Определение силы давления на плоскую стенку

2-й семинар, 2018 г.

Определение силы давления на плоскую стенку.

Последовательность действий.

1. По исходным данным определить положение пьезометрической плоскости (П. П.)  с атмосферным давлением относительно свободной поверхности.

2.Определить величину пьезометрической высоты hc в ц. т. площадки, для которой находится сила давления жидкости.

3.Определить величину давления Pc в ц. т. площадки.

4. Определить величину силы давления жидкости Fдж.

5.Определить положение линии действия силы давления относительно ц. т. крышки ?hD.

1. Определение положения П. П. и пьезометрической высоты точки (три варианта)

Рис.1. Одностороннее действие жидкости на плоскую стенку. а)при Ро>Pатм, б) при Ро<Ратм.

При избыточном давлении над свободной поверхностью (рис.1а)  равном P0изб = 0,  пьезо­метрическая плоскость совпадает  со свободной поверхностью.

Пьезометрическая высота  центра площадки (ab) - точки С,  в которой определяется давление, равна расстоянию от свободной поверхности

hc= h,

где h – расстояние от свободной поверхности до точки, hc – пьезометрическая высота.

При избыточном  давлении  P0и>Ратм (рис.1б)  над свободной поверхностью, эта плоскость проходит выше свободной поверхности на расстоянии 

h0и = P0и/(?g)=М/(?g),

где М - показания манометра, если он используется в задаче.

пьезометрическая высота равна сумме

  hc=h0u+h,

При вакууме P0в<Pатм  плоскость П. П расположена ниже свободной поверхности на расстоянии 

h0в = - P0в/?g = - (Ратм-Р0)/?g =V/?g,

пьезометрическая высота  hc=h0в+h,

где V - показания вакуумметра, если он используется в задаче.

Обычно в задачах указывается, какой прибор используется для измерения. Для  избыточного давления - манометр  М, для недостаточно или вакуума - вакуумметр V,  мановакуумметр – МV может измерять избыточное давление и вакуум.

2. Определение  давления в точке С – центре тяжести площадки

P0изб = 0,  Pc = ?ghc=?gh

P0и>Ратм,  Pc = ?ghc=?g*(h0u+h)=P0u+?gh

P0в<Pатм,  Pc = ?ghc=?g*(-h0в+h)=P0в+?gh

где PC - давление в центре тяжести – т. С, S - площадь.

Рис.2. Определение силы давления жидкости на плоскую стенку:

а) при Р0>Ратм, б) при Р0<Ратм

3. Определить силу давления жидкости на плоскую стенку(рис.2)

Fдж = Рс*S.

4.  Определить положение линии действия силы Fдж.

Точка пересечение линии действия равнодействующей сил давления жидкости с плоскостью стенки, называется центром давления, обозначается буквой  D. (рис. 2а,2б).

Положение центра давления в плоскости стенки определяется формулами в координатах, связанных с плоскостью стенки(х, у):

yD = yC +Jc/(F*yC);  (2)

?y = yD  - yC =  Jc/(F*yC);  (3)

где yD  и  yC - расстояния от центра давления D и центра тяжести С площади стенки до линии пересечения плоскости стенки с пьезо­метрической плоскостью (ось х, рис.1), ?y - смещение цен­тра давления относительно центра тяжести вдоль оси у, Jc - мо­мент инерции площади стенки относительно горизонтальной оси х1, проходящей через центр тяжести площади стенки.

Если ось х1 или перпендикулярная ей центральная ось у1  яв­ляются осями симметрии стенки, центр давления лежит на оси у1.

Если оси х1и у1 не являются осями симметрии, необходимо определить, кроме смещения ?y, также и смещение ?х центра давления относительно центра тяжести площади стенки вдоль оси х1

?х = J х1 у1/( F yC )

где J х1 у1  - центробежный момент инерции площади стенки относительно осей х1  и у1, лежащих в ее плоскости и проходящих че­рез ее центр тяжести.

Формулу (2) можно при­вести к виду

,  (4)

где hD и  hC - вертикальные расстояния соответственно от центра давления D и центра тяжести С площади стенки до пьезометрической плоскости; ? - угол наклона стенки к горизонту.

Для вертикальной стенки (? = 90°)    (5)

и смещение центра давления  относительно центра тяжести

  (6)

В приложении 1 к задачнику  даны моменты инерции Jc площадей неко­торых плоских симметричных фигур и координаты их центров тяжести.

