ЕГЭ ПО ИНФОРМАТИКЕ И ИКТ
Задание 18 | Знание основных понятий и законов математической логики | 3 мин. |
Задача демоверсии КИМ-2015
На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула
(x ∈ P) → (((x ∈ Q) /\ (x ∈ A)) → (x ∈ P))
истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Решение:
Для упрощения записи заменим выражения:
x ∈ P на Р
x ∈ Q на Q
x ∈ A на А.
Формула (x ∈ P) → (((x ∈ Q) /\ (x ∈ A)) → (x ∈ P)) примет вид:
P → ((Q /\ A) → P)
Преобразовываем данную формулу до более простого и удобного вида.
А → В равносильно А ∨ В, значит:
P → ((Q /\ A) → P) = P ∨ ((Q /\ A) → P) = P ∨ (Q /\ A) ∨ P =
Для упрощения выражения (Q /\ A) применяем формулу де Моргана:
(А ∧ В) = А ∨ В.
Значит, (Q /\ A) = Q ∨ А.
P ∨ (Q /\ A) ∨ P = P ∨ Q ∨ А ∨ P = P ∨ Q ∨ А (т. к. P ∨ P = P).
Итак, имеем упрощенную формулу:
P ∨ Q ∨ А.
Изобразим P ∨ Q на координатной прямой:
P – вся числовая прямая, кроме [37; 60]
Q – вся числовая прямая, кроме [40; 77]
Формула P ∨ Q ∨ А истинна при любом значении переменной х, если будет перекрыта вся числовая прямая. Значит, отрезок А должен перекрывать отрезок [40; 60] и [40; 60] – минимальный вариант отрезка А.
Итак, А = [40; 60].
Длина отрезка А: 60 – 40 = 20.
Ответ: 20.
Решите:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [11; 55] и Q = [33; 88]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула((x ∈ A) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ P)
истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [34; 84] и Q = [54; 114]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула((x ∈ A) ∧ (x ∈ P)) → (x ∈ Q)
истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [12; 62] и Q = [52; 92]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула((x ∈ A) ∧ (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)
истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [12; 62] и Q = [52; 92]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула((x ∈ A) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∈ P)
истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3; 33] и Q = [22; 44]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула(x ∈ P) → ((x ∈ Q) → (x ∈ A))
истинна при любом значении переменной х, т. е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
№ задания | |||||
Ответ | 33 | 20 | 40 | 30 | 11 |
