Нелинейная динамика и устойчивость элементов микросистемной техники (стр. 4 )

а)	б)
Рисунок 5 – Сравнение АЧХ в окрестности главного резонанса

Как видно из рисунка, при достаточно малых значениях первое приближение к решению, полученное методом многих масштабов, практически совпадает с прямым численным решением уравнения (13). Отличие приближенных решений от прямого численного решения исходного нелинейного уравнения (12) состоит в существовании ветви неустойчивых периодических движений при отрицательных значениях параметра расстройки . Практическое значение данной ветви состоит в том, что она ограничивает область притяжения устойчивого периодического режима с малыми амплитудами колебаний. Разложение правой части уравнения (12) в ряд Тейлора с удержанием степеней не выше третьей может привести к ошибочному выводу об устойчивости стационарного колебательного движения системы при больших начальных возмущениях.

Исследуем теперь зависимость амплитуды установившихся колебаний от параметра силы внешнего возбуждения при фиксированной его частоте в окрестности главного резонанса На рисунке 6 показано сравнение прямого численного решения системы (12) с приближенным аналитическим решением (14), а также с численным решением соответствующей ему системы (13).

а)	б)
Рисунок 6 – Зависимость амплитуды колебаний от

Как видно из рисунка 6,а, при частотах, меньших резонансной (), зависимость амплитуды колебаний от по форме совпадает с полученной ранее диаграммой ветвления форм равновесия системы (см. рисунок 1,а) и характеризуется наличием критического значения параметра , ограничивающего сверху область существования стационарных режимов колебаний. При этом максимальная амплитуда устойчивых периодических движений не превышает величины

Согласно рисунку 6,б, в зарезонансной зоне () характер зависимости амплитуды от параметра иной: существенно возрастают как критическое значение , так и максимальная амплитуда устойчивых колебаний . Для сравнения, критическое значение при статическом анализе («static pull-in») составляет при соответствующей величине статического перемещения (см. рисунок 1,а). Таким образом, в зарезонансной зоне возможны устойчивые колебания с амплитудами, значительно превышающими возможные амплитуды устойчивых положений равновесия.

Как видно из рисунка 6, приближенное аналитическое решение совпадает с численным лишь при малых значениях , что соответствует исходным предположениям примененного метода многих масштабов.

Заключение

В работе применены аналитические и численные методы решения нелинейных задач статики и динамики упругих элементов нано - и микросистемной техники. Для базовых чувствительных и исполнительных элементов микросистемной техники (мембран, пластин) определены формы равновесия, их устойчивость и бифуркации во внешнем электростатическом поле. Построены диаграммы ветвления в зависимости от характерных физических параметров. Получены аналитическое и численные решения связанной динамической задачи для микроэлектромеханического осциллятора в переменном электрическом поле.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ 17-01-00414 А.

Литература

Устойчивость деформируемых систем – М.: Наука, 1967 , , Исследование устойчивости и ветвления форм равновесия упругих элементов микросистемной техники – сборник трудов IV Международной школы-конференции молодых ученых «Нелинейная динамика машин» SCHOOL-NDM 2017 Микромеханические приборы – М.: Машиностроение, 2007 Методы возмущений – М.: Мир, 1976. – 456 с. Введение в методы возмущений – М.: Мир, 1984. – 535 с. , , Нелинейная электромеханика – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003 Acar C., Shkel A. MEMS Vibratory Gyroscopes. Structural Approaches to Improve Robustness – Springer, 2009 Blokhina E., Galayko D. et. al. Nonlinearity in Energy Harvesting Systems. Micro - and Nanoscale Applications – Springer, 2016 Bouchaala A., Nayfeh A. H. et. al. Mass and position determination in MEMS mass sensors: A theoretical and an experimental investigation – Journal of Micromechanics and Microengineering, 26 (2016) Gidas B., Wei-Ming Ni, L. Nirenberg. Symmetry and Related Properties via the Maximum Principle – Commun. Math. Phys. 68. 209-243 (1979) Khodzhaev K. Nonlinear problems on the deformation of elastic bodies by a magnetic field – Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 34, issue 4, pp. 622-641 (1970) Kuznetsov Yu. A., Govaerts W. et. al. MATCONT and CL_MATCONT: Continuation toolboxes in MATLAB – Utrecht University, 2011 Lee T. H. et. al. Capacitive Micromachined Ultrasonic Transducers: Next-Generation Arrays for Acoustic Imaging? – IEEE Transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, vol. 49, No. 11 Muldavin J, Rebeiz G. 30 GHz Tuned MEMS Switches – IEEE, MTT-S Digest, 1999 Nayfeh A. H., Pai P. F. Linear and Nonlinear Structural Mechanics – New York: Wiley, 2004 Pelesko J. A., Bernstein D. H. Modelling MEMS and NEMS - Chapman & Hall/CRC, 2003 Rebeiz Gabriel M. RF MEMS. Theory, design and technology – John Willey, 2003 Wen-Ming Zhang, Han Yan, Zhi-Ke Peng, Guang Meng, Electrostatic pull-in instability in MEMS/NEMS: A review – Sensors and Actuators A 214 (2014) 187–218 Younnis M. I. MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics – Springer Science, 2011 Zhang W. et. al. A measurement criterion for accurate mass detection using vibrating suspended microchannel resonators – Journal of Sound and Vibration, 403 (2017)

Lukin A. V., Popov I. A., Skubov D. Yu. (Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, department of Mechanics and Control Processes)

Nonlinear dynamics and stability for elements of MEMS

In this paper numerical and analytical methods are developed and utilized to solve nonlinear static and dynamic problems for elastic elements of nano - and microelectromechanical systems. Typical elements of sensors and actuators – circular membranes and plates – are considered. Equilibrium forms are determined and their stability and bifurcations are analyzed for circular plates and membranes in electric fields of various configurations (one and two-electrode systems). In addition, nonlinear coupled-field dynamic problem for MEMS-oscillator is considered and amplitude/frequency response curves are derived using method of multiple scales and numerical continuation techniques.

Текст доклада согласован с научным руководителем.

Научный руководитель профессор каф. «Механика и процессы управления», д. ф.-м. н. .

Научный руководитель профессор каф. «Механика и процессы управления», д. ф.-м. н. .