Примеры разложения иррациональных чисел в цепные дроби, практическое применение цепных дробей (стр. 7 )

=; =5

;

;

;

;

;

.

Мы получили неполные частные, начиная с будут повторяться и =(5, (1, 1, 1, 10)).

5	1	1	1	10	1	…
	5	6	11	17	181	198
	1	1	2	3	32	35

, так как 32·35>1000.

Пример 4. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью с точностью до 0,001 число.

=; =1

;

;

;

=((1, 2))

1	2	1	2	1	2	1	2	1
	1	3	4	11	15	41	56	153
	1	2	3	8	11	30	41	102

, так как 30·41>1000.

Пример 5. Найдите значение цепной дроби

       Для нахождения значения цепной дроби сначала найдем значение соответствующей чисто-периодической цепной дроби . Заметим, что в этом случае полное частное . Следовательно, для нахождения значения цепной дроби можно воспользоваться формулой:

, при   .

n	-2	-1	0	1	2	3
	1	1	1	4
	0	1	1	2	3	14
	1	0	1	1	2	9

Таким образом, .

После очевидных преобразований получим решение , корнями которого являются числа . Поскольку , то .

Заметим, что для цепной дроби величина является третьим полным частным: . Следовательно для нахождения значения в цепной дроби можно воспользоваться формулой

при   .

n	-2	-1	0	1	2
	1	2	1
	0	1	1	3	4
	1	0	1	2	3

Таким образом, . После очевидных преобразований получим окончательный результат .

Рассмотрим применение цепных дробей.

Цепные дроби – абстрактный объект теории чисел, они широко используются в различных разделах математики и физики, особенно в механике. Но они также очень востребованы другими науками.

Со времён Баха в музыке используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2(3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем.

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа: Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение () никогда не использовалось. Третья дробь (), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (), ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер, однако большого интереса он не вызвал.

Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году построил один из первых механических планетариев. Теорию цепных дробей он применил при проектировании зубчатых колес, что обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет. Христиан Гюйгенс  строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде (несократимой) дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Тогда Гюйгенс нашёл среди дробей с меньшим числителем и меньшим знаменателем подходящую дробь к числу. Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь и поэтому ограничился рассмотрением правильных цепных дробей. Благодаря этому была найдена подходящая дробь , аппроксимирующая дробь с большими числителем и знаменателем, и имеющая погрешность, которая составляет лишь десятитысячную долю от единицы.

С помощью теории цепных дробей вычисляется приближенное значение золотого сечения. Это число отражает пропорции объектов, воспринимаемых человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. Золотое сечение часто встречается в природе и повседневной жизни, даже пропорции тела человека близки к этому числу.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Сама природа отражает цепные дроби, только это надо увидеть. Это лишний раз подтверждает афоризм Галилео Галилея: «Математика – это язык, на котором написана книга природы».

Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.

Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.

Таким образом, в настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.

Список использованной литературы

Богомолов, задач по математике [Текст] / . – М.: Дрофа, 2009. – 206 с. Бухштаб, чисел [Текст] / . – М.: Просвещение, 1966. – 384 с. Выгодский, по элементарной математике [Текст] / . – М.: Дрофа, 2006. – 509 с. Журбенко, в примерах и задачах [Текст] / . – М.: Инфра-М, 2009. – 373 с. Иванов, математика для школьников, студентов и преподавателей [Текст] / . – М.: МЦНМО, 2009. – 384 с. Карп, по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе [Текст] / . – М.: Просвещение, 2005. – 79 с. Куланин, Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике [Текст] / . – М.: Айрис-пресс, 2007. – 624 с. Лейбсон, практических заданий по математике [Текст] / . – М.: Дрофа, 2010. – 182 с. Манова, . Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ: уч. пособие [Текст] / . – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012. – 541 с. Михелович, чисел [Текст] / . – М.: Высшая школа, 1967. – 336 с. Сергеев, И. Н. ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С [Текст] / . – М.: Экзамен, 2012. – 301 с. Соболев, математика [Текст] / . – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 81 с. Хинчин, дроби [Текст] / . – М.: Гос-ое изд-во физ.-мат. литературы, 1960. – 111 с.