Пьер Симон Лаплас. Опыт философии теории вероятностей (стр. 4 )

Въ спеціальныхъ судахъ, гд? пяти голосовъ изъ восьми достаточно для осужденія обвиняемаго, в?роятность ошибки, которой можно опасаться относительно мягкости приговора, равна 65/256, или выше 1/4. Величина этой дроби ужасна; однако отчасти примиряющимъ должно являться то соображеніе, что чаще всего судья, который оправдываетъ обвиняемаго, не смотритъ на него какъ на невиннаго: онъ только объявляетъ, что противъ обвиняемаго н?тъ уликъ, достаточныхъ для его осужденія.

Въ суд? присяжныхъ изъ дв?надцати членовъ, при большинств?, требуемомъ для осужденія, въ восемь голосовъ изъ дв?надцати, в?роятность ошибки, которой можно опасаться, равна 1093/8192, или немного бол?е одной восьмой. В?роятность р?шеній слишкомъ слаба въ нашихъ судахъ присяжныхъ, и, по моему мн?нію, для достаточнаго огражденія невиновности, сл?дуетъ требовать по крайней м?р? большинства девяти голосовъ изъ дв?надцати.

О выгодахъ предоставляемыхъ учрежденіями, основанными на в?роятности событій

Страхованія морскія, отъ пожаровъ и отъ бури и вообще вс? установленія этого рода исчисляются на основаніи т?хъ же принциповъ. Купецъ им?етъ на мор? суда и желаетъ застраховать ихъ стоимость и стоимость ихъ груза отъ опасностей, которымъ они могутъ подвергнуться; съ этою ц?лью онъ вручаетъ изв?стную сумму какому-либо обществу, которое отв?чаетъ согласно оц?нк? за стоимость его груза и судовъ. Отношеніе этой стоимости къ сумм?, которую сл?дуетъ заплатить въ качеств? преміи страхованія, зависитъ отъ опасностей, которымъ подвергаются суда, и можетъ быть оц?нено не иначе, какъ посредствомъ многочисленныхъ наблюденій надъ судьбою судовъ, отправившихся изъ порта по тому же назначенію.

Если бы застрахованныя лица платили страховому обществу только сумму, указанную исчисленіемъ в?роятностей, то это общество не могло бы нести расходовъ, связанныхъ съ его учрежденіемъ; необходимо поэтому, чтобы они платили бол?е высокую премію страхованія. Но какова въ такомъ случа? ихъ выгода? Зд?сь становится необходимымъ разсмотр?ніе нравственной невыгоды, связанной съ неизв?стностью. Понятно, что если самая справедливая игра становится невыгодной, потому что игрокъ м?няетъ в?рную ставку на нев?рный выигрышъ, страхованіе, въ которомъ нев?рное м?няется на в?рное, должно быть выгодно.

Товарищества взаимнаго страхованія, когда они состоятъ изъ очень большого числа лицъ, выгодн?е для страхователей, ч?мъ страховыя общества, которыя изъ-за получаемой ими прибыли нравственную выгоду предоставляютъ всегда меньшую математической.

Объ иллюзіяхъ въ оц?нк? в?роятностей

Умъ им?етъ свои иллюзіи, какъ чувство зр?нія; и подобно тому, какъ осязаніе исправляетъ эти посл?днія, разсужденіе и исчисленіе исправляютъ первыя.

Урна содержитъ четыре шара черныхъ или б?лыхъ, которые однако не вс? одного цв?та. Вынули одинъ изъ шаровъ, б?лаго цв?та, и положили его обратно въ урну, чтобы приступить снова къ подобному же тиражу. Спрашивается в?роятность того, что при четырехъ сл?дующихъ тиражахъ будутъ появляться только черные шары.

