Дипломная работа (стр. 4 )

Элемент называется решением скалярной задачи оптимизации, если

для всех . [11,12]

1.5.3 Математическая формулировка задачи принятия решений при нескольких критериях

       Пусть набор из m критериев выбора решения представляет собой совокупность функций , заданных на пространстве , или некоторой его части, включающей множество допустимых решений . Отдельный критерий называют частным критерием выбора, а множество его возможных значений – шкалой критерия.

       Совокупность критериев называется полной, если она описывает все существенные предпочтения ЛПР. 

       Множество называется множеством достижимых значений критериев.

       Важным условием, облегчающим анализ критериальных задач выбора, является независимость критериев по предпочтению. Желательные для ЛПР изменения значений каждого из частных критериев, при неизменных значениях остальных критериев, не должны зависеть от конкретных значений остальных критериев. [12]

1.5.4 Понятия доминирования по Парето и Слейтеру. Решение задачи принятия решений при нескольких критериях

       Рассмотрим критериальную задачу с независимыми по предпочтению критериями, в которой ЛПР смогло упорядочить по предпочтительности значения на шкалах всех частных критериев. Достаточно ли такой информации для выбора единственной наиболее предпочтительной критериальной точки? Этой информации не достаточно, т. к. если в задаче скалярной максимизации решение более предпочтительно, чем решение в том и только в том случае, когда , то в многокритериальных задачах  информации о предпочтениях недостаточно, чтобы понять, как ухудшение значения одно критерия может быть компенсировано улучшением значения другого. Поэтому в многокритериальных задачах используют некоторые следующие из имеющейся информации условия того, что критериальная точка заведомо более предпочтительна для ЛПР, чем критериальная точка .[11,12]

       Рассмотрим две математические формализации понятия предпочтительности. Будем говорить, что точка доминирует точку по Парето и обозначать , если для всех критериев имеем и хотя бы для одного частного критерия I имеется .

       Будем говорить, что точка доминирует точку по Слейтеру и обозначать , если для всех критериев выполнено условие

.

       Будем говорить, что точка равноценна точке и обозначать если для всех критериев. 

       Доминирование по Парето и по Слейтеру позволяет определить понятие оптимального решения задачи выбора решений при нескольких критериях. 

       Критериальная точка называется оптимальной по Парето, если {. Такая точка называется также недоминируемой (или неулучшаемой), а также парето-эффективной.

       Критериальная точка  называется оптимальной по Слейтеру, если . Такая точка называется также недоминируемой по Слейтеру или слабоэффективной. Обратим внимание на то, что множество оптимальных элементов (и по Парето и по Слейтеру) обычно состоит более чем из одной точки множества Y.

       Множество критериальных точек, оптимальных по Парето на , называют множеством Парето в пространстве критериев, а также парето-оптимальным, парето-эффективным, или недоминируемым множеством в пространстве критериев и обозначают .

       Множество критериальных точек, оптимальных по Слейтеру на называют множеством Слейтера или слабоэффективным множеством в пространстве критериев и обозначают .