Большинство задач на момент написания реферата использует клеточный (растровый) метод №1 для моделирования множеств. Этот метод обладает несколькими недостатками. Для детального моделирования требуется Ln клеток. Где L – количество клеток в одном измерении n-количество измерений. Современная мощность компьютеров позволяет беспрепятственно моделировать 2х-мерные множетва. Для них L~ 103 . Для моделирования 3х мерных множеств требования к ОЗУ резко возрастают. Для таких задач L ~ 100, что явно недостаточно для полноценного моделирования. Альтернативой клеточной модели может служить векторная модель.
Для моделирования 3х-мерных физических стохастических фракталов применим векторный метод. Растровый метод вообще мало применим для 3х мерного моделирования. А аналитические функции, описывающие что-либо физическое стохастическое достаточно редки. Можно придумать пример, основанный на алгоритмах генерации случайных чисей, которые при одних и тех же (х, у,z) возвращают одинаковые значения. Например: F(x, y,z) = f(x, y,z) + MD5(x, y,z, r), где f – аналитическая функция, r – константый случайный параметр, MD5 – функция вычисления MD5 суммы. Но этот способ требует тщательного вероятностного анализа получаемых значений что бы результат был близок к какой-нибудь физической задаче.
Применимость методов моделирования.
Растровый метод | Векторный метод | Функциональный метод | |
Геометрические фракталы | В основном 2х мерные задачи | применим | применим |
Алгебраические | В основном 2х мерные задачи | применим | применим |
Стохастические | В основном 2х мерные задачи | применим | мало применим |
Так же кратко стоит упомянуть о методах постоения фрактала. Для постоения геометрических фракталов используется Система Итерируемых Функций. Для алгебраических используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Для стохастических, все зависит от природы фрактала и сотношения закономерности и случайностей.
Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ
Следует отметить, что описанным ниже способом вычисляется не только размерность Минковского, но и Хаусдорфа, хотя для некоторых множеств(например для счетных множеств) эти размерности, вычисленные аналитически могут отличаться [КОН 135]. Но в большинсте важных случаев эти размерности совпадают.
За основу берется формула зависимости количества кубов N от длины грани куба ε при малых ε в покрываещем множестве.
ln const – ln N(ε) ≈ d ln ε
Как видно из формулы, если построить график зависимости ln N от ln ε , то получится прямая с наколном d.
Разберём алгоритм на примере 2х мерного случая. Эта процедура используется для анализа изображений. Большинство изображений представлены в растровом виде, то есть в виде двухмерного массива [6].
Построив сетки для разных ε получаем таблицу:
|
|
График получается не идеально ровным. Наклон этого графика вычисляется методом наименьших квадратов. В данном примере наклон равен -1.346 , то есть d=1.346
Еще одним недостатком этого метода является то, что используемое покрытие неминимально. Поск минимально покрытия – нетривиальная задача. Затраты на его вычисление могут оказаться огромными, а полученное улучшение небольшим.
Одним из эффектов вычислений может служить следующее ступенчатое поведение графика.
Этот эффект проявляется при плавном изменении ε между итерациями. На приведенном рисунке разница ε между соседними точками составляет 1%. Эффект проявляется для всех типов фракталов и зависит от алгорима подсчета размерности.
Для наглядности рассмотрим простой случай, когда покрытие состоит из одноги и двух кваратов.
Для клеточных моделей существуют естественные ограниения 1≥ε≥L. Для векторных моделей ограничение менее строгое 0>ε≥L. Это означает, что ε можно достаочно близко приближать к 0, эта близость ограничена только точностью вычислений конкретной ЭВМ. Это приводит еще к одной проблеме. Если модель состоит из конечного количества векторных объектов, то начиная с некоторого момента ε может стать намного меньше размера любого объекта. Это приводит к тому, что наклон графика становится равным топологической размерности объектов. То есть проблема состоит в том, что бы выбрать нужный диапазон для ε, который имеет физический смысл. От выбора диапазона зависит получаемая величина. Интуитивно можно предположить, что δ ≥ ε ≥ L, где средняя δ – длина объектов, составляющих множество, а L – размер всего ансамбля. Выбор диапазона может быть договорным для разных типов явлений, пока не будет создана точная математическая теория для фракталов, задаваемых в ЭВМ.
Точечный метод. Точечный метод является альтернативой к предыдущему методу. Этот метод применим к клеточным(растровым) моделям. [6,C143]
[11]. Рассмотрим сетку, покрывающую весь фрактал. Ее узлы будем называть ячейками. Каждую ячейку, имеющую с фракталом непустое пересечение, будем считать за одну точку. Ясно, что именно эта схема реализуется при графическом выводе фрактала на экран как массива пикселов. В этом параграфе «подсчет числа точек в клетке» означает подсчет числа ячеек (или пикселов) в клетке. Это не то же самое, что считать действительное число геометрических точек в клетке — ведь их бесконечно много. Точечный метод принципиально отличается от клеточного; в первом подсчитывается число точек в клетке, а во втором — число клеток, необходимых для покрытия фрактала. Для упрощения вычислений будем считать клетки квадратными. Размер L клетки означает число ячеек по каждой стороне. Ограничимся нечетными значениями L; в этом случае центральная ячейка клетки будет равноудалена от всех сторон. Сначала вычислим вероятности Р(m, L) того, что клетка размера L содержит m точек (ячеек) фрактала. Для этого вокруг каждой точки фрактала, считая ее центральной, построим клетку размера L и подсчитаем число точек, попавших в нее. Предположим, что фрактал содержит М точек. Тогда P(m, L) равно числу клеток, содержащих m точек, m = 1,...,М, деленному на М. Заметим, что сумма всех вероятностей равна единице:
Как и в предыдущем алгоритме, N(L) есть число клеток размера L, необходимых для покрытия фрактала. Как подсказывает интуиция, число клеток размера L, содержащих m точек, равно (М/m)Р(m, L). Поэтому оценка числа клеток, покрывающих все изображение, равна
где К — возможное число точек в клетке. Следовательно,
также пропорционально L d и может быть использовано для оценки фрактальной размерности d.
Заключение : вычисление фрактальной размерности является развивающейся областью. Существуют разные способы ее вычисления.
Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи dq
[7] Дадим общее определение мультифракталов. Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область A, имеющую diamA = L в евклидовом пространстве размерности n. Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество точек из N>>1, как-то распределенных в этой области. В конце концов предполагаем, что N→∞.
Множество точек может представлять собой некоторую популяцию, состоящую из особей одного вида распределенных по области A. Такой популяцией могут быть, например, народонаселение или сеть метеостанций. Обе популяции неравномерно распределены по поверхности Земли. Пространственное распределение энергии, распределение ошибок в канале связи, распределение примесей в жидких средах, масс в веществе - примеры таких популяций. Важно отметить, что неравномерное распределение особей остается в силе независимо от линейного масштаба.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
