Непараметрический метод анализа рациональности биржевой статистки (стр. 3 )

Определение 2 Назовем классом множество функций которые непрерывны на и удовлетворяют на следующим свойствам: 

  1) для любого

  2)

  3) для любого и любого

  4) для любого

  5) строго квазивогнута;

  6) для любого задача минимизации имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение на .

1.6 Условия рационализируемости в гладком случае

Определяя индексы Конюса-Дивизиа в разделе 1.4, мы использовали предположение о существовании функции полезности. Рассмотрим условия, при которых данная функция существует.

Следующая теорема даёт условия рационализируемости обратных функций спроса в классе . Пусть - множество  

Теорема 1 ([13], [17], [33]) Пусть обратные функции спроса непрерывно дифференцируемы на Для того чтобы функции были рационализируемы в классе функций полезности необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 

  1) для любого

  2) (условия отделимости) для любых произвольного и любого справедливо соотношение:

       

  3) для произвольных таких что ни при каком выполнено неравенство:

       

  4) (условия интегрируемости Фробениуса) для любых различных чисел и любого справедливо равенство:

       

               

  5) для любого справедливо соотношение:

       

Условия 1 и 5 носят технический характер и связаны с выбором класса функции полезности . Условие 2 называется условием отделимости и выражает полноту номенклатуры товаров. Данное условие будет подробнее рассмотрено в разделе «Дерево экономических индексов». Условие 3 носит название усиленной однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения и выражает эффект Гершенкрона.

Условие 3 следует из закона Хикса, согласно которому для любого такого, что справедливо: 

       

Известно (см. [17]) что условие 3 сохраняется при малых возмущениях в норме , т. е. оно является условием типа неравенства. Условие 4, наоборот, нарушается при аналогичных возмущениях и является условием типа равенства. Данное условие носит названия условия Фробениуса и выражает собой критерий существования интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса Нарушение данного условия при малых возмущениях относительно нормы носит название проблемы интегрируемости.

Данная проблема в экономической литературе впервые была сформулирована Дж. Антонелли [33] в 1886. Исследованием проблемы интегрируемости занимались многие экономисты XX века, в т. ч. Дж. Хикс, В. Парето, К. Эрроу и др. В результате их усилий была создана теория выявленного предпочтения, которая позволила переформулировать условия рационализируемости в удобной для экспериментальной проверки форме. Данная теория будет подробнее описана в главе 2.

1.7 Дерево экономических индексов

Обратимся к вопросу сегментации финансовых рынков. Полная совокупность различных товаров на международных рынках достигает размера в единиц. Безусловно, данное многообразие товаров распадается на группы взаимодополняемых-взаимозаменяемых единиц. Пропорции спроса на эти товары определяются пропорциями между ценами на них. Такие группы товаров принято называть отделимыми.

Определение 3 Будем говорить, что группа товаров отделяется от остальной номенклатуры товаров если перестановкой компонент вектор товаров можно представить в виде и функция полезности представляется в виде суперпозиции  

В [4] показано следующее: если функции и непрерывно дифференцируемы, то обратные функции спроса на товары из группы удовлетворяют условию отделимости в следующей виде:

Предложение 5 Для любых   выполнено:

где – обратная функция спроса на -ый товар из выделенной группы товаров  .

Доказательство. Рассмотрим задачу максимизации функции полезности    при ограничениях

Тогда пропорция цен равна:

Аналогично из свойств дифференцирования: