Proceedings of the "International Symposium for Foundations of Machines with Dynamic Loads", Leningrad, May 1989.
АНАЛИЗ ГАРМОНИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННЫХ РАМНЫХ МАШИННЫХ ФУНДАМЕНТОВ
Дипломированный инженер П. Иивонен
Доктор технических наук И. Путтонен и
Доктор технических наук П. Варпасуо
Строительный отдел, А/О Иматран Войма
1 ВВЕДЕНИЕ
Проектирование рамных машинных фундаментов, как например фундаментов паровых турбин, в большой степени основывается на накопленном опыте. При проектировании фундаментов турбин в последние десятилетия применяется норма ДИН 40 24 от 1955 года / 2/ . В этой норме приводится методика для определения компен-зационной силы, соответствующей динамической гармонической возмущающей силе. Норма не рассматривает определения вибрационных характеристик фундаментов, в частности, форм соб ственных колебаний и значений, а также ответа гармонического возмущения. Сегодня, однако, имеются в распоряжении методы и возможности для определения форм собственных колебаний и ответа конструкции.
В первой стадии представляемого исследования была разработана методика определения ответа фундамента для гармонической возмущающей силы. Методика была разработана как расширение программы SAP-IV /1/. В программе SAP-IV есть наготове модуль, расчитывающий собственные значения и формы собственных колебаний. Ответ конструкции для гармонического во змущения получается с помощью комбинации ответа каждой формы собственных колебаний. Ответ формы соб ственных колебаний также является гармоническим и его частота такая же как и частота колебаний возмущения. Ответ установлен при известных величин амплитуды колебаний и фазового угла ответа.
Во втором разделе настоящей работы рассматривается определение основных форм собственных колебаний, влияющих на ответ. Влияние формы собственных колебаний на ответ конструкции определяется в настоящей работе с помощью понятия коэффициента участия. Коэффициент участия состоит из трех разных факторов: первый фактор характеризует соотношение частоты колебаний возмущения и частоты собственных колебаний, второй фактор характеризует совместимость геометрического распределения нагружения и геометрии формы собственных колебаний, а третий - величину амплитуды смещения у изучаемой амплитуды смещения определенной точки. Ответ конструкции определяется с помощью комбинации самых больших по своим коэффициентам участия ответов форм собственных колебаний. В третьем разделе разработанная методика была применена для анализа ответов рамных фундаментов паровых турбин.
2 ПРОГРАММА АНАЛИЗА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Динамическое поведение конструкции, соблюдающее теорию линейности и упругости может быть охарактеризовано уравнением равновесия:
Уравнение 1 [ M ] * { x'' } + [ C ] * { x' } + [ K ] * {x} = { P } sin (?t)
где:
[M], [C], [K] матрицы массы, затухания и жесткости
{x''}, {x'}, {x} векторы ускорения, скорости и смещения
{P} вектор амплитуды нагрузки
?, t фазовый угол нагрузки и время
Решив собственные значения и формы собственных колебаний Уравнение 1 можно преобразовать систему координат
Уравнение 2 { x } = [ ? ] * { y }
где:
[ ? ] матрица формы собственных колебаний
{ y } обобщенные координаты
С помощью преобразования системы координат Уравнение 2 возможно превращение матричного Уравнение 1 в отдельные уравнения:
Уравнение 3 y1'' + 2?1?1y1 + ?12y1 = p1sin (?t) i = 1, 2, ... , m
где:
?1 соотно шение затухания и критического затухания
?1 собственное значение
p1 = { ? }T { P }
m количество собственных значений
В Уравнение 3 векторы собственных колебаний ма сштабированы так, что обобщенная масса М i = 1. При решении Уравнение 3 можно пренебрегать решения однородной части, поскольку она затухается экспоненциально в качестве асимптоты нуль. Так как нагружение длительное, достаточным решением Уравнение 3 является его специальное решение:
Уравнение 4 y1 = a1 sin (?t - b1) i = 1, 2, ... , m
где:
a1 = p1/ ( (?12 - ?2)2 + (2?1?1?)2)1/2
b1 = arctan [2?1?1? / (?12 - ?2 )]
Обобщенные координаты Уравнение 4 преобразуются обратно в оригинальную систему координат Уравнение 2, а следовательно смещениями будут:
Уравнение 5 xj = 
?ij aj sin (?t - bi)
= Rj sin (?t - sj) j = 1, 2, ... , n
где:
Rj = ( T12 + T22)1/2 sj = arctan (T1/T2)
T1 = 
?ij ai sin (bi) T2 = 
?ij ai cos (bi)
n количество степеней свободы и индекс i идёт от единици до m
Как правило, интерес представляют только мак симальные
значения смещений Rj . Вы званные смещением напряжения вычисляются с помощью зависимости напряжение- смещение. Вышепредставленный гармонический анализ был программиро ван как дополнение к программе SAP-IV. В программе SAP-IV есть наготове модуль, который вычисляет собственные значения и формы собственных колебаний , ^ормы собственных колебаний масштабированы так, что обобщенная масса Мi = 1. Из файла программы SAP-IV можно также получить непосредственно матрицу напряжений. В программу SAP-IV были запрограммированы считывание необходимых исходных данных для гармонического анализа в Уравнение 4, определение обобщенных координат Уравнение 4, смещение Уравнение 5 и вычисление напряжений, а также вывод данных.