Эти зависимости справедливы при избы­точном давлении РС в центре тяжести С площади стенки, в том числе и при отрицательном избыточном давлении, т. е. когда в точ­ке С имеется вакуум. При вакууме пьезометрическая плос­кость проходит ниже центра тяжести стенки (рис.2), и расстоя­ния ус и hC становятся отрицательными. При этом центр давления D расположен выше центра тяжести (?y < 0), а результирующая сила, воспринимаемая стенкой, направлена внутрь жидкости.

Силу Fдж можно находить и геометрически, определяя ее как  объем эпюры интенсивности давления (нагрузки). Интенсивность в каждой точке  стенки равна избыточному давлению Ри, линия действия силы  проходит через центр тяжести этого объема (рис.1).

Одностороннее давление жидкости на стенку можно привести, как это следует из формул (1) и (3), к силе R, проходящей через центр тяжести площади стенки, и к паре, момент М которой не зависит от значения РС и равен для симмет­ричной стенки

Рис.3.  по отношению к центру тяжести  С площадки: выше, по центру, ниже. R – сила давления жидкости, Р0в – над свободной поверхностью – вукуум, Рв – сверху – зона разряжения, Ри – снизу зона избыточного давления. 

М =R*?y = ?gJC*Sin?  (7)

На рис.2 и рис.3 давление, действующее на стенку, изображено в виде эпюры распределенной нагрузки, где величина Р=?gh – интенсивность этой нагрузки.

Когда пьезометрическая плоскость П. П. пересекает стенку, эпюра нагрузки изменяет знак. На рис.3 показаны эпюры нагрузки и силы давления на стенку для трех положений пье­зометрической плоскости, пересекающей стенку. 

Если РС = 0, то пьезометрическая плоскость проходит через центр тяжести площади стенки. При этом участки эпюры с избыточ­ным давлением ри и вакуумом рв приводятся к двум равным и противоположно направленным силам давления R1 и R2, резуль­тирующая которых равна нулю, и воздействие на стенку сводит­ся только к результирующей паре, момент которой определяется формулой (7).

При двустороннем воздействии жидкостей на плоскую стенку следует сначала определить силы давления на каждую сторону стенки, а затем найти их результирующую по правилам сложения параллельных сил.

Если плотности жидкостей одинаковы, результирующую силу давления на стенку можно найти по суммарной эпюре нагрузки, интенсивность которой равна разно­сти давлений, действующих по обе стороны стенки в каждой точ­ке ее поверхности.

На рис.4 показано определение силы давле­ния с помощью такой эпюры в случае двустороннего воздействия жидкостей одинаковой плотности ? на стенку, уровни жидкости  Н1 и Н2 по обе стороны стенки разные, дав­ление на свободных поверхностях одинаковое.

Рис.4. Двустороннее действие жидкости на плоскую стенку.

На  верхний  участок стенки ab действует давление жидкости с одной стороны,  эпюра нагрузки -  треугольник abe, сила давления Fдж1 опреде­ляется по формуле (1):

Fдж = PC*S1 = ?ghС1S1

где  hС1- расстояние  от центра тяжести С1 верхне­го участка стенки до свободной поверхности;  S1-площадь этого участка. Координата уD1  центра давления участка ab вычисляется по формуле (2).

Эпюры давления на каждой стороне стенки - треугольники с основаниями ?gH1 и ?gH2.  Вычитание этих эпюр по обе стороны стенки дает  на нижнем участке bc эпюру  с постоянным давлением во всех точках bc, равным 

рbс = ?gН,

где Н = H1 - H2 - разность уровней жидкости.

Сила давления жидкости

Fдж2 = ?gH*S2 ,  (8)

где S2 - площадь нижнего участка. Сила Fдж2  проходит через центр тяжести С2  площади S2.

Результирующая сила Fдж = Fдж1 + Fдж2, линия ее действия делит отрезок между точками D1 и C2 на части, обратно пропорцио­нальные силам Fдж1 и  Fдж2 .

На рис.5  давление газа  с правой и левой сторон стенки разное Р01>Р02. 

