Лекция № 13
Квантовое движение частиц
1. Свободное движение частиц.
2. Стационарное состояние частицы в потенциальной яме.
3. Квантование энергетического спектра гармонического осциллятора.
4. Стационарное состояние атома водорода.
5. Переходы между стационарными состояниями. Правила отбора.
6. Туннельный эффект и надбарьерное отражение.
В нерелятивистской квантовой механике состояние частицы описывается посредством волновой функции 
, удовлетворяющей уравнению Шредингера
, (13.1)
где m – масса частицы, ћ = h/2р, h – постоянная Планка,
(13.2)
- оператор полной энергии частицы в потенциальном поле U(r) и 
. Все наблюдаемые физические характеристики частицы определяются с помощью волновой функции 
, которую часто называют комплексной амплитудой вероятности.
Для получения единственного решения уравнения в частных производных (13.1) необходимо задать начальное состояние частицы в некоторый момент времени t=0
(13.3)
и определенные граничные условия на поверхности, ограничивающей область возможного движения частицы. В частности, граничные условия могут задаваться на бесконечности, где r → ∞.
Особый интерес представляют стационарные состояния частицы, где ее энергия Е является точно определенной, а все усреднённые с помощью волновой функции динамические характеристики системы не зависят от времени. Стационарные состояния возможны только для замкнутой системы и описываются волновой функцией строго определенного вида
, (13.4)
где координатная часть волновой функции есть решение стационарного уравнения Шредингера
, (13.5)
получаемого путем подстановки функции (13.4) в уравнение (13.1). Стационарное уравнение Шредингера (13.5) определяет собственные функции и собственные значения оператора полной энергии Ĥ (оператора Гамильтона), который для замкнутой системы не содержит времени.
Свойства стационарных состояний частицы зависят от ее потенциальной энергии U(r), а также размерности, формы и размеров той пространственной области, в которой происходит движение частицы.
Рассмотрим свободное (U=0) движение частицы в неограниченном трехмерном пространстве, когда стационарное уравнение Шредингера (13.5) принимает вид
. (13.6)
Одно из решений уравнения (13.6) записывается следующим образом:
, (13.7)
где с – комплексная постоянная, определяемая условием нормировки ц, а вектор 
удовлетворяет соотношению
. (13.8)
Если ввести импульс частицы
, (13.9)
то полная волновая функция (13.4) для стационарного состояния частицы в свободном пространстве
(13.10)
есть волна де Бройля, бегущая в направлении вектора 
. Длина волны де Бройля определяется известной формулой
. (13.11)
Выражения (13.8)-(13.11) описывают нерелятивистское движение свободной частицы.
Стационарное состояние свободной частицы характеризуется не только точно определенным значением ее кинетической энергии Е, но и точно определенным импульсом 
. Это возможно благодаря тому, что операторы кинетической энергии и импульса частицы коммутируют. Отметим также, что значения кинетической энергии и импульса связаны между собой классической формулой (13.8).
С другой стороны операторы координат не коммутируют с операторами соответствующих компонент импульса, поэтому в соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга пространственное положение частицы полностью неопределенно. Плотность вероятности обнаружения частицы в любом элементе пространства согласно формуле
dP=|ш|2dV=|c|2dV (13.12)
есть величина постоянная и равна
dP/dV=|c|2. (13.13)
В этом случае говорят, что частица равномерно “размазана” по всему пространству. Законы квантовой механики не позволяют локализовать свободную частицу с заданным импульсом в какой-либо заданной точке пространства.
Пространственную локализацию частицы в конечной области пространства можно осуществить с помощью потенциальной энергии взаимодействия. Допустим, что частица массой m совершает одномерное движение вдоль оси х, находясь в бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы шириной d. Зависимость потенциальной энергии U от координаты х приведена на рис.13.1. На границах ямы x=0 и x=d потенциальная энергия скачком возрастает от 0 до ∞.
Рис. 13.1.
Для области 0<х<d внутри потенциальной ямы стационарное уравнение Шредингера (13.6) запишется в следующем виде
. (13.14)
За пределами потенциальной ямы частица находиться не может, поскольку это требует бесконечной энергии. В связи с этим
ц≡0, х <0 или х >d. (13.15)
В силу непрерывности волновой функции на границах потенциальной ямы должно выполняться граничное условие
ц|x=0 = ц|x=d =0 . (13.16)
Решение граничной задачи (13.14)-(13.16) имеет вид
ц=с sinknx 0≤x≤d, (13.17)
где
knd=рn, n=1,2,3, … . (13.18)
Соотношение (13.18) определяет дискретный энергетический спектр стационарных состояний частицы в рассматриваемой потенциальной яме. Подставляя функцию ц (13.17) в уравнение (13.14), с учетом (13.18) получим
, 
. (13.19)
Принципиальным является то обстоятельство, что наименьшая кинетическая энергия частицы в основном состоянии с n=1 отлична от нуля:
. (13.20)
Таким образом, согласно квантовым законам в ограниченной области существует самодвижение частицы без каких-либо внешних воздействий, некая внутренняя активность частиц, что является в некотором смысле аналогом движения по инерции в классической механике. С другой стороны, формула (13.20) показывает, что для локализации частицы требуется определенная энергия, причем величина этой энергии растет с уменьшением линейного размера локализации d как 1/d2.
