Численные методы. Материалы к занятиям. Тема 1. Ошибки (стр. 1 )

ОШИБКИ

Анализ ошибок в численном результате должен являться непременной составной частью любого серьезного вычисле­ния, независимо от того, производится это вычисление вруч­ную или с помощью компьютера. Исходная информация очень редко является точной, так как часто исходные величины являются экспериментальными данными или основаны на приблизительных оценках. Кроме того, сами процессы вычислений могут вносить в результат различного рода ошибки. Поэтому, прежде чем начать систематическое изу­чение ошибок, убедимся на нескольких примерах в важно­сти такого изучения.

Найдём один из корней уравнения х2 + 0.4002 х + 0.00008 = 0, используя вычисления с точностью до 4-й значащей цифры. Используя обычную формулу , получаем ответ (- 0.00015).  Формула обычно приводит­ся в курсах алгебры без всяких оценок точности, однако ограничение точности вычислений четырьмя значащими цифрами приводит к тому, что результат имеет ошибку 25%; правильный корень, найденный при вычислениях с восемью значащими цифрами, равен (- 0.0002).

В данном случае камнем преткновения оказалась четы­рехзначная арифметика, но даже восемь значащих цифр не всегда решат все проблемы. Рассмотрим ряд Тейлора для синуса:

Считается, что этот ряд годится для любого конечного угла, а  ошибка, происходящая от ограничения ряда конечным числом членов, не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Все это было бы справедливо, если бы существовал способ производить арифметические вычисления с бесконечным числом значащих цифр. На практике при вычислениях на компьютере степенной ряд для синуса становится совершенно бесполезным при больших значениях аргумента и дает бессмысленные результаты. Предположим, что нужно вычислить синус 1470° (приблизительно 25.7 радиан) и мы намерены производить вычисления с восемью значащими цифрами и остановиться тогда, когда очередной член ряда будет по абсолютной величине меньше 10-8. Выданный машиной результат будет равен 24.25401855, с большим числом десятичных знаков и лишенным  всякого смысла. Даже если производить вычисления с 16 значащими цифрам, то вместо синуса 2550° машина выдаст число 29.5.

К счастью для синуса задача решается весьма просто. Вспомним, что для целого n

при этом   

Таким образом, отнимая некоторое число, кратное ?, можно свести задачу нахождения синуса произвольного угла  к задаче нахождения синуса угла, лежащего между и .

Делая подстановку    сводим диапазон значений аргумента к .

Далее используют ряд

На практике уменьшение аргумента не производится последовательным вычитанием. Вместо этого первоначальный угол делится на  ?, причем деление организовано так, что частное получается целым.

Остаток от деления будет представлять собой некоторый угол, заключенный между 0 и ?. Если остаток больше , то ещё одно вычитание дает угол между и . Целое частное от деления исходного угла на ? используется для того, чтобы определить, следует ли изменить знак окончательного результата (при нечетном делении).

В приведенных выше примерах трудности были обусловлены тем, что вычисления производились с конечным числом значащих цифр. Существуют и другого рода источники ошибок.

Например, рассмотрим следующую систему ура нений:

5х—331y= 3.5

6х—397у = 5.2

Довольно легко найти «точное» решение этой систем! х = 331.7, у = 5.000, причем решение может быть найдено вручную с любым нужным количеством значащих цифр.

Попытаемся оценить количество достоверных значащих цифр в этом решении. Проверим сначала, что случится, если константу в правой части второго уравнения изменить с 5.2 до 5.1, т. е. приблизительно на 2%. При этом решение системы становится равным х = 298.6, у =4.5. Этот факт может вызвать беспокойство: изменение исходной величины на 2% приводит к изменению результата на 10% !

Еще более поразительно то, что если подставить в уравнение

х =358.173, у = 5.4, то при округлении вычисленные значения левых частей дадут те же самые правые части, что и в исходной системе уравнений. По-видимому, в этом случае можно считать, что величины х и у имеют не больше одной достоверной значащей цифры.

В данном случае неточность результата не зависит от ко­личества значащих цифр, все вычисления были проделаны точно. Причина неточности в данном случае — малая вели­чина определителя системы уравнений. Геометрически это означает, что две прямые линии, представленные указанны­ми уравнениями, почти параллельны.

