Условие (стр. 1 )

Условие

В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а число участников, решивших

хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2; хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3; хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4; хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5; хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.

Сколько школьников не решили ни одной задачи?

Решение

Пусть все задачи решило n школьников. Тогда хотя бы 5 задач решило 4n человек, хотя бы 4 задачи --16n человек, ..., хотя бы одну задачу --1024n человек. Следовательно, 1024n2006, откуда получаем n2006 : 1024 < 2. Поскольку Вася решил ровно одну задачу, 1024n > 0, откуда n > 0. Поэтому n = 1; хотя бы одну задачу решило 1024 школьника, а значит ни одной задачи не решило 2006 - 1024 = 982 школьника.

Ответ

982 школьника.

Условие

Среди чисел a, b, c есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв a, b, c, знаков +, -, Ч, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

Решение

Например,

+ + .

Другой вариант:

.

Условие

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

Решение

Ответ: например, 5, 6, 7, 8, -1.

Можно построить и другой пример: пусть первые четыре числа - двойки. Получаем уравнение на пятое число x:
16x=x-1, откуда x=-1/15.

Условие

Является ли число 49 + 610 + 320 простым?

Решение

Имеем

49 + 610 + 320 = (29)2 + 2 . 29 . 310 + (310)2 = (29 + 310)2.

Комментарий. Можно было бы пытаться вычислять остатки от деления данного числа на разные простые числа, надеясь найти небольшое число на которое наше число делится. Однако из этого ничего не выйдет, так как 29 + 310 — простое число.

Условие

Доказать, что для любого натурального n справедливо соотношение:

= 2n. (2n - 1)!!

Решение

Ясно, что n!2n = 2 . 4 . 6 . ... . 2n. Поэтому n!2n(2n - 1)!! = (2 . 4 . 6 . ... . 2n)1 . 3 . 5 . ... . (2n - 1) = (2n)!.

Условие

Имеется 1959 положительных чисел a1, a2..., a1959, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Решение

Рассмотрим 1 = (a1 + ... + a1959)1000, тогда, раскрыв скобки, получим сумму всех возможных произведений ai длины 1000, в каждое из которых любое число может входить несколько раз. Кроме того, произведения отличающиеся порядком сомножителей, входят в эту сумму отдельно друг от друга. Тем самым каждая рассматриваемая в задаче комбинация входит в эту сумму, кроме того в эту сумму входят ещё и другие слагаемые. Все слагаемые положительны, а значит, искомая сумма меньше 1.

Условие

Доказать, что для любого целого d найдутся такие целые m, n, что

d = .

Решение

Выразим n через d и m. В результате получим

n = = m2 - .

Положим m = d + 2. Тогда n = d2 + 3d + 3. Итак, пусть m = d + 2 и n = d2 + 3d + 3, где d — данное целое число. Тогда если d - 1, то

= = d.

Чтобы получить d = - 1, можно взять m = 1 и n = 0.

Условие

На протяжении некоторого года (от 1 января до 31 декабря включительно) количество вторников было равно количеству четвергов. Следует ли из этого, что и количество сред было такое же? Рассмотрите два случая:
а) в году было 365 дней,
б} в году было 366 дней.

Решение

а) В году 365 дней, то есть 52 полные недели плюс один день. Если год начинается со среды (например, 2003-й год), то сред будет на одну больше, чем вторников и четвергов. б) 366 дней — это 52 недели и ещё 2 дня. Они не могут быть вторником и четвергом, так как эти дни идут не подряд. Не один из этих дней не среда, потому что иначе другой день был бы вторником или четвергом, и при этом нарушается условие равенства вторников и четвергов. Значит, сред в году не больше и не меньше.

Ответ

а) Не следует. б) Следует.

Условие

Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?

Решение

Если Петя купил вначале 5 пуль, а всего сделал 50 выстрелов, то 45 пуль он получил за успешные выстрелы. Но для этого ему надо было попасть в цель 9 раз. А он утверждает, что сделал только 8 метких выстрелов. Значит, он не прав.

Условие

У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще пол-тремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще пол-тремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще пол-тремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.

Решение

Будем решать задачу с конца. Определим сначала, сколько тремпончиков было у Джона перед встречей с последней девушкой. Из условия следует, что пол-тремпончика составляли половину этого количества. Значит, всего имелся один тремпончик. Аналогично, перед встречей с Банной половину всех имевшихся тремпончиков составлял этот один и еще пол-тремпончика, то есть полтора. Поэтому всего имелось три тремпончика. Они и еще пол-тремпончика составляли половину исходного количества. Значит, изначально было 7 тремпончиков.

Условие

Покупатель взял у продавца товара на 10 р. и дал 25 р. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушёл, сосед обнаружил, что 25 р. фальшивые. Продавец вернул соседу 25 р. и задумался. Какой убыток понёс продавец?

Решение

Ответ: 25 р. Убыток заключается в том, что продавец отдал 25 р. за фальшивые 25 р; остальные обмены можно не учитывать.

Условие

сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу П. - их произведение.
- Если бы я знал - сказал С., - что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.
- Мое число меньше, чем твоё - ответил П., а искомые числа..., ... и... .
Какие числа назвал П.?

Решение

Сумму чисел обозначим через S, произведение — через P. Если S равно 3, 4 или 5, то (проверьте!) P < S и высказывание С. ложно. Если S ≥ 7, то среди вариантов наборов, имеющих сумму S, есть такие: (1, 2, S – 3) и (2, 2, S – 4). В обоих случаях P > S, что противоречит высказыванию С. Остаётся вариант S = 6. При этом P может равняться 4, 6 и 8. Но П. сказал, что его число меньше. Значит, П. назвал числа 1, 1 и 4.

Ответ

1, 1 и 4.

Условие

В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т. е. если одна из партий набрала в x раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в x раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить? (Ответ объясните.)

Решение

Ответ: 50 мест. Если 10 партий наберут ровно по 5% голосов, а две, включая Партию любителей математики (ПЛМ), - по 25%, то представители ПЛМ получат ровно 50 мест в парламенте. Докажем, что большее число мест ПЛМ получить не может. Действительно, количество мест, полученных ПЛМ в парламенте, равно