Интерпретация и логические отношения в логике предикатов (стр. 1 )

Интерпретация и логические отношения в логике предикатов

Интерпретация языка логики предикатов

Приступим к формулировке в рамках построенного формализованного языка логической теории – классической логики предикатов первого порядка.

Формулы и термы языка исчисления предикатов первого порядка представляют собой чисто синтаксические объекты, которые имеют только логическое содержание, но не имеют содержания конкретного. Иначе говоря, имея дело с термами и формулами языка, мы не знаем о каких объектах они нечто говорят и что именно говорят. Чтобы это стало известно необходимо осуществить интерпретацию различных синтаксических конструкций нашего языка.

Под интерпретацией языка имеют в виду приписывание значений выражениям языка.

Чтобы была понятна процедура приписывания значений выражениям языка, мы представим ее поэтапно.

Первый этап.

На этом этапе происходит задание класса допустимых значений нелогических символов языка. Суть данной процедуры – указать, объекты каких типов могут быть сопоставлены в качестве значений нелогическим символам различных категорий. Например, в классической логике высказываний каждой пропозициональной переменной может быть сопоставлен только один из двух абстрактных объектов – «истина» или «ложь».

Нелогические символы логики предикатов первого порядка можно подразделить на два класса. К первому относятся константы (предметные, предметно-функциональные и предикаторные). Они выступают в качестве параметров определенных терминов естественного языка и не могут связываться кванторами. Вторую группу составляют переменные. В первопорядковом языке имеется только один их тип – предметные (индивидные) переменные. Они могут связываться кванторами, а их свободные вхождения не являются, с содержательной точки зрения, параметрами конкретных имен, а выполняют функцию неопределенных местоимений, которые можно заменять разными именами.

Отмеченные различия констант и переменных будет существенно учитываться при заданий процедуры интерпретации. Приписывание значений этим нелогическим символам осуществляется таким образом, что при фиксированной интерпретации констант допускается варьирование значений предметных переменных.

Процедуре интерпретации параметров языка предшествует выбор возможной реализации языка. Последний состоит, во-первых, в выборе непустого множества предметов U, называемого областью интерпретации или универсумом рассуждения. Условие непустоты U (т. е. наличие в нем по крайней мере одного элемента) является единственным требованием, предъявляемым к области интерпретации. Таким образом, в классической логике предикатов в качестве универсума рассуждения может выступать произвольное непустое множество (например, множество натуральных чисел, множество людей, множество городов, множество химических элементов и т. д.).

Во-вторых, приписывание значений нелогическим константам языка осуществляется с помощью выбора особой семантической функции I, называемой интерпретирующей функцией. Она сопоставляет каждой нелогической константе некоторый объект, заданный на области интерпретации U, причем константам различных категорий должны сопоставляться объекты различных типов. Отметим, что при интерпретации любая константа формализованного языка должна получить тот же тип значения, что и выражение соответствующей категории естественного языка. Поэтому функция I задается таким образом, что значения предметных констант оказываются однотипными со значениями имен, значения предметно-функциональных констант – со значениями предметных функторов, а значения предикаторных констант – со значениями предикаторов.

Интерпретация предметных констант.

Предметные константы, как уже говорилось, являются параметрами имен естественного языка. Значениями имен являются отдельные предметы, индивиды. Поэтому предметным константам в качестве значений также должны приписываться индивиды, но не любые, а те, которые содержатся во множестве U. Так, если U есть множество людей, то функция I может приписать в качестве значения предметной константе а, например, Аристотеля, а константе b – также Аристотеля или какого-либо другого человека, скажем Сократа. Таким образом:

Функция I сопоставляет каждой предметной константе k произвольный элемент множества U, т. е.

I(k) ∈ U,

где k – метапеременная, пробегающая по предметным константам языка.

Интерпретация предикаторных констант. 

Предикаторные константы являются параметрами предикаторов естественного языка. Выше отмечалось, что значениями предикаторов можно считать множества (классы) объектов, причем элементами множеств, представляемых одноместными предикаторами, являются индивиды, двухместными предикаторами – пары индивидов, трехместными предикаторами – тройки индивидов и
т. д. Предикаторным константам приписываются значения того же типа, только это приписывание релятивизируется относительно области интерпретации U.

Одноместной предикаторной константе функция I сопоставляет произвольное множество элементов универсума U, т. е. значением одноместной предикаторной константы является некоторое подмножество множества U. Так, если U есть множество городов, то константе Р1 функция I может приписать, например, 1) пустое множество (например, множество городов, расположенных на северном полюсе), 2) множество российских городов, 3) множество городов с населением более 1 млн. человек, и даже 4) множество всех городов (ведь любое множество является подмножеством самого себя).

