Расчет на прочность ферменной конструкции в САПР Ferma с учетом устойчивости стержней и алгоритм оптимизации с учетом сжатия

Расчет на прочность  ферменной конструкции в САПР Ferma с учетом устойчивости стержней и алгоритм оптимизации с учетом сжатия.

При приложении  внешних сил в стержнях фермы возникают силы, значения которых имеют сложных характер (ферма – это сложная система). Для определения этих сил в сопромате используют разные расчетные методы, основная характеристика которых заключается в том, что они не универсальны. Т. е., каждая ферма требует своего подхода. В программе Ferma  расчет проводится методом конечных элементов, с помощью которого можно рассчитать любую ферму (в рамках разумного).

В процессе работы над проектом практически на каждом этапе производится расчет конструкции, в результате чего для каждого стержня определяются:

силы , действующие на стержень в каждом из трёх расчетных случаев,  напряжения , , ,  (1) коэффициенты запаса прочности ,  ,   (2) требуемые из условий прочности необходимые значения площади поперечного сечения стержня , , .

В этих формулах F - площадь поперечного сечения стержня, [?]- допускаемое напряжение (т. е. напряжение, которое может  выдержать  материал, из которого изготовлен стержень).

Очевидно, что стержень не разрушится, если:  ,,   (3)

Последнее означает:  чтобы стержень не разрушится, если  коэффициенты запаса прочности будут:  , , .  (4).

Необходимые значения площадей находятся из формул (1), где вместо , , используют значение допускаемого напряжения , т. е:

, , .

Итак,  для того чтобы стержень не разрушился, напряжения , , ,  должны быть меньше допускаемых [?], а коэффициент запаса прочности должен быть больше единицы. Но это справедливо только для растянутых стержней.

Для сжатых стержней всё несколько усложняется.

Рассмотрим в качестве примера линейку с площадью поперечного сечения F, сжатую вертикальной силой N.

Изображение опоры внизу нам понадобилось, чтобы условно показать, что нижний конец линейки не сдвигается и может поворачиваться относительно точки опоры. Изображение верхней опоры говорит о том, что верхний торец линейки скользит вертикально вниз. Тонкой линией на рисунке изображена форма, которую примет линейка, когда начнет терять устойчивость.

Как мы уже знаем, если бы сила N была бы направлена вертикально вверх, линейка осталась бы прямолинейной и разрушилась бы, когда действующие напряжения в ней  превысили бы допускаемое напряжение: .

Очевидно, что сжатый стержень может потерять устойчивость задолго до того, как будет достигнуто предельное значение напряжений [?] для данного материала - при каком-то напряжении .  Поэтому, если для растянутых стержней условие прочности записывается как ,  то для сжатых стержней это условие прочности будет , где и .  Отсюда можно определить предельную силу, которую выдержит стержень без потери устойчивости: . Так как предельная сила, выдерживаемая стержнем при растяжении будет  , а , то .

Иными словами, линейка при растяжении может выдержать большую силу, чем при сжатии и, следовательно, для сжатой линейки нужно задавать большую площадь поперечного сечения, нежели для растянутой линейки, чтобы она не разрушилась.

Но есть ещё один аспект, который приходится учитывать при расчетах сжатых стержней. Поперечное сечение линейки имеет форму прямоугольника. Когда её сжимают, она выходит из плоскости только по направлению оси Х  влево или вправо и никогда по направлению оси Y. Следовательно, ещё какая-то характеристика поперечного сечения оказывает влияние на потерю устойчивости.

Эта характеристика есть момент инерции сечения стержня. Для прямоугольного сечения момент инерции относительно оси Х вычисляется по формуле , момент инерции относительно оси Y будет .

Так как то этот  признак указывает, в каком направлении линейка теряет устойчивость: в том направлении, где относительно перпендикулярной этому направлению оси момент инерции меньше.

Если мы имеем сечение стержня симметричное относительно любой из осей, то моменты инерции относительно осей у него одинаковы и стержень может потерять устойчивость в любом направлении.

Такими сечениями будут квадратное, круглое сечения, а также сечение в виде трубы. Расчет при этом упрощается.

Для круглого сплошного сечения моменты инерции будут .

Здесь D – диаметр прутка.

Для сечения в виде трубы . Здесь D и d – внешний и внутренний диаметры трубы.

Все эти нюансы учтены Эйлера в его знаменитой формуле для определения

значения критической силы потери устойчивости для сжатого стержня:

,

где Ji - минимальный момент инерции поперечного сечения i-го стержня, Е - модуль упругости материала, - длина i-го  стержня. Как видим,  для сжатых стержней огромное значение имеет форма поперечного сечения, так как от формы зависит момент инерции сечения.

