Фрактальная размерность (стр. 4 )

Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной ε и объемом εd соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N(ε) число таких ячеек, оно очевидно зависит от ε. Пусть ni(ε) - число точек в i-й ячейке. Тогда величина

- есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i-м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки. По правилу нормировки вероятностей:

Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:

где -∞ ≤ q ≤ +∞.

Определение. Спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А называется совокупность величин:

где

Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. То есть если dq = const, т. е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью dH. Напротив, если функция dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией τ(q),определяющей поведение статистической суммы Z(q,ε) при ε→0

Следует иметь ввиду, что предельный нереход при ε→0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N→0.

В случае обычного фрактала функция

т. е. является линейной. Тогда все dq=d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности dq которого совпадают, часто используется термин монофрактал.

Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т. е. представляет из себя мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей dq, число которых, в общем случае, бесконечно.

Так, например, при q→∞ основной вклад в обобщеннную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц ni в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения pi. Наоборот, при q→ -∞ оcновной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения pi. Таким образом, функция dq показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек A.

Фрактальная размерность d0

[7] Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности dq для некоторых конкретных значений q. Так, при q=0 из выражения

следует, что

С другой стороны

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению N(ε)~εd0 Это означает, что величина d0 представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах.

Информационная размерность d1

то τ(1)=0

Теперь, устремляя q→1, раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки, получаем

В результате мы приходим к следующему выражению

С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию фрактального множества:

Такое определение энтропии множества полностью идентично используемому в термодинамиаке, где под pi понимается вероятность обнаружить систему в квантовом состоянии i. В результате величина обобщенной фрактальной размерности d1 связана с энтропией соотношением

В термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе.

то величина d1 характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. В связи с этим обобщенную фрактальную размерность d1 часто называют информационной размерностью. Она показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки ε к нулю.

Корреляционная размерность d2

Не будем приводить полные выкладки. [7] При вычислении суммы Z мы можем ввести кореляционный интеграл I(ε) и получаем зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества A лежат внутри одной ячейки с размером ε. 

Мы приходим к выводу, что обобщенная размерность d2 определяет зависимость корреляционного интеграла I(ε) от ε. По этой причине величину d2 называют корреляционной размерностью.

Функция мультифрактального спектра f(a)

[7] Размерности Реньи не являются фрактальными размерностями в строгом понимании, по этой причине они называются обобщенными. Существует функция мультифратального спектра, которая имеет непосредственное отношение к фрактальности.

При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной заполненностью. Функция же мультифрактального спектра f(a) характеризует собой хаусдорфову размерность однородного фрактального подмножетва Aa  ⊂ A, характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек pi ~ εa. Таким образом становится более понятным термин мультифрактал – его можно понимать как объеденение однородных фракталов.

Типичный вид функции f(a) :

Функция f(a) обладает следующими свойствами f(a) ≤ d0, f(a) ≤ а. Знак равенства появляется, для полностью однородного фрактала.

Другие подходы к измерению размерности.

Существует зависимость поведения некоторых объектов от размерности пространства в котором они определены. Этот принцип является еще одним подходом к измерению размерности в пространстве, определяемым фракталом.

Таким примером может служить случайное броуновское движение. Можно рассмотреть броуновское движение внутри фрактала и посчитать зависимость расстояния до центра от времени.[12] В работе профессора Шломо анализируется подобное движение в клеточной 2х мерной модели фрактала и возможные экспоненты для разных величин.

Можно отметить, что одним из таких интуитивно понятнях процессов является расширение шара. Если определить понятие шара в простантве, определенным фракталом, то можно посмотреть зависимость его объема от радиуса и тем самым вычислить степенные показатели этого расширения. То же самое можно проделать и с площадью шара.  Можно отслеживать соотношения периметра и площади.[feder]

Гармоническая  мера

       При описании физических явлений бывает важно знать, эффективную площадь взаимодействия объекта со средой. Если объект фрактальный, то площадь как таковая не существует. Для такого описания существует так называемая гармоническая мера – распределение вероятности того, что частица, начав движение с бесконечности каснется определенной области объекта. [8] Эта мера моделируется с помощью компьютера.

       

       Существует проблема выбора траектории движения частиц. При разных траекториях мера может получиться разной. Так, если траектория будет изломана определенным образом, то у частиц будет больше шансов достичь малодоступные участки фрактала.

Физический смысл фрактальных величин

Для физических процессов зачастую важны такие показатели, как площадь взаимодействия. Например, при горении бензиновой смеси в двигателе внутреннего сгорания смесь поступяющая в двигатель представлена в виде набора капелек и струек безнзина разной величины.

Большинсто описаний используют усредненное описание смеси. Скажем соотношение обема топлива к объему цилиндра ничего не говорит о пространственном распределении смеси. Она  может быть одиникова как для пара, так и для небольшой лужицы бензина, находящейся на дне цилиндра. То есть информация об площади взаимодействия смеси с возухом напрямую не используется.

       С другой стороны, стоит вопрос какова же эта площадь, если распределение напоминает собой стохастический фрактал? Величина площади, как таковая не существует, так как она сильно зависит от точности измерения, как в случае береговой линии. Вместо площади можно измерить различные фрактальные величины. Экспериментально можно выяснить для какой размерности эффективность горения смеси максимальна. И исходя из этого строить теорию, которая будет обладать предсказатеьлной силой.

       Подобные рассуждения могут возникнуть при исследовании искрового заряда. На момент описания реферата почти все подходы к описанию разряда носят интегральный, усредняющий характер. Искровые разряды зачастую изломаны и ветвятся. Если какие-то параметры зависят от длины искры или молнии, то они могут быть вычислены через фрактальные характеристики форм каналов. На момент написания реферата подобных данных не было представлено в литературе.

Литература

[1] HAHN H. The crisis in intuition. The world of mathematics, Newman, Vol. III. New York; Simon & Schuster, 1956-1976. (Перевод с немецкого)[190]

[2] GARDNER, M. In which «monster» curves force redefinition of the word «curve». Scientific American. 1976, 235 (выпуск за декабрь), 124-133. [163]

[3] ичностное знание М. 1985

[4] Метафизика Фрактала М 1996

[5]б измерении фрактальных размерностей по физи­ческим свойствам. // В сб. статей «Фракталы в физике». — М.: Мир, 1988.[68]

[6] . Фракталы и хаос в динамических системах. М.2000

[7] , Фракталы и мультифракталы. М.2001

[8] Е. Федер. Фраталы. М.1991

[9] Электронная сетевая энциклопедия «Википедия». http://ru. wikipedia. org

[10] Б. Мадельброт Фрактальная геометрия природы. М. 2002

[11] R. F. Voss, Random Fractals : Characterization and Measurement, Scaling Phenomena is Disordered Systems, Plenum Press, New York 1985. [45]

[12] Topological properties of percolation clusters  S. Havlin, R. Nossal

J. Phys. A 17, L427 (1984)