Задания (стр. 1 )

7 класс

1. Найти сумму чисел 1-2+3-4+5-6+…[phone] и 1+2-3+4-5+6-…-2013+2014.

2. Сколько существует  натуральных чисел таких, что  произведение  всех цифр такого числа, умноженное  на их количество, равно 2014?

3. На отрезке AB длиной 24 см поставлены точки С и D так, что они оказались серединами  некоторых из получившихся отрезков. Найти AC. Указать все возможные варианты.

4. На складе 25 белых стеклянных чашек и 35 чёрных фарфоровых. Каждая стеклянная чашка при падении разбивается на 17 осколков, а каждая фарфоровая - на 18 осколков. Сторож перекрасил несколько стеклянных чашек в черный цвет, а несколько фарфоровых - в белый, после чего случайно разбил все чашки, уронив их. Могло ли образоваться одинаковое количество черных и белых осколков? Ответ обосновать.

5. Миша покрасил все целые числа в несколько цветов так, что числа, разность которых является простым числом, покрашены в различные цвета. Какое наименьшее число цветов могло быть использовано Мишей? Ответ обоснуйте.

8 класс

1. Действительные числа x, y, z (отличные от нуля) удовлетворяют равенству: . Найдите все возможные значения, которые может принимать выражение:

2. На сколько нулей оканчивается число, равное значению выражения:

Ответ обоснуйте.

3. В пятиугольнике ABCDE все стороны - равные : AB=BC=CD=DE=EA. Доказать, что биссектрисы углов С и E и серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекаются в одной точке.

4. По кругу выписано 100 чисел. Сумма любых семи из них, стоящих подряд, не менее пяти. Может ли сумма всех чисел равняться а) 71? б) 72?

5. Как в клетках доски 8?8 расставить 12 единиц  и 52 нуля так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 2?3 была положительна.

9 класс

1. Найдите последнюю цифру числа .

2. Известно, что и

Найдите  а) ;  б) .

3. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна произведению 2014·2015?

4. - квадратичная функция (и - целые числа). Известно, что и . Докажите, что для всех из отрезка

5. Точка лежит вне окружности . и - касательные к окружности  ( и принадлежат ). Через точки и проведена вторая окружность с центром в точке . На дуге окружности , находящейся внутри окружности , взяли произвольную точку . Прямая пересекает второй раз окружность в точке , а прямая - в точке . Докажите, что - диаметр окружности .

6. Даны 126 различных натуральных чисел, каждое  из которых не превосходит 2014. Для каждой пары этих чисел вычислили разность большего и меньшего. Докажите, что среди этих разностей  имеется по крайней мере

а) четыре равных;

б) пять равных.

10 класс

1. Найдите последнюю цифру числа .

2. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна произведению 2014·2015?

3.Решите систему уравнений

4. При каком наименьшем натуральном k квадратичный трехчлен с натуральными коэффициентами p и q имеет два различных положительных корня меньших 1?

5. Точка лежит вне окружности . и - касательные к окружности  ( и принадлежат ). Через точки и проведена вторая окружность с центром в точке . На дуге окружности , находящейся внутри окружности , взяли произвольную точку . Прямая пересекает второй раз окружность в точке , а прямая - в точке . Докажите, что - диаметр окружности .

6. Треугольник A содержится в выпуклом четырехугольнике B.  Пусть S(A) и S(B) — площади этих многоугольников, а P(A) и P(B) — их периметры. Доказать, что . Замечание: фигура называется выпуклой, если с каждой парой точек она содержит и отрезок их соединяющий.

11 класс

1. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна произведению 2014·2015?

2. Сравните числа и .

3. Найдите такое целое число n, что для любого целого k?2013, число кратно  .