражают близость сигнала к вейвлету данного масштаба. Чем ближе вид анализируемого сигнала в окрестности данного момента времени к виду вейвлета, тем большую абсолютную величину имеет соответствующий коэффициент. Отрицательные коэффициенты показывают, что сигнал похож на зеркальное отражение вейвлета. Таким образом, данное представление зависит от параметра масштаба a и вида функции 
, причем вейвлет-коэффициенты содержат информацию об анализирующем вейвлете и анализируемом сигнале (рисунок 1).
Для вейвлет – преобразования функции f(x) необходимо вычислить серию коэффициентов {an, dn, dn-1,…, d1} an – аппроксимация функции, di – детализирующие коэффициенты функции, i=1,…, n. Каждый коэффициент находится интегрированием:
. (1.1)
. (1.2)
Возникает проблема вычисления большого количества интегралов с необходимой точностью. Следует также учитывать, что при высоком уровне разрешения J носители функций 
и 
становятся малыми порядка 1/2J [5].
Рисунок.1 Вейвлет-преобразование в плоскости время-частота:
а – пример базисных вейвлет-функций при различных масштабах: (а=2k, k=0,1,2);
б – условное изображение вейвлет-функций на заданном масштабе (заштрихованные прямоугольники)
Быстрое вейвлет – преобразование, предложенное Малла [9], позволяет решить эту проблему. Алгоритм Малла дает возможность вычислять коэффициенты вейвлет – разложения без интегрирования, используя алгебраические операции на основе свертки:
; i=1, 2,…, J
, (1.3)
, 
где 
и 
являются аппроксимирующими и детализирующими коэффициентами i-го уровня, а gk и hk (k=0,1,…,N-1) – коэффициенты низкочастотного и высокочастотного анализирующих фильтров, соответственно; xn – исходный сигнал; N – порядок фильтра.
Эти равенства обеспечивают быстрые алгоритмы вычисления вейвлет – коэффициентов (каскадные алгоритмы, алгоритмы Малла) [3]. Термин «быстрые» означает не только, что в выражениях (1.3) используются более быстрые алгебраические процедуры, но и то, что при каждом преобразовании общее число новых коэффициентов не увеличивается в два раза, а остается прежним.
Так как повышение производительности вычислительных систем за счет уменьшения размеров элементной базы вычислительной техники на нынешнем уровне развития технологии является проблематичным. В связи с этим, перспективным направлением представляется задача параллельной обработки данных. Одним из способов обеспечить максимальную параллельность вычислений является использование системы остаточных классов (СОК) (residue number system, RNS), как альтернативы традиционной позиционной системы счисления (ПСС) [1].
Выражение (1.3) предлагается вычислять в системе остаточных классов, тогда выбирая модуль pj свертка может быть выражена как [6,9]:
; i=1, 2,…, J
. (1.4)
, 
Система остаточных классов [6,7,10] и модулярные вычисления являются практически идеальным инструментом реализации линейной свертки, поскольку операции сложения, вычитания и умножения выполняются очень просто, а именно, если даны два числа A и B, представленные в системе остаточных классов (с набором взаимно простых оснований m1, m2,…,mL) следующим образом:
:
: 
, (1.5)
то
(1.6)
и
. (1.7)
Математические модели (1.5-1.7) вычисляются на основе использования нейронных сетей конечного кольца [4,6], число которых определяется рядом каналов по числу оснований, работающих независимо друг от друга и параллельно во времени. Если каждую нейронную сеть конечного кольца отожествить с отдельным основанием системы остаточных классов, то образованная совокупность каналов будет представлять собой арифметическое устройство выполняющее с большой эффективностью вейвлет – преобразование цифровых сигналов.
Для эффективной реализации операций вейвлет – преобразования по алгоритму Малла на основе свертки предлагается использовать математическую модель вычислительного объекта, оперирующую числами, представленными в системе остаточных классов. Итак, система остаточных классов является наиболее подходящей технологией для реализации высокоэффективного вейвлет – преобразования для задач цифровой обработки сигналов.
Литература
, Теория и применение цифровой обработки сигналов – Москва: Мир, 1978. Основы вейвлет-преобразования сигналов. Направление: Радиотехника: Учебное пособие. – М.: САЙНС-ПРЕСС, 2003 г. 80 с. ейвлет – анализ. Основы теории. – М.: Техносфера, 2006 г. 272 с. , , Модулярные параллельные вычислительные структуры нейропроцессорных систем. – М.: Физматлит, 2002. – 288 с. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. – М.: ДМК Пресс, 2005. – 304 с. , , Нейрокомпьютеры в остаточных классах. Книга 11: Учебное пособие. М.: Радиотехника, 2003 г. 272 с. Основы разработки модулярных нейрокомпьютеров для обработки сигналов. В сборнике: Технические науки в России и за рубежом. Материалы III Международной научной конференции. 2014. С. 34-38. , Повышение точности вейвлет-анализа звуковых сигналов // В сборнике: Информационно-телекоммуникационные системы и технологии. Всероссийская научно-практическая конференция. 2015. С. 224. , Развитие методов быстрого вейвлет – преобразования с помощью фильтров Добеши. Научные ведомости БелГУ. Серия: Информатика, Белгород: Издательство БелГУ, № 15(70), Выпуск 12/1 2009 г, с. 112-117. , Машинная арифметика в остаточных классах. – М.: Советское радио, 1968. – 440 с.
