Задания (стр. 2 )

4. Целые числа a>0, b и c таковы, что квадратный трехчлен имеет два корня большие 1. Докажите, что квадратный трехчлен будет иметь два различных корня.

5. Какое наибольшее число клеток можно закрасить на доске 6?6 так, чтобы никакие четыре закрашенные клетки не могли бы своими центрами образовывать прямоугольник, со сторонами параллельными сторонам доски.

6. Можно ли разбить пространство на кубики с целочисленными ребрами, так чтобы среди всех их ребер не нашлось более 324 одинаковых? Ответ обосновать.

7 класс

Решения

1. Ответ: 2.

Заметим, что для каждого слагаемого первой суммы, кроме 1, есть противоположное слагаемое во второй сумме. Сумма противоположных чисел равна 0. Значит, общая сумма равна 1+1=2.

Критерии проверки:

Приведен правильный ответ с обоснованием:7 баллов.

Приведен  неправильный ответ, с правильной идеей обоснования: 2 балла.

Приведен только правильный ответ: 1 балл.

2.  Ответ: 1008.

Решение.  Число 2014 делится только на цифры 1 и 2, поэтому в записи числа могут встречаться только цифры 1 и 2. Причём, цифра 2 - только один раз. Если в записи числа - одни 1, то всего их 2014, и такое число одно. Если есть двойка, то цифр 1007, и двойка может быть на любом месте, и таких чисел 1007.  Отсюда ответ.

3.  Ответ:  AC  может быть равно 6 см, 8 см, 12 см, 16см, 18 см.

1)  С - середина АВ. Возможны два случая: D середина AC или D середина BC, в каждом из них AC=12 см.

2) D - середина АВ. Возможны два случая: C середина AD или С середина BD; в первом  случае  AC=6 см, а во втором - AC=18 см.

3) D - середина АС и С - середина BD. В этом случае AC=16 см.

4) D -  середина BС и С - середина AD. В этом случае AC=8 см.

Критерии проверки:

Приведен правильный ответ и сделаны все необходимые рисунки:7 баллов.

Приведено 4 ответа с обоснованием:4 балла.

Приведено 3 ответа с обоснованием:2 балла.

Приведен только правильный ответ и нет обоснований: 1 балл.

4. Ответ: не могло.

Предположим, что черных и белых осколков оказалось поровну. Пусть x – количество стеклянных чашек, покрашенных в чёрный цвет, а y – количество  фарфоровых чашек, покрашенных в белый цвет. Тогда черных осколков всего 17x+18(35–y), а белых 17(25–x)+18y. Должно выполняться равенство
17x+18(35–y)= 17(25–x)+18y, или 18(35–2y)=17(25–2x). Равенство невозможно, так как слева чётное число, а справа нечётное.

5. Ответ: 4 цвета.

Оценка. Рассмотрим числа 1, 3, 6, 8. Разность любых двух из них простое число, это значит,  что все они должны быть различных цветов и цветов нужно не менее четырёх.

Пример. В первый цвет красим числа вида 4k, во второй цвет красим числа вида 4k+1, в третий цвет красим числа вида 4k+2, в четвертый цвет красим числа вида 4k+3 (k – целое число). Разность любых двух одного цвета кратна 4 и не может быть простым числом.

.

8 класс

Решения

1. Ответ: 3.

Решение. Преобразуем выражение  =

  .

Используя условие и полученные из него формулы и , получим:

.

.

2. Ответ: на 93 нуля.

Первый множитель оканчивается на 93 нуля, а второй не оканчивается нулём (он  оканчивается четвёркой).

Критерии проверки:

Приведены верное решение и верный ответ: 7 баллов.

В выкладках допущена вычислительная ошибка, из-за чего ответ неверный: 3 балла.

Приведён только верный ответ: 2 балла.

3. Решение.  В равнобедренных треугольниках AED и DCB биссектрисы углов E и C являются высотами и медианами этих треугольников и, значит, лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам AD и BD. Серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABD, пересекаются в одной точке. Значит, утверждение задачи доказано.

4.Ответ: а) не может. б) может.

а) так как сумма любых семи - не менее 5, то найдутся два соседних числа, сумма которых не менее 2•4/7>1. Оставшиеся числа, кроме этих двух, разобьем на 14 групп соседних по 7 штук. Их сумма не менее  14•5=70. Значит, сумма всех ста чисел больше 71.

б) занумеруем все числа по кругу от 1 до 100. Положим равными нулю те числа, у которых номер кратен семи и те числа, которые дают в остатке 6 при делении на 7. Остальные равны 1.  Так как 100=14?7+2, то нулю будут равны 14?2=28 чисел. Сумма всех чисел равна 72, а сумма любых семи подряд равна 5 и, значит, не меньше 5.

.

.

5. Ответ: можно.

Пример приведён на рисунке. В пустых клетках нули.

9 класс

Решения

1. Найдите последнюю цифру числа .

Решение: Последняя цифры степеней определяются возведением последних чисел оснований. Поэтому последняя цифра числа 20152015  равна 5.  Последние цифры степеней 4 периодичны с периодом 2. У нечетных степеней 4, у четных 6. У степеней 3 повторение через 4: 3, 9, 7, 1. Так как при делении на 4 2013 дает в остатке 1, то последняя цифра у последнего числа будет 3. Итог:

Рекомендации по проверке.

Ответ без обоснования  – 0 баллов.

2. Известно, что и

Найдите 

а) ;

б) .

Решение.

.

.

.

Рекомендации по проверке.

Найдено :  3 баллa.

Найдено : +4 балла.

3. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 2014·2015?

Решение.  2014·2015 дает при делении на 3 остаток 2.

Число при делении на 3 дает такой же остаток, что и сумма его цифр. Но квадрат натурального числа не может при делении на 3 остаток 2:

делится на 3;

при делении на 3 дает остаток 1;

при делении на 3 дает остаток 1.

Значит, такого натурального числа не существует.

4. - квадратичная функция (и - целые числа). Известно, что и . Докажите, что для всех из отрезка