Условие (стр. 3 )

Итак, пусть X — гость, знакомый со всеми. Тогда его соседи тоже знакомы со всеми, так как они знакомы с X (являющимся для них соседом). Соседи этих соседей также знакомы со всеми, и так далее по кругу.

Условие

Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Жители селения стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив тот или лжив. На основании этих сообщений путешественник однозначно определил, какую долю от всех жителей селения составляют правдивые. Определите и вы, чему она равна.

Решение

Пусть x — доля правдивых жителей. Представим себе, что все правдивые жители стали лжецами, а все лжецы "исправились". Тогда путешественник услышит то же самое! Действительно, правдивость любого жителя изменилась, но изменилась и правдивость соседа, о котором он говорит. Но доля правдивых в этом круге равна 1 - x. Таким образом, путешественник не может отличить круг с долей правдивых жителей x от круга с долей правдивых жителей 1 - x. Значит, он мог определить долю правдивых жителей только при x = 1 - x. Но это значит, что x = 1/2.

Комментарий. Занумеруем жителей числами по часовой стрелке и положим xi = 1, если i-й житель лжец, и xi = 0 — в противном случае. Тогда i-й житель сообщит путешественнику xi + xi + 1, где сложение происходит по модулю 2 (т. е. 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0). Поэтому информацию, полученную путешественником, можно понимать как систему линейных уравнений над полем из двух элементов.

Условие

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5.

Подсказка

Докажите, что AC — диаметр окружности.

Решение

Поскольку DE — общее основание равновеликих треугольников ADE и CDE, то их высоты, опущенные из вершин A и C, равны, поэтому ACDE. Аналогично BCAD. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому

ACE = ADE = CAD = DBC = ACB.

Значит, CA — биссектриса угла BCE и AB = AE, а прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BE. Следовательно, отрезок AC — диаметр окружности, а четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Поэтому AC = BD и по условию задачи 3AC + 2BD = 5CD = 5. Значит, диаметр окружности равен , а её длина равна .

Ответ

.

Условие

Разрезать круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.

Решение

Разобьём окружность с центром в точке O на шесть равных частей точками A, B, C, D, E и F. Понятно, что треугольники OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA - равносторонние. Проведём дугу окружности с центром в точке A радиуса AB от точки B до точки O. Аналогично проведём дуги окружностей с центрами в точках B, C, D, E, F (см. рис.). Таким образом, мы разбили окружность на 6 равных частей. Теперь каждую из этих частей разобьём на две равные части одним из двух способов, изображённых на рисунке.

Условие

Через точку X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X равновелики тогда и только тогда, когда точка X лежит на диагонали параллелограмма.

Подсказка

Пусть точка X лежит внутри параллелограмма ABCD. Если SABCX = SADCX, то точка X лежит на диагонали AC.

Решение

Пусть точка X лежит внутри параллелограмма ABCD, прямая, проведённая через эту точку параллельно стороне AB, пересекает стороны AD и BC соответственно в точках P и Q, а прямая, проведённая через эту точку параллельно стороне BC, пересекает стороны AB и CD соответственно в точках R и S. Тогда четырёхугольники ARXQ, XPCS, RBPX и QXSD — параллелограммы. Если точка X лежит на диагонали AC (рис.1), то

SABC = SADC, SARX = SAPX, SXQC = SXSC.

Следовательно,

SRBQX = SABC - SARX - SXQC = SADC - SAPX - SXSC = SPXSD,

что и требовалось доказать. Обратно, пусть точка X лежит внутри параллелограмма ABCD и SRBPX = SQXSD (рис.2). Поскольку

SARX = SAPX и SXQC = SXSC,

то

SABCX = SARX + SXQC + SRBQX = SAPX + SXSC + SPXSD = SADCX = SABCD.

Следовательно, точка X лежит на диагонали AC.

Условие

Через точку L, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам ипараллельные его сторонам ипересекающие стороны AB и CD соответственно в точках K и G, а стороны BC и AD соответственно в точках F и M. Докажите, что прямые BM, KD и CL пересекаются в одной точке.

Подсказка

Воспользуйтесь следующим утверждением. Через точку X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X равновелики тогда и только тогда, когда точка X лежит на диагонали параллелограмма.

Решение

Воспользуемся следующим утверждением. Через точку X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X равновелики тогда и только тогда, когда точка X лежит на диагонали параллелограмма. Пусть прямые BM и KD пересекаются в точке N. Докажем, что прямая CL проходит через точку N. Для этого проведём через точку N прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая, параллельная AB, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках P и Q, а вторая прямая — стороны AB и CD соответственно в точках R и S, H — точка пересечения отрезков KG и PQ, E — точка пересечения отрезков RS и MF. Поскольку точка N лежит на диагонали BM параллелограмма ABFM и на диагонали KD параллелограмма AKGD, то SARNQ = SNPFE и SARNQ = SNHGS. Значит, SNPFE = SNHGS, поэтому параллелограммы HPFL и ELGS равновелики. Следовательно, точка L лежит на диагонали CN параллелограмма NPCS. Поэтому прямая CL проходит через точку N.

Условие

В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым один раз. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья - 1/2, поражение - 0.)
Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70% ?