3 ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ, ВЛИЯЮЩИХ НА ОТВЕТ
Традиционно определение динамических характеристик машинных фундаментов основывалось на самых низких частотах собственных колебаний. Говорят о фундаментах с высокой или низкой настройкой в соответствии в зависимости от того, какая частота, больше или меньше самой ни зкой частоте соб ственных колебаний. Рамные турбинные фундаменты почти без исключения являются фундаментами с низкой на стройкой. Их стремят проектировать таким образом, что самые низкие частоты собственных колебаний реагируют на возмущение в основном инерционными силами. Более высокие частоты собственных колебаний при проектировании до эры ЭВМ в значительной мере не рассматривались. Данный подход все-таки неточный теоретически, поскольку большая часть динамического ответа вызвана другими частотами, чем самыми низкими.
При проектировании технически и экономически оптимального фундамента существенно найти уже на стадии проектирования самые неблагоприятные, с точки зрения возмущения, формы собственных колебаний конструкции. При этом следует изучить с помощью каких изменений конструкций при необходимости можно влиять на неблагоприятные формы собственных колебаний. Существенно с точки зрения анализа то, что при оценке динамического ответа нужны только выбранные неблагоприятные
формы собственных колебаний.
Значимость форм собственных колебаний оценивается вычисляя коэффициент участия по каждой форме соб ственных колебаний, который в самом полном виде состоит из трех факторов. Первый из них характеризует соотношение частоты возмущения и частоты формы собственных колебаний. Второй фактор изображает взаимное сходство между геометрией формы собственных колебаний и геометрическим распределением нагружения. Значение третьего фактора определяется по значимости исследуемой формы собственных колебаний на перемещение выбранной точки. Данный фактор определяется по степени свободы. В результате (произведения) получим общий коэффициент участия.
Для наглядности физического значения определенного коэффициента участия рассматривается однопролетная балка со свободным опиранием, формы собственных колебаний которой получим по уравнениям:
Уравнение 6 ?n = sin (n?x/L ), n = 1, 2, 3, ...
Уравнение 7 ?n = n2 ?2 (EI/(mL4 ))1/2 n = 1, 2, 3, ..
где:
L длина пролета балки
EI жесткость балки
m масса балки на единицу длины
n порядковый номер формы собственных колебаний
x расстояние рассматриваемой точки от опоры
При нагружении балки гармоническим возмущением с угловой частотой ?, величина динамического коэффициента участия по каждой форме собственных колебаний
Уравнение 8 Dn = ( 1 - ?2 /?n2)-1
На самом деле Уравнение 8 является динамическим коэффициентом увеличения нагрузки системы с одной степенью свободы.
Соотн ошение геометрии формы собственых колебаний и геометрического распределения нагружения характеризуется долей нагрузки, созданной нагружением на форму собственных колебаний.
Если распределение возмущения в балке характерисуется функцией р(х), то получим для искомого коэффициента Gn выражение :
Уравнение 9 Gn = 
p(x)sin(n?x/L)dx
Третьий коэффициент an - координата формы собственных колебаний в выбранной точке. Например в средней точке балки коэффициент составляет:
Уравнение 10 ?n = sin (n?/2)
Для общего коэффициента участия Kn формы собственных колебаний можем построить уравнение:
Уравнение 11 Kn = ?n Gn Dn
Представленный способ образования коэффицинта участия для балки применим аналогично для систем, характеризующихся дискретными массами. Из коэффициента по Уравнение 11 прямо видно, какие и з форм собственных колебаний конструкции являются самыми опасными с точки зрения возмущения. На основании коэффициентов ?n, Gn и Dn можно делать вывод о том, какие факторы вызывают неблагоприятнооть формы собственных колебаний. Это облегчает как анализ конструкции так и проектирование оптимальной по динамическим свойствам конструкции.
4 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
В качестве применений выведенного метода расчета представляются результаты, полученные для трех фундаментов паровых турбин. Из турбин две а и б имеют мощность 80 третьей турбины в составляет 150 М Б. Фундаменты описаны балочными элементами. В расчетных моделях в альфавитном порядке -59, 55 и 2 21 узлов. Расчетные модели приведены на рисунке 1. Турбина находится в левой части каждой модели, а следовательно генератор в правой части.