В заключение отметим, что постоянная c волновой функции (13.17) находится из условия нормировки
(13.21)
или
. (13.22)
При вычислении интеграла (13.21) использовалось соотношение (13.18).
В случае одномерного гармонического осциллятора потенциальная энергия частицы
, (13.23)
где k>0 – постоянная, и стационарное уравнение Шредингера принимает вид
. (13.24)
Уравнение (13.24) имеет ограниченные решения, удовлетворяющие граничным условиям
, (13.25)
только для дискретных значений энергии
(13.26)
где 
- частота собственных колебаний гармонического осциллятора.
Особенность энергетического спектра гармонического осциллятора – его эквидистантность, т. е. разность энергий соседних уровней
(13.27)
не зависит от номера уровня n.
Энергия основного состояния гармонического осциллятора отлична от нуля и равна
, (13.28)
т. е. частица с наименьшей энергией не находится в состоянии покоя в точке x=0, как это должно быть согласно законам классической физики. Движение частицы в основном состоянии гармонического осциллятора называется нулевыми колебаниями.
Модель гармонического осциллятора широко используется для описания финитного движения линейных систем различной физической природы с потенциальной энергией типа (13.23). Метод Фурье позволяет рассматривать электромагнитное излучение как систему полевых гармонических осцилляторов с разными частотами. Энергия этих полевых гармонических осцилляторов также описывается формулой (13.26), где n – число фотонов электромагнитной волны с частотой щ.
Отсутствие фотонов не означает отсутствие электромагнитного поля, поскольку при n=0 существуют нулевые колебания поля с конечной энергией 
. Эти нулевые колебания электромагнитного поля представляют собой хаотические изменения во времени и пространстве векторов напряженности электрического и магнитного полей и являются составной частью физического вакуума. Они проявляют себя через взаимодействие с заряженными частицами, меняя их характеристики.
Рассмотрим стационарные состояния атома водорода, где потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с протоном имеет вид
(13.29)
Здесь 
- расстояние между электроном и протоном, который считается неподвижным и находящимся в начале системы координат x=y=z=0. Стационарное уравнение Шредингера (13.5) для электрона принимает вид
(13.30)
Граничные условия формулируются следующим образом:
, (13.31)
а в начале системы координат r=0 волновая функция 
имеет конечное значение. Ниже рассматриваются только те стационарные состояния атома водорода, которые соответствуют финитному движению электрона.
В классической механике при движении частицы в центральном потенциальном поле сохраняются постоянными полная механическая энергия, квадрат момента импульса относительно центра потенциального поля и проекция момента импульса на ось z, перпендикулярную к плоскости орбиты частицы. Операторы, соответствующие этим динамическим величинам, коммутируют друг с другом, поэтому в стационарных состояниях атома водорода точные значения одновременно имеют:
1) энергия
, (13.32)
где n=1,2,3,… - главное квантовое, или радиальное число, 
- постоянная Ридберга для случая неподвижного протона, 
- скорость света в вакууме, 
=
и 
- постоянная Планка;
2) квадрат момента импульса электрона относительно точки нахождения протона (орбитальный момент импульса)
(13.33)
где 
= 0,1,2,…, n-1 – азимутальное, или орбитальное квантовое число;
3) проекция момента импульса электрона на произвольную ось z (момент импульса электрона относительно оси z)
(13.34)
где 
= 
…,-1,0,1,…,
, 
- магнитное квантовое число.
Согласно формулам (13.32)-(13.34) все три величины 
и 
в стационарных состояниях квантуются, т. е. принимают только дискретные значения. Эти формулы получены путем решения стационарного уравнения Шредингера (13.30) при указанных выше граничных условиях для случая финитного движения электрона. Отметим, что выражение для энергии (13.32) совпадает с результатом теории Бора.
Набор трех квантовых чисел 
и 
полностью задает стационарное состояние атома водорода и характер движения электрона в этом состоянии. Однако энергия стационарного состояния, как видно из формулы (13.32), определяется только одним главным квантовым числом 
. Меняя два других квантовых числа 
и 
в рамках указанных выше ограничений, можно менять квантовое состояние т. е. движение электрона, но не его энергию. В этом случае говорят, что энергетические уровни данных квантовых состояний вырождены. Степень вырождения стационарных состояний с заданным главным квантовым числом, т. е. полное количество таких состояний с одинаковой энергией, равно 
(без учета спина электрона).
В процессах поглощения и испускания фотонов атомами должны выполнятся законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Закон сохранения энергии выполняется с помощью частоты поглощенного или испущенного фотона. При поглощении и испускании фотона атом получает импульс отдачи в соответствии с законом сохранения импульса. Поскольку фотон обладает собственным моментом импульса – спином, то в результате поглощения фотона момент импульса атома меняется, что соответствует изменению азимутального квантового числа 
:
. (13.35)
Таким образом, для переходов с участием фотонов должно выполняться условие (13.35), которое называется правилом отбора для процессов поглощения и испускания фотонов атомами.
