Численные методы. Материалы к занятиям. Тема 1. Ошибки (стр. 3 )

Величина  относительной ошибки (без учета знака) выразится так:

Поскольку мы условились, что t есть число значащих цифр в любом действительном числе, то этот результат можно трактовать следующим образом: при использовании правила отбрасывания максимальная относительная ошибка округления действительного числа не зависит от величины этого числа, а зависит только от количества значащих цифр в ячейке памяти компьютера. Таким образом, получается твердая оценка величины относительной ошибки для вычисле­ний с действительными числами.

Более общепринятый способ округления, так называемое симметричное округление, можно описать следующим обра­зом: если две части арифметического результата обозначены так же, как и раньше, то округленный результат записы­вается так:

где имеет тот же знак, что и .

Прибавление во второй строке формулы соответствует прибавлению 1 к самому младшему разряду, если отброшенное число начинается с цифры 5 или с большей.

Если , то абсолютная ошибка равна

Если , то абсолютная ошибка равна

В обоих случаях умножается на число, не большее 1/2 по абсолютной величине. Максимально возможное значе­ние модуля абсолютной ошибки для этого способа округ­ления составляет

Теперь легко найти максимально возможную относи­тельную ошибку:

Иногда применяется более точное правило округления, учитывающее случай g = 1/2: fy не изменяется, если ее последняя цифра четная, и округляется, если эта цифра нечетная. Это несколько усложняет систему и редко исполь­зуется.

Чтобы проиллюстрировать разницу между двумя способами округления, рассмотрим следующую арифметическую операцию

у = 0.7324·103 + 0.8261·

Для случая отбрасывания

  и

В случае симметричного округления

  и

Ошибка симметричного округления в этом примере существенно меньше ошибки отбрасывания. Вообще, ошиб­ка симметричного округления никогда не превосходит ошиб­ки отбрасывания и в среднем вдвое меньше последней.

И та и другая ошибки гораздо меньше своих максималь­но возможных значений (10~3 для отбрасывания и для симметричного округления). Может случиться даже так, что ошибка округления будет равна нулю. Вообще говоря, обычно бывает известен только верхний предел возможной ошибки, но не она сама. Для полной уверенность всегда необходимо предполагать самое худшее, т. е. ситуацию, когда ошибка равна своему верхнему пределу.

Более близкий к истине результат можно получить, введя некую «среднюю» ошибку и пользуясь методами математической статистики для определения наиболее вероятной величины ошибки в вычислениях.

Рассмотрение ошибок округления проведено здесь для действительных десятичных чисел. Многие компьютеры работают с действительными двоичными числами, т. е. с числами, основанием которых является число 2, а не число 10. В таком случае каждое действительное число будет представлен в виде двоичной дроби, умноженной на целую степень 2:

Анализ, подобный тому, который был проведен для десятичных чисел, позволяет показать, что максимально возможные значения ошибок округления составляют отбрасывания и для симметричного округления. Некоторые компьютеры работают с шестнадцатеричными числами, т. е. с числами, построенными по основанию 16. В этом случае максимальные ошибки составляют отбрасывания и для симметричного округления.

Распространение ошибок

Одним из наиболее важных вопросов в численном анализе является вопрос о том, как ошибка, возникшая в определенном месте в ходе вычислений, распространяется дальше, т. е. становится ли ее влияние больше или меньше по мере того, как производятся последующие операции. Крайним случаем является вычитание двух почти равных чисел: при очень маленьких ошибках обоих этих чисел относительная ошибка разности может оказаться очень большой. Эта большая относительная ошибка будет распространяться дальше при выполнении всех последующих арифметических операций.

В качестве первого шага при рассмотрении этого важного вопроса необходимо найти выражения для абсолютной и относительной ошибок результата каждого из четырех арифметических действий как функции величин, участвующих в операции, и их ошибок.

Сложение

Имеются два приближения к двум величинам x и y, а также соответствующие абсолютные ошибки .  В результате сложения имеем

х + y =   =   + (ех + еу)

Ошибка суммы, будет:   

Вычитание

Тем же путем получаем:   

Умножение

При умножении имеем

=(  +   + +