Если бы число б?лыхъ и черныхъ шаровъ было одинаково, эта в?роятность была бы четвертою степенью в?роятности 1/2 изъятія чернаго шара при каждомъ тираж?; сл?довательно она равнялась бы 1/16. Но изъятіе б?лаго шара при первомъ тираж? указываетъ на преобладаніе числа б?лыхъ шаровъ въ урн?; ибо, если предположить, что въ урн? три б?лыхъ шара и одинъ черный, то в?роятность изъятія изъ нея б?лаго шара равна 3/4; она равна 2/4, если предположить что въ ней два б?лыхъ шара и два черныхъ; наконецъ она сводится къ 1/4, если предположить, что въ урн? три черныхъ шара и одинъ б?лый. Согласно принципу в?роятности причинъ, извлеченной изъ опыта, в?роятности этихъ трехъ предположеній относятся между собою какъ количества 3/4, 2/4, 1/4; сл?довательно, он? равны 3/6, 2/6, 1/6.

Такимъ образомъ пять шансовъ противъ одного за то, что число черныхъ шаровъ уступаетъ или, самое большее, равно числу б?лыхъ. Кажется, судя по изъятію б?лаго шара при первомъ тираж? что в?роятность изъятія подрядъ четырехъ черныхъ шаровъ должна была бы быть меньше, ч?мъ въ случа? равенства обоихъ цв?товъ, или мен?е одной шестнадцатой. Между т?мъ этого н?тъ и помощью очень простого вычисленія находимъ, что эта в?роятность больше одной четырнадцатой. Въ самомъ д?л? она была бы равна четвертой степени 1/4, 2/4, 3/4 при первомъ, второмъ и третьемъ предыдущихъ предположеніяхъ относительно цв?та шаровъ въ урн?. При умноженіи соотв?тственно каждой степени на в?роятность соотв?тствующаго предположенія, или на 3/6, 2/6 и 1/6, сумма произведеній будетъ в?роятностью изъятія подрядъ четырехъ черныхъ шаровъ. Такимъ образомъ им?емъ для этой в?роятности 29/384 дробь, большую, ч?мъ 1/14.

Это противор?чіе объясняется, если примемъ во вниманіе, что указаніе перваго тиража на преобладаніе б?лыхъ шаровъ надъ черными вовсе не исключаетъ преобладанія черныхъ шаровъ надъ б?лыми, — преобладанія, исключаемаго предположеніемъ равенства того и другого цв?та. А это преобладаніе, хотя мало правдоподобное, должно сд?лать в?роятность появленія подрядъ даннаго числа черныхъ шаровъ большею, ч?мъ при посл?днемъ предположеніи, если данное число значительно; и мы видимъ, что такъ и будетъ начиная съ четырехъ.

Внутренніе образы не являются д?йствіями одной только причины; они вытекаютъ либо изъ впечатл?ній, полученныхъ одновременно однимъ и т?мъ же, или различными органами чувствъ, либо изъ внутреннихъ впечатл?ній, вызванныхъ памятью. Взаимное вліяніе этихъ впечатл?ній является психологическимъ принципомъ, богатымъ посл?дствіями.

Пусть наблюдатель, находящійся въ совершенной темнот?, видитъ два св?тящихся шара одного и того же діаметра на разныхъ разстояніяхъ: они покажутся ему неодинаковой величины. Ихъ внутренніе образы будутъ пропорціональны соотв?тствующимъ изображеніямъ, запечатл?вшимся на с?тчатк?. Но если, по прекращеніи темноты, онъ увидитъ одновременно съ шарами все промежуточное пространство, то это зр?лище увеличиваетъ внутренній образъ бол?е удаленнаго шара и д?лаетъ его почти равнымъ образу другого шара.

Подробнее об оптических иллюзиях см. Марк Чангизи. Революция в зрении: что, как и почему мы видим.

Различные способы приближенія къ достов?рности

Индукція, аналогія гипотезъ, основанныхъ на фактахъ и безпрестанно пов?ряемыхъ новыми наблюденіями, счастливый природный тактъ, подкр?пленный частымъ сравниваніемъ ихъ указаній съ опытомъ, — таковы главныя средства достиженія истины.