В анализе рассмотрены два случая нагрузки. Изучение коэффициента участия проводилось при динамической нагрузке нормального эксплуатационного режима с частотой 50 Гц. Амплитуды смещения расчитались для аварийного режима, вызванной разрывом лопатки турбины. Распределение динамической нагрузки нормального эксплуатационного режима для точек закрепления машины определялось по таблицам нагрузок поставщиков. По тем же самым таблицам была получена и максимальная амплитуда нагрузки, вызванной разрывом лопатки. В расчете предполагалось, что аварийная нагрузка гармонична при частоте 50 Гц.
На рисунке 2 в виде таблицы представлены пять из самых высоких коэффициентов участия для разных фундаментов. В представленных коэффициентах не учтен фактор по месту ?n. По результатам видно, что при устанавлении основной формы собственных колебаний динамический фактор имеет существенное значение. Самая основная форма собственных колебаний устанавливалась во всех случаях на частотах собственных колебаний, близких к 50 Гц. С другой стороны следует отметить, что например в пункте б вне таблицы о стались формы собственных колебаний, более близкие к 50 Гц, чем представленные. Порядковые номера форм собственных колебаний, приведенные в таблице пока зывают то, что геометрический фактор становится преобладающим при отклонении частоты возмущения. При сравнении разных фундаментов констатируется, что в случаях а и б одна форма собственых колебаний явно преобладает и что все пять основных форм собственных колебаний находятся выше частоты возмущения. В случае в отличаются две формы собственных колебаний. Кроме того, все частоты, включенные в таблицу близкие к частоте возмущения в случае в. Точность дискретизации естественно влияет на ре зультаты, однако можно отметить, что взаимные соотношения жесткостей конструктивных элементов в пункте в самые неблагоприятные о точки зрения во змущения. На рисунке 3 представлены формы собственных колебаний, соответствующих самому высокому коэффициенту участия по фундаментам.
Разрыв лопатки вызывает для фундамента нагрузку с продолжительностью по крайней мере нескольких минут. Анализ данной нагрузки не рассматривается нормами. Мы считаем, что амплитуды смещений во время нагрузки должны оставаться в допустимом нормой У01 2056 диапазоне /3/. По этой норме максимальное допустимое смещение при частоте 50 Гц-80 мкм. В результате расчета максимальные амплитуды фундаментов а, б, в 46 мкм, 47 мкм и 574 мкм соответственно. На рисунке 1 стрелками указаны места максимальных амплитуд. Фундамент в отличается и по своим амплитудам смещения от остальных фундаментов. Это может быть вызвано либо нереально высоко предположенными нагрузками разрыва лопатки либо неблагоприятными свойствами фундамента с точки зрения динамической нагрузки. Изучение коэффициента участия подтверждало бы последний вариант.
ЛИТЕРАТУРА
/1/ SAP-Iv " A STRUCTURAL ANALYSIS PROPRAM FOR STATIC AND DYNAMIC RESPONSE OF LINEAR SYSTEMS", Klaus-Jurgen Bathe, Edward L. Wilson, Fred E. Peterson, June 1973, Revised April 1974, University of California, Berkeley.
/2/ DIN 4024, MASCHINENFUNDAMENTE, TEIL 1, "ELASTISCHE STUTZKONSTRUKTIONEN FUR MASCHINEN MIT PERIODISCHER ERREGUNG", TEIL 2, "STEIFE STUTZKONSTRUKTIONEN FUR MASCHINEN MIT PERIODISCHER ERREGUNG", DEUTSCHE NORM, April 1988.
/3/ VDI 2056, VEREIN DEUTSCHER INGENIEURE, "BEURTEILUNSGMASSSTABE FUR MECHANISCHE SCHWINGUNGEN VON MASCHINEN", VDI-RICHTLINIEN, Oktober 1964.
Рисунок 1 Расчетные модели турбинных фундаментов. Стрелками указаны места максимальных амплитуд смещеий
Фундамент турбины | Частота формы собст. колебаний, Гц | Порядковый № формы собст. колебании | Масштабированный :коэфф. участия К= GD |
51.96 96 | 18 | 1.00 00 | |
59.98 98 | 21 | 0.15 15 | |
а | 65.56 56 | 22 | 0.13 13 |
144.57 57 | 39 | 0.12 12 | |
71.08 08 | 23 | 0.12 12 | |
55.46 46 | 25 | 1.00 00 | |
82.32 Э2 | 40 | 0.22 22 | |
Ь | 60.39 39 | 27 | 0.17 17 |
77.30 30 | 38 | 0.15 15 | |
72.39 39 | 32 | 0.15 15 | |
49.56 56 | 54 | 1.00 00 | |
45.86 86 | 53 | 0.60 60 | |
с | 54.03 0 3 | 58 | 0.12 12 |
51.47 47 | 56 | 0.11 11 | |
51.17 17 | 55 | 0.10 10 |
Рисунок 2 Коэффициенты участия по динамической нагрузке во
время нормальной эксплуатации.
Рисунок 3 Формы собсвенных колебаний, соответствующие максимальному коэффициенту участия при разных фундаментах