В классической механике для частицы, на которую действует консервативная сила F(x), выполняется закон сохранения механической энергии – сумма кинетической К и потенциальной U(x) энергии частиц остается постоянной при её движении:
E=K+U(x)=const. (13.36)
Следовательно, для всех положений частицы и любого момента времени справедливо соотношение
(13.37)
поскольку кинетическая энергия является неотрицательной величиной. Область, где E<U(x), запрещена для нахождения частицы законом сохранения энергии.
Согласно законам квантовой механики энергия частицы есть характеристика стационарного состояния и не может быть точно определена в какой-либо момент времени для некоторой точки пространства. Закон сохранения механической энергии (13.36) принимает вид
E=<K>+<U>, (13.38)
где усреднение производится с помощью волновой функции ш рассматриваемого стационарного состояния:
<K>=
<U>=
. (13.39)
В результате условие (13.35) заменяется более слабым
(13.40)
поскольку среднее значение потенциальной энергии может оказаться меньше её значений в некоторой области, где U(x)>E. Благодаря этому ослаблению запрета квантовое движение частицы возможно и в тех областях пространства, где соотношения (13.37) не выполняется.
Допустим, что частица массой m с энергией E и импульсом 
движущаяся в положительном направлении оси x, встречает на своём пути потенциальный барьер прямоугольной формы, имеющий высоту 
и ширину 
(рис.13.2). Волновая функция налетающей на барьер частицы есть волна де Бройля
, (13.41)
где c - комплексная постоянная и 
Рис.13.2
Решение стационарного уравнения Шредингера показывает, что несмотря на то, что энергия частицы E меньше высоты 
потенциального барьера, частица может пройти через барьер и оказаться в области x>
, где её движение снова описывается волной де Бройля
(13.40)
Здесь Т - амплитудный коэффициент прохождения потенциального барьера, определяющий вероятность 
прохождения потенциального барьера с помощью выражения
. (13.41)
Здесь
и предполагается, что 
Данное явление прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы, называется туннельным эффектом.
Вероятность туннельного эффекта очень быстро уменьшается с увеличением массы m частицы, разности энергий 
и ширины барьера 
, поэтому он наблюдается в основном для электронов и нуклонов на пространственных масштабах порядка 
и 
соответственно. В частности, 
- распад атомного ядра происходит благодаря туннельному эффекту.
В зондовой микроскопии, используемой в современных нанотехнологиях, для анализа поверхностных структур проводящих тел применяется туннельный ток, протекающий между зондом и поверхностью тела. Для получения электронного туннельного тока между зондом с радиусом закругления ~0,1 мкм и поверхностью тела создают постоянное электрическое поле ~1010 В/м, позволяющее электронам преодолеть потенциальный барьер на границе проводника.
Если энергия частицы Е превышает высоту потенциального барьера 
, то возможно новое квантовое явление - надбарьерное отражение частицы. Частица, отражённая от потенциального барьера, описывается волной де Бройля
(13,42)
распространяющейся в отрицательном направлении оси x. Здесь R-амплитудный коэффициент отражения, определяющий вероятность 
отражения частиц от потенциального барьера с помощью выражения
(13.43)
и
.
Максимальное отражение наблюдается для частиц с энергией
, (13.44)
когда вероятность отражения
(13.45)
В случае 
и для налетающих частиц со сколь угодно большой кинетической энергией имеется весьма большая вероятность отразиться от потенциального барьера, равная
(13.46)
Интересно отметить, что для частиц с энергией
, 
. (13.47)
надбарьерное отражение отсутствует, поскольку R=0.
Рассмотренные выше примеры описания движения частицы показывают, что путём решения уравнений Шредингера и нахождения волновой функции частицы на основе формализма квантовой механики можно с единых позиций вывести все результаты, полученные с помощью специально вводимых гипотез, ориентированных на объяснение и количественное описание отдельных экспериментальных фактов. Интересно отметить, что из уравнения Шредингера (13.1) для усредненных величин получается классическое уравнение Ньютона
, (13.48)
где
, 
и
.
Данное уравнение, впервые полученное П. Эренфестом и подтверждающее принцип соответствия, получило название теоремы Эренфеста. Согласно уравнению (13.48) классический закон движения частицы можно использовать с хорошей точностью, если выполнены условия:
, 
.
Здесь приведены примеры операционального использования формализма квантовой механики, позволяющего путём решения уравнения Шредингера найти волновую функцию и с её помощью рассчитать измеряемые характеристики стационарных состояний частицы. При этом следует иметь в виду, что волновая функция не материальна, не имеет источников и не может быть измерена. Она является необычным информационным полем, проецирующим свойства микромира на свойства макромира. Вследствие этого пространственно-временные изменения волновой функции нельзя отождествлять с движением самой частицы, а координаты, от которых зависит волновая функция – с координатами частицы.