Двухместной предикаторной константе функция I сопоставляет произвольное множество пар, состоящих из элементов U, т. е. некоторое подмножество множества U2 – второй декартовой степени множества U. Если U есть множество городов, то константе Q2 может быть сопоставлено, например, 1) множество таких пар городов, первый из которых расположен севернее второго, 2) множество таких пар городов, первый из которых превосходит по населению второй. Пара городов <Санкт-Петербург, Москва> принадлежит первому из указанных множеств, поскольку Санкт-Петербург действительно расположен севернее Москвы, но не принадлежит второму множеству, так как Санкт-Петербург не превосходит по населению Москву.

Трехместной предикаторной константе сопоставляется некоторое множество троек, состоящих из элементов области интерпретации U. Иначе говоря, значением такой константы является произвольное подмножество множества U3 – третьей декартовой степени множества U. Например, предикаторной константе R3 в случае, если U – множество городов, может быть сопоставлено множество таких троек городов, первый из которых расположен между вторым и третьим. В состав данного множества войдет, скажем, тройка <Москва, Киев, Нижний Новгород>, поскольку Москва расположена между Киевом и Нижним Новгородом, но не войдет тройка <Киев, Москва, Нижний Новгород>, ведь Киев не расположен между Москвой и Нижним Новгородом. Итак, в общем случае значением n-местной предикаторной константы будет некоторый подкласс множества Un (n-ной декартовой степени U), который представляет собой класс всевозможных n-ок, составленных из элементов U:

Каждой n-местной предикаторной константе Пn функция I сопоставляет в качестве значения произвольное множество упорядоченных последовательностей, состоящих из п таких объектов, которые являются элементами универсума U, т. е.

I(Пn) ⊆ Un.

Интерпретация предметно-функциональных констант.

Предметно-функциональные константы – это параметры предметных функторов естественного языка. Последние репрезентируют (представляют) функции, аргументами и значениями которых являются индивиды. Поэтому в логике предикатов при интерпретации предметно-функциональных констант им также будут сопоставляться предметные функции соответствующей местности, только релятивизированные относительно универсума рассмотрения U, т. е. аргументами и значениями указанных функций будут являться элементы множества U.

Если в качестве универсума U выбрано множество натуральных чисел, то одноместной предметно-функциональной константе f1 интерпретационная функция I может, например, сопоставить операцию возведения в квадрат, поскольку эта операция, во-первых, является одноместной и, во-вторых, ее можно задать на множестве натуральных чисел, ведь квадрат любого натурального числа сам является числом натуральным. При том же универсуме двухместной предметно-функциональной константе g2 может быть сопоставлена операция сложения, поскольку она является двухместной и сумма любых двух натуральных чисел есть натуральное число. Итак:

Каждой n-местной предметно-функциональной константе Фn интерпретационная функция I сопоставляет некоторую n-местную функцию η, аргументами и значениями которой являются элементы множества U, т. е.

I(Фn) = η:Un  → U.

Описание процедуры интерпретации нелогических констант языка логики предикатов завершено. Подведем итог сказанному:

Возможной реализацией языка называется любая пара ℑ = <U, I> такая, что U – непустое множество, а I – функция, удовлетворяющая следующим условиям:

(1) I(k) ∈ U,

(2) I(Пn) ⊆ Un,

(3) I(Фn) = η:Un  → U.

Существует бесконечное множество возможных реализаций языка логики предикатов. Они отличаются друг от друга выбором универсума рассуждения U и интерпретирующей функции I. Выбрав U и I, мы тем самым строго фиксируем возможную реализацию языка, а потому можем фиксировать и значения дескриптивных констант языка – индивидных констант, функторов и предикаторов.

Второй этап.

Интерпретация индивидных переменных.

Рассмотрим теперь, как приписываются значения предметным переменным. Эта процедура также будет релятивизирована относительно универсума U и связана с выбором особой функции φ – функции приписывания значений индивидным переменным.

Каждой предметной переменной в качестве значения функция φ приписывает произвольный элемент множества U, т. е.

φ(α) ∈ U,

где α – произвольная предметная переменная.

Обратим внимание на то, что с одной и той же возможной реализацией языка ℑ = <U, I> могут быть связаны различные функции приписывания значений индивидным переменным, что и будет в конечном итоге вести к варьированию значений индивидных переменных при фиксированной интерпретации констант. При этом две такие функции считаются различными, если они хотя бы одной переменной приписывают разные значения.