Поэтому сжатые стержни приходится делать не только с большей площадью поперечных сечений, но и с вполне определённым значением момента инерции этого сечения. Учет явления потери устойчивости  - необходимая составляющая расчета большинства конструкций. В САПР Ferma реализована специальная инженерная методика как для определения необходимых площадей поперечных сечений сжатых стержней, так и моментов инерции этих сечений. В основу этой проектной методики положено уменьшение значения допускаемого напряжения для сжатых стержней, а именно , где ? - коэффициент продольного изгиба или коэффициент снижения основного допускаемого напряжения .

Коэффициент ? определяется по специальным таблицам в зависимости от принятого разработчиком  коэффициента   гибкости сжатых стержней. Коэффициент в дальнейшем всегда должен быть больше коэффициента минимально-возможной гибкости , который зависит  только от физико-механических свойств материала и определяется по формуле (для  стали и алюминия его можно взять равным 50).

После получения  ? в каждом расчетном случае определяется необходимая из условий устойчивости  площадь поперечного сечения сжатого стержня  , затем минимальный радиус инерции и минимально допустимое значение момента инерции для данного стержня . Здесь -  сжимающее усилие в стержне. Коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле , где .

Следует только помнить, что увеличение приводит к уменьшению ?, а это, в свою очередь,  - к увеличению , что отрицательно сказывается на уменьшении массы конструкции. Но зачастую на это приходится идти с целью уменьшения потребного момента инерции для данного стержня.

Необходимая площадь стержня из условия прочности на растяжение в каждом расчетном случае определяется по формуле ,

где – растягивающее  усилие в стержне, а коэффициент запаса прочности на растяжение - по формуле , где .

Алгоритм оптимизации с учетом сжатия.

Задается коэффициент   гибкости сжатых стержней. Этот коэффициент

в дальнейшем всегда должен быть больше коэффициента минимально-возможной гибкости, который зависит  только от физико-механических свойств материала и определяется по формуле.

       

Проектант имеет возможность назначать ? при проведении  параметрической оптимизации в отдельном окне перед началом оптимизации.

Программа не позволяет ему  назначать ?<.  По умолчанию ?==50.

Коэффициент ? в зависимости от определяется по таблице, взятой для материалов со средними характеристиками. При этом для упрощения программы берется наименьшее значение этого коэффициента.

	Сталь С590	Алюминий 1915Т
	6.0х104	2.0х104
Е	2.0х107	7.0х106

	?	?	? (сводный)
0	1.00	1.00	1.00
10	0.977	1.00	0.977
20	0.934	0.910	0.910
30	0.879	0.830	0.830
40	0.814	0.758	0.758
50	0.712	0.676	0.676
60	0.588	0.590	0.588
70	0.470	0.500	0.470
80	0.359	0.385	0.359
90	0.287	0.305	0.287
100	0.235	0.246	0.235
110	0.197	0.204	0.197
120	0.167	0.171	0.167
130	0.145	0.146	0.145
140	0.126	0.126	0.126
150	0.111	0.110	0.110

2. Определяется значение допускаемого напряжения при сжатии ;

3. В базовом алгоритме при заданных в результате расчета определяются  в каждом расчетном случае.

В том же базовом алгоритме проверяется интегральный критерий прекращения итераций, зависящий от - заданной погрешности оптимизации.

Только теперь - через :

Здесь r – номер итерации, , где -

напряжение максимальное по модулю из всех расчетных случаев в стержне.

Как известно: . Поэтому, если бы  в программе явным образом не вычислялси бы  , их можно было бы  подсчитать как .

4. Если в каких-либо расчетных случаях стержень  растянут (т. е. , или, что то же самое ), то определяется потребная площадь поперечного сечения при растяжении  конкретного стержня Fраст= .  Здесь –  максимальное растягивающее усилие из всех растягивающих усилий, действующих на стержень во всех расчетных случаях в рассматриваемом стержне.

4. Если в каких-либо расчетных случаях стержень  сжат (т. е. <0, или, что то же самое <0), то определяется потребная площадь поперечного сечения при сжатии  конкретного стержня  Fсж = ;

Здесь –  максимальное (по модулю) сжимающее усилие из  всех сжимающих усилий, действующих на стержень во всех расчетных случаях в рассматриваемом стержне.

5. Если Fраст ? Fсж, то новое  = Fраст. Если Fсж >Fраст, то новое  = Fсж  и производится переход к п.3.

6.По достижении заданной точности в п. 3 в таблицу записываются получившиеся на последней итерации  и подсчитываются остальные характеристики фермы. При этом, площади , получившиеся за счет сжатия (т. е., назначенные по условию = Fсж ), выделяются синим цветом.