Наконец, рассмотрим интеграл .

Этот интеграл легко вычислить точно; его значение равно 4.00. Если же произвести численное интегрирование, вос­пользовавшись формулой трапеций и разбив интервал инте­грирования на 10 частей, то результат будет равен 5.3. Даже разбивая интервал на 40 частей, получаем 4.13, т. е. ошиб­ку приблизительно в 3%.

На этот раз причиной трудностей является поведение подынтегральной функции, сильно возрастающей при умень­шении х, а также неточная формула для численного инте­грирования. В данном случае даже точные исходные данные и точные вычисления приводят к ошибке, обусловленной численным методом.

Из приведенных примеров становится ясно, что без анализа ошибок вычисления нельзя сказать что-либо определенное относительно точности результата. Иногда, конечно, можно уже при составлении программы быть уве­ренным, что никаких специфических проблем, связанных с точностью результата, в задаче не встретится, но такие случаи являются скорее исключением, чем правилом.

Изложенный материал представляет инте­рес при анализе результатов простых арифметических вычислений. На основе этого материала в дальнейшем будет проводиться анализ ошибок различных численных методов. Анализ ошибок — это как раз тот раздел, с которого начинается изучение численных методов.

Относительные и абсолютные ошибки

Относительные и абсолютные ошибки определяются следующим образом.

Абсолютная ошибка есть разность между истинным значением величины (считая это истинное значение известным) и ее приближенным значением. Обычно приближенное значение некоторой величины, или приближение, обозначается тем же символом, что и точное значение только сверху этого символа ставится черта; ошибка же обозначается буквой е с символом приближаемой величины вместо индекса. Таким образом, если точное значение равно  х, то мы должны написать

Здесь ех есть абсолютная ошибка, определяемая как разность между точным значением и приближением:

Относительная ошибка определяется, как отношение абсолютной ошибки к приближению.

Казалось бы, что более естественно определить ее, как отношение абсолютной ошибки к точному значению, но обычно точное значение неизвестно. Все, что обычно бывает известно,  - приближенное значение величины и оценка ошибки или границы максимально возможной величины ошибки. Если ошибка мала, то разница в определениях не скажется на численной величине относительной ошибки.

Для величин, близких по значению к единице, абсолютная и относительная ошибки почти одинаковы. Для очень больших или для очень малых величин относительная и абсолютная ошибки представляются совершенно разными числами.

Так, если точное значение некоторой величины равно 0.00006, а приближенное значение равно 0.00005, то абсолютная ошибка составляет всего 10-5, в то время как относительная ошибка составляет 0.2, или 20%.

С другой стороны, если точное значение равно 100500, а приближенное значение равно 100000, то абсолютная ошибка  составляет 500, хотя относительная ошибка составляет всего 0.005, или 0.5%.

Необходимо всегда указывать, какая ошибка имеется в виду - абсолютная или относительная,  если это не яс­но из условий задачи или из контекста.

Ошибки, содержащиеся в исходной информации

В процессе численного решения некоторой задачи при­ходится иметь дело с тремя основными видами ошибок: ошибками, содержащимися в исходной информации, ошиб­ками, возникающими при ограничении бесконечного мате­матического процесса конечным числом операций (ошибки ограничения), и ошибками, возникающими в результате необходимости представлять число в виде конечной после­довательности цифр (ошибки округления). Каждую из этих ошибок можно представить в абсолютной и относительной форме.

Ошибки в исходной информации возникают в результате неточности измерений, грубых просмотров или из-за невоз­можности представить необходимую величину конечной дробью.

Всякое физическое измерение, будь то измерение рас­стояния, напряжения или интервала времени, не может быть выполнено абсолютно точно. Если, например, указано, что величина напряжения составляет 6.4837569в, то можно с уверенностью сказать, что, по меньшей мере, несколько младших значащих цифр недостоверны, потому что невоз­можно измерить напряжение с такой точностью.

Если же экспериментальный результат содержит небольшое коли­чество значащих цифр (например, промежуток времени в 2.0003 сек), то можно быть абсолютно уверенным в том, что эта  величина дана с некоторой ошибкой, так как лишь случайно величина интервала времени может составить 1 точности 2.0003 сек.