Анализъ и натуральная философія обязана своими важн?йшими открытіями тому плодотворному методу, который называется индукціей. Однако одной индукціи, позволяющей открывать общіе принципы наукъ, не достаточно, для того чтобы установить ихъ въ точности. Ихъ нужно еще подтверждать доказательствами или окончательнымъ испытаніемъ, ибо исторія наукъ указываетъ намъ, что индукція приводила иногда къ неточнымъ результатамъ (о развенчании индукции, как научного метода см. Карл Поппер. Объективное знание. Эволюционный подход).

Аналогія основывается на в?роятности того, что сходныя вещи происходятъ отъ однородныхъ причинъ и им?ютъ одинаковыя сл?дствія. Ч?мъ совершенн?е подобіе, т?мъ бол?е увеличивается эта в?роятность. Такъ, мы, не сомн?ваясь, р?шаемъ, что существа, над?ленныя одними и т?ми же органами, выполняя одно и то же, испытываютъ одинаковыя ощущенія и движимы одинаковыми желаніями. В?роятность того, что животныя, приближающіяся къ намъ по своимъ органамъ, им?ютъ ощущенія аналогичныя нашимъ, хотя и меньше в?роят-ности, которая относится къ особямъ нашего рода, но все еще чрезвычайно велика, и потребовалось все вліяніе религіозныхъ предразсудковъ, чтобы заставить н?которыхъ философовъ думать, что животныя — простые автоматы.

Историческій очеркъ исчисленія в?роятностей

Уже давно были опред?лены въ самыхъ простыхъ играхъ отношенія статочностей благопріятствующихъ и неблагопріятствующихъ игрокамъ: ставки и пари устанавливались сообразно этимъ отношеніямъ. Но до Паскаля и Фермата никто еще не далъ принциповъ и методовъ для подчиненія этого предмета исчисленію и не р?шалъ хоть сколько-нибудь сложныхъ вопросовъ этого рода. Этимъ двумъ великимъ геометрамъ сл?дуетъ поэтому приписать первые элементы науки о в?роятностяхъ (см. Альфред Реньи. Письма о вероятности: письма Паскаля к Ферма).

Гюйгенсъ собралъ различныя уже р?шенныя задачи и прибавилъ къ нимъ еще новыя въ маленькомъ трактат?, первомъ, который появился объ этомъ предмет? и который озаглавленъ: De Ratiociniis in ludo aleae (О расчётах в азартных играх).

Галлей въ Англіи прим?нили исчисленіе къ в?роятностямъ челов?ческой жизни, и Галлей опубликовалъ для этой ц?ли первую таблицу смертности. Около того же времени Яковъ Бернулли предложилъ геометрамъ различныя задачи о в?роятностяхъ, р?шенія которыхъ онъ зат?мъ далъ. Онъ написалъ, наконецъ, свою прекрасную работу, озаглавленную „conjectandi" (предположения), которая появилась лишь спустя семь л?тъ посл? его смерти, произошедшей въ 1706 году.

Монмортъ и Моавръ выпустили два трактата объ исчисленіи в?роятностей.

Бэйесъ (Bayes) въ Transactions phllisophiques 1763 года искалъ непосредственно в?роятность того, что возможности, указанныя уже произведенными опытами, заключаются въ данныхъ пред?лахъ, и онъ достигъ своего способомъ тонкимъ и очень остроумнымъ, хотя и немного запутаннымъ. Этотъ предметъ примыкаетъ къ теоріи в?роятностей причинъ и будущихъ событій, выведенной изъ наблюденныхъ событій.

Одно изъ самыхъ интересныхъ прим?неній исчисленія в?роятностей касается среднихъ значеній, которыя сл?дуетъ выбирать изъ результатовъ наблюденій. Многіе геометры этимъ занимались, а Лагранжъ опубликовалъ въ Memoires de Turin прекрасный методъ для опред?ленія этихъ среднихъ, когда законъ ошибокъ наблюденій изв?стенъ.

Похоже, речь о проверке гипотезы и оценивании среднего генеральной совокупности, когда дисперсия известна.