Здравствуйте.

Тема моей дипломной работы : Исследование биологической системы «хищник-жертва» в условиях искусственного регулирования численности видов

»

(слайд 2)

Цель моей работы

-Провести анализ биологической системы «хищник-жертва» в условиях искусственного регулирования численности видов.

-Рассмотреть три типа ограничения численности, определяемые линейными неравенствами. При каждом типе ограничений выявлены особенности фазового портрета, порождаемые данным ограничением, по сравнению с классической моделью системы «хищник-жертва».

- Для анализа построить специальную математическая модель системы с ограничением.  Применяя пакета Mathematica 7

(слайд 3)

Математическое описание системы «хищник-жертва»

Если бы в среде, где обитают эти два вида, находился бы только один из них, например жертва, то у него был бы коэффициент прироста, который мы будем предполагать постоянным и положительным. Другой вид (хищник), питающийся только (или в основном) жертвой, в предположении, что он существует изолированно, имеет некоторый коэффициент прироста  , который мы будем предполагать постоянным и отрицательным. Когда такие два вида существуют в ограниченной среде, первый будет развиваться тем медленнее, чем больше будет индивидуумов второго вида, а второй – тем быстрее, чем многочисленнее будет первый вид. ольтерры состоит в том, что коэффициенты прироста равны.

Это приводит к системе дифференциальных уравнений  (1)  для описания численности видов        

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(слайд 4)

Математическая модель системы «хищник-жертва» в  условиях регулирования численности.

ольтерры состояла в том, чтобы полностью исследовать систему  (2) и выяснить закономерности в выживании первого и второго видов. Мы будем рассматривать систему другого вида, т. е. систему с некоторым ограничением. Это ограничение состоит в том, что фазовая точка должна принадлежать множеству одного из следующих трёх видов.

(слайд 5)  На данном слайде показано 3 вида ограничения

(слайд 6)

Формальное добавление одного из этих ограничений к системе (2) может привести к некорректной постановке задачи, так как при выходе фазовой точки на ограничивающую прямую решение, вообще говоря, может оказаться непродолжимым вправо по времени. Чтобы сделать рассматриваемую задачу математически корректной, мы потребуем, чтобы на границе рассматриваемой области фазовая скорость, определяемая правыми частями уравнений (1), проектировалась на касательный конус к . Для формальной записи введём обозначения показанные в уравнении 3

. Таким образом, математическая модель системы «хищник-жертва» при заданных видах ограничений численности записывается в форме  (3.1)

слайд 7)


Анализ фазовых траекторий при первом типе ограничения.

Рассмотрим систему (4) в условиях ограничения первого типа.

Для решения системы (4) выберем  значения коэффициентов, которые показаны на слайде

Для выбранных значений получены следующие траектории.

(слайд 8)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит выше положения равновесия , , рисунок имеет такой вид. По сравнению с фазовым портретом классической системы «хищник-жертва» появляется один притягивающий снаружи цикл вокруг устойчивого положения равновесия , ещё одно неустойчивое положение равновесия (седловая точка) на прямой   и устойчивое положение равновесия в точке .

(Слайд 9)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит через положение равновесия , , рисунок имеет такой вид. Есть устойчивое положения равновесия , неустойчивое положение равновесия (седловая точка) на прямой и устойчивое положение равновесия в точке .

(Слайд 10)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит ниже положения равновесия , рисунок имеет такой вид. Есть устойчивое положения равновесия в точке .

(слайд 11)

Рассмотрим систему (4) в условиях ограничения второго типа: .

Для решения системы (4) выберем значения коэффициентов, которые указаны на слайде

Для выбранных значений имеем:

(слайд 12)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит правее положения равновесия , рисунок имеет такой вид. Появляется один общий цикл вокруг устойчивого положения равновесия . И устойчивое положение равновесия в точке .


(слайд 13)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит через положение равновесия , рисунок имеет такой вид. Каждая точка прямой , имеющая вторую координату является устойчивым положением равновесия.

(слайд 14)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит левее положения равновесия , рисунок имеет такой вид. И существует устойчивое положение равновесия в точке .

(слайд 15)

Анализ фазовых траекторий при третьем типе ограничения.


Рассмотрим систему (4) в условиях ограничения третьего типа: .

Для решения системы (4) выберем  значения коэффициентов, которые указаны на слайде

Для выбранных значений имеем:

(слайд 16)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит выше положения равновесия , рисунок имеет такой вид. И существует общий цикл вокруг этого положения равновесия.

(слайд 17)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит через положение равновесия , рисунок имеет такой вид. Каждая точка прямой , имеющая вторую координату , является устойчивым положением равновесия.

(слайд 18)

В случае ограничения вида , когда ограничение проходит ниже положения равновесия , рисунок имеет такой вид.

Т. е. при таком ограничении численности хищника, численность жертвы стремиться к бесконечности.

(слайд 19)

Спасибо за внимание