Можно определять силы, действующие на стенку отдельно слева и справа, а потом произвести их суммирование, с учетом знаков. Суммарная сила обозначим ее F, действующая на стенку

F=Fл-Fпр

где  Fл и Fпр – сила давления слева и справа.  Каждая из сил, действующих слева и справа, сумма  силы давления  газа Fг  и силы  давления жидкости Fдж,

  Fл = Fлг + Fлж,  Fпр = Fпрг + Fпрж 

где Fлг = P01*S0, - сила давления газа слева, S0=ВН3 - площадь всей стенки (аb).

Рис.5. Двустороннее действие жидкости и газа на плоскую стенку (а);  б) силы, действующие слева и справа на стенку и эпюры нагрузок; в) определение сил по эпюрам. 

Решение задачи при определении сил слева и справа отдельно.

Суммарная сила слева

где Fл=Fлг+Fлж=Р01*S+?ghл.*Sлж,

где Fлг, Fлж – силы давления жидкости и газа, действующие с левой стороны. S=H3*B – площадь, на которую действует давление газа, Sлж = (Н1+Н2)*B – площадь, на которую действует давление жидкости слева,  hл=(Н1+Н2)/2 –положение ц, т. площади Sлж, по которому определяется давление жидкости (без давления газа) в ц. т. этой площади.

Линия действия сила давления газа Fлг проходит посредине высоты 0,5H3, центр давления D1. Линия действия Fлж проходит на высоте (1/3)*(H1+H2) от дна по центру давления D2 площади Sлж.

Если определять положение центра давления  D2 по формуле (6)

Правая сторона. Суммарная сила справа

Fпр=Fпр. г+Fпр. ж=Р02*S+?ghпр*Sпр. ж.,

  где S=H3*B, Sж. пр. = Н2*B,  hпр.=0,5Н2.

Действие силы давления жидкости рассматриваем отдельно от давления газа.

Линия действия сила Fпр. г.  проходит посредине высоты 0,5H3, центр давления D1. Линия действия Fпр. ж. проходит на высоте (1/3)* H2 от дна по центру давления D3 площади Sж. пр.

Суммарная сила равна  F= Fл-Fпр.

После определения F нужно определить положение линии действия суммарной силы по уравнению моментов.

Если принять во внимание возможность вычитания эпюр интенсивности действия давления, вычесть эпюры давления от газа (P01-P02), а также эпюры давлений от жидкости, получим  эпюры на рис.5в.  В этом случае получаем силы только слева и определять их проще. По эпюрам (рис.5в) получаем, сила от действия давления газа

F1=(P01-P02)*S.

Линия действия силы давления газа проходит через т. D1 посредине высоты H3. Линия действия силы  давления жидкости от треугольной эпюры 

F2= ?g0,5H1*B*H1

проходит на высоте (2/3)Н1  от свободной поверхности. Линия действия силы давления жидкости от прямоугольной эпюры внизу

F2= ?gH2*B*H2

проходит на высоте 0,5Н2.

Для определения силы давления жидкости на прямолинейную стенку надо выполнить следующую последовательность действий.

1. Определить давление над свободной поверхностью жидкости: Р0=Ратм, Р0>Ратм, Р0<Ратм.

2. Определить положение пьезометрической плоскости –П. П., соответствующей атмосферному давлению, используя гидростатический закон и исходные данные. Индекс «0и» указывает, что ПУ расположена выше свободной поверхности, индекс «0в» указывает, что ПУ расположена ниже свободной поверхности и знак минус перед «- h0в» указывает, что над ПУ находится зона разряжения.

Р0=Ратм	Р0>Ратм	Р0<Ратм
Расстояние от свободной поверхности до П. П.  с Ратм.
h =0
Пьезометрическая высота
hc=h	hc=h+h0и	h=h-h0в

3.Определить величину пьезометрической высоты ц. т.  площадки, на которую определяется давление, относительно ПУ.

5.Определить величину давления в ц. т. площадки  Pc=?ghc.

6.Определить усилие, действующее на площадку по формуле, где S – площадь площадки.

7. Определить положение линии действия равнодействующей от распределенной нагрузки давления жидкости

Координата точки приложения силы 

(3.6.)

Расстояние от ц. т. до центра давления

  (3.7)

8.Учитывать фактор, указанный в п.2. При расположении П. П. выше свободной поверхности значения hc, hd будут положительны, при расположении П. П. ниже свободной поверхности – отрицательны.