Третий этап.
Правила приписывания значения термам.
Значение терма обусловлено выбором конкретной реализации языка ℑ =
<U, I> и выбором конкретного приписывания элементов U предметным переменным, т. е. выбором функции φ.
Покажем, как можно определить значение произвольного терма t в некоторой конкретной реализации ℑ = <U, I> при некотором приписывании значений предметным переменным φ. Для этого расширим область определения функции φ на все виды термов, и будем далее употреблять запись «|t|φ» как сокращение выражения «значение терма t в реализации ℑ при приписывании φ».
Согласно определению терма (см. §1 данной главы), t является: либо 1) некоторой предметной константой k, либо 2) некоторой предметной переменной α, либо 3) выражением вида Фn(t1, t2,..., tn), где Фn – n-местная предметно-функциональная константа, a t1, t2,..., tn – термы. Сформулируем правила установления значения терма t для каждого из этих трех случаев.
(Т1) Если t есть предметная константа k, то его значением в реализации ℑ при приписывании φ является тот индивид, который интерпретирующая функция I сопоставляет константе k, т. е.
|k|φ = I(k).
(Т2) Если терм t есть предметная переменная α, то его значением в ℑ при приписывании φ является тот индивид, который приписывается переменной α посредством φ, т. е.
|α|φ = φ(α).
(T3) Пусть t есть сложный терм Фn(t1, t2,..., tn). Для того, чтобы установить его значение в ℑ при приписывании φ, необходимо:
Результатом применения данной операции к указанным объектам как раз и является значением терма Фn(t1, t2,..., tn) в ℑ при приписывании φ, т. е.
|Фn(t1, t2,..., tn)|φ = [I(Фn)](|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ).
Приведем примеры установления значений термов в конкретной реализации и при конкретном приписывании значений предметным переменным.
Пусть область интерпретации U есть множество целых положительных чисел. Пусть интерпретирующая функция I сопоставляет предметной константе а число 2, одноместной предметно-функциональной константе f – операцию возведения в квадрат, а двухместной предметно-функциональной констант g – операцию сложения. Пусть также предметной переменной у функция φ приписывает значение 1, т. е. φ(у) = 1. Определим, какими значениями в указанной реализации ℑ и при указанном приписывании φ обладают следующие термы: (а) а; (б) у; (в) f(a); (г) g(у, a); (д) f(g(y, a)); (e) g(f(a), y).
(а) Поскольку a – предметная константа, значением данного терма, согласно пункту (Т1), является объект, сопоставленный функцией I константе а, т. е. число 2. Итак, |a|φ = I(а) = 2.
(б) Поскольку у – предметная переменная, то значением данного терма, согласно пункту (Т2), является значение, которое φ приписывает переменной у,
т. е. число 1. Таким образом, |у|φ = φ(у) = 1.
(в) Установим значение сложного терма f(a). Предметно-функциональной константе f в нашей возможной реализации сопоставлена операция возведения в квадрат; значением терма а, как было показано в примере (а), является 2. Действуя в соответствии с пунктом (ТЗ), мы должны применить операцию I(f) к аргументу |а|φ, т. е. возвести в квадрат число 2. Полученное в результате этого число 4 является искомым значением терма f(a). Итак, |f(а)|φ = [I(f)](|а|φ) = 22 = 4.
(г) Установим значение сложного терма g(y, а). Предметно-функциональной константе g в нашей возможной реализации сопоставлена операция сложения. Значениями термов у и а, как было показано в примерах (б) и (а), являются, соответственно, числа 1 и 2. Чтобы вычислить значение g(y, а), мы должны, согласно пункту (ТЗ), применить операцию I(g) к аргументам |у|φ и |а|φ, т. е. сложить 1 и 2. В результате получим число 3, которое и является значением терма g(y, а). Таким образом, |g(y, а)|φ = [I(g)](|у|φ, |а|φ) = 1 + 2 = 3.
(д) Для того чтобы установить значение терма f(g(y, а)), необходимо применить операцию I(f), т. е. операцию возведения в квадрат, к объекту |g(y, а)|φ. Но значением g(y, а), как было показано в примере (г), является число 3. Поэтому возводим в квадрат число 3 и получаем число 9, которое и является значением терма f(g(y, а)). Таким образом, |f(g(y, а))| φ = [I(f)]([I(g)](|у|φ, |а|φ)) = 32 = 9.
(e) Для того чтобы установить значение терма g(f(a), у), необходимо сложить значения термов f(a), и у, т. е. числа 4 и 1 (см. примеры (в) и (б)). Таким образом, значением g(f(a), у) является 4 + 1, т. е. число 5.
Итак, мы показали, как определяются значения термов в конкретной реализации и при конкретном приписывании φ значений предметным переменным.
Четвертый этап.
