Непараметрический метод анализа рациональности биржевой статистки (стр. 1 )

Непараметрический метод анализа рациональности биржевой статистки

111Министерство образования и науки Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

(Специализация 010956 «Математические и информационные технологии»)

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА  РАЦИОНАЛЬНОСТИ БИРЖЕВОЙ СТАТИСТКИ

Магистерская диссертация

студента 873 группы

Рязанова Василия Владимировича

Научный руководитель

, д. ф.-м. н., профессор

г. Долгопрудный

2014

Содержание

Содержание        2

ВВЕДЕНИЕ        3

1 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О РАЦИОНАЛЬНОМ ПОТРЕБИТЕЛЕ        5

1.1 Традиционные экономические индексы        5

1.2 Постановка обратной задачи о рациональном поведении        6

1.3 Альтернативные постановки задачи о рациональном поведении        7

1.4 Индексы Конюса-Дивизиа        7

1.5 Свойства преобразования Янга        8

1.6 Условия рационализируемости в гладком случае        10

1.7 Дерево экономических индексов        11

2 УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛИЗИРУЕМОСТИ В НЕГЛАДКОМ И ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЯХ        13

2.1 Теория выявленного предпочтения        13

2.2 Непараметрический метод анализа торговой статистики        15

3 ОБОБЩЕННЫЙ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД        17

3.1 Показатель нерациональности        18

3.2  Арбитражные цепочки на валютных рынках        19

3.3 Построение дерева экономических индексов с помощью ОНМ        21

4 МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ НАРУШЕНИЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ ТОРГОВЛИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ        24

4.1 Алгоритм исследования рациональности торговой статистики        25

4.2 Построение временного показателя нерациональности и его свойства        26

4.3 Выявление выбросов временного показателя нерациональности        29

4.4 Методика прогнозирования структуры потребительского спроса        31

4.5 Свойства множества прогнозов векторов спроса        32

4.6 Поиск вектора проекции на множество прогнозов и вектора отклонений        33

4.7 Нормировка вектора отклонений и выявление выбросов        34

5 ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ        36

5.1 Исследование торговой статистики бирж США        37

5.2 Исследование торговой статистики европейских бирж        40

5.3 Исследование торговой статистики лондонской биржы        43

5.4 Использование алгоритма для поиска отделимых групп        47

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        53

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        54

ВВЕДЕНИЕ

Индексы потребительских цен и спроса представляют собой обобщенные показатели, позволяющие судить о тенденциях развития экономики в целом. Построению индексов и их анализу посвящено большое число работ([2], [8] и др.). Рассчеты ведутся статистическими службами на основе сравнения потребительской корзины в разные моменты времени (см. например [9]).

Тем не менее, традиционные экономоические индексы Ласпейреса и Пааше не всегда