Примеры разложения иррациональных чисел в цепные дроби, практическое применение цепных дробей (стр. 1 )

Примеры разложения иррациональных чисел в цепные дроби. Практическое применение цепных дробей

1. Цепные дроби: определения, примеры и свойства

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть и — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел определена тем, что каждое — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

Тогда НОД(a, b), наибольший общий делитель и , равен , последнему ненулевому члену этой последовательности. Данный алгоритм называется алгоритмом Евклида.        

Пусть - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т. д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что – целое число, а , …, - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

Согласно последнему обозначению имеем 

Числа , , …, называются элементами цепной дроби. В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными.

Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Пример 1. Представить рациональное число в виде цепной дроби.

Решение.

.

Пример 2. Представить рациональное число в виде цепной дроби.

Решение.

.

Заметим,

В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент .

Пример 3: .

При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример 4: , а так как , то .

Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

       Пример 5: 5=(5); .

Рассмотрим историческое происхождение цепных дробей. По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции.

Например, алгоритм Евклида (III в. до н. э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу Архимед (ок. 287-212 до н. э.) пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

В 1858 году был найден в курортном городке на Ниле древний папирус, его называют также Папирусом Ахмеса по имени писца, переписавшего его в 1650 году до н. э. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор неизвестен, но он жил еще раньше. В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга: , где S - площадь, а D – диаметр круга. Формула дана в виде рецепта: «Возьми диаметр круга и отбрось его девятую долю; на остающемся построй квадрат». Здесь используются наилучшие рациональные приближения. Трудно сказать, как египтяне нашли этот коэффициент. Его могли найти и просто подбором – что абсолютно исключено в случае приближений , найденных Архимедом.

Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н. э.) показал, что ? заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к ? величину .

Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. 1048-1122). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляласуток и составляла погрешность всего 19 секунд в год.

Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (1526-1572), вышедший в 1572 году в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для следующего вида . Это частный случай формулы .