Правила приписывания значений формулам.
Значениями формул в возможной реализации ℑ = <U, I> при произвольном приписывании φ являются такие объекты, как «истина» и «ложь». Сформулируем теперь условия истинности и ложности произвольных формул в реализации ℑ при φ. В дальнейшем в качестве сокращения для выражения «значение формулы F в реализации ℑ при приписывании значений предметным переменным φ» будем использовать запись вида «|F|φ». Указание на приписывание φ здесь особенно важно, постольку поскольку при установлении истинности или ложности формул вида ∀αA и ∃αА приходится определять значения подформул, входящих в эти формулы, варьируя исходное приписывание значений предметным переменным. Указанная процедура будет осуществляться в рамках одной и той же возможной реализации, в силу чего в записи «|F|φ» опущены параметры U и I.
В соответствии с приведенным выше определением понятия формулы (см. §1 данной главы), их (формулы) можно разбить на три группы: это, во-первых, элементарные формулы – выражения вида Пn(t1, t2,..., tn), где Пn – n-местная предикаторная константа, a t1, t2,..., tn – термы; во-вторых, сложные формулы, главным знаком которых является пропозициональная связка, – это выражения видов ¬A, (А & В), (A ∨ В) и (А ⊃ В), где А и В – формулы; и в-третьих, сложные формулы, главным знаком которых является квантор, – это выражения видов ∀αA и ∃αА, где α – предметная переменная, а А – произвольная формула.
Условия истинности и ложности элементарных формул.
(F1) Пусть F будет элементарной формулой Пn(t1, t2,..., tn). Чтобы установить ее значение в возможной реализации ℑ при приписывании φ, надо:
выяснить, какое именно подмножество множества Un сопоставляется предикаторной константе Пn, т. е. найти I(Пn); определить, какие значения принимают в данной реализации при данном приписывании φ наши термы t1, t2,..., tn, т. е. найти |t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ; и наконец, установить, является ли полученная таким образом последовательность объектов <|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ> элементом множества I(Пn).Если данная последовательность принадлежит указанному множеству, то формула Пn(t1, t2,..., tn) принимает значение «истина», в противном случае оно примет значение «ложь». Таким образом,
|Пn(t1, t2,..., tn)|φ = и ⇔ <|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ> ∈ I(Пn),
|Пn(t1, t2,..., tn)|φ = л ⇔ <|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ> ∉ I(Пn).
Для разъяснения данного определения рассмотрим конкретную возможную реализацию ℑ и конкретное приписывание предметным переменным φ, которые использовались ранее в примерах (а)-(е). Договоримся, что одноместной предикаторной константе Р интерпретирующая функция I сопоставляет множество четных чисел, а двухместной предикаторной константе Q – множество таких пар целых положительных чисел, первое из которых больше второго. Определим, какие значения в ℑ при φ принимают элементарные формулы (ж) Q(f(a), у) и
(з) P(g(y, a)).
(ж) Чтобы установить значение формулы Q(f(a), у) в данной реализации при данном приписывании, необходимо, согласно (F1), ответить на вопрос, принадлежит ли пара <|f(a)|φ, |у|φ> множеству I(Q). В примерах (в) и (б) было установлено, что значениями термов f(a) и у при приписывании φ являются, соответственно, числа 4 и 1. В данной модели I(Q) есть множество таких пар чисел, первое из которых больше второго. Пара <4, 1> принадлежит этому множеству, так как 4 больше 1. Поэтому |Q(f(а), у)|φ = и.
(з) Для установления значения формулы P(g(y, а)) следует выяснить, принадлежит ли значение терма g(y, а) множеству I(Р). В примере (г) было показано, что |g(y, а)|φ = 3. В нашей реализации I(Р) есть множество четных чисел. Поскольку число 3 не является четным, формула P(g(y, а)) примет значение л в ℑ при приписывании φ.
Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых является пропозициональная связка.
Значения сложных формул видов ¬A, (А & В), (A ∨ В) и (А ⊃ В) в произвольной возможной реализации при произвольном приписывании значений предметным переменным обусловлены тем, какие значения в той же реализации при том же приписывании принимают их подформулы А и В. Таким образом, установив значения А и В в реализации ℑ при приписывании φ, мы можем однозначно определить, какими – истинными или ложными – в этой реализации при этом приписывании являются формулы ¬A, (А & В), (A ∨ В) и (А ⊃ В).
Сформулируем условия истинности и ложности формул указанных типов, опираясь на смысл пропозициональных связок ¬, &, ∨, ⊃, зафиксированный в предыдущих главах.
(F2) |¬А|φ = и ⇔ |А|φ = л.
|¬А|φ = л ⇔ |А|φ = и.
(F3) |А & В|φ = и ⇔ |А|φ = и и |В|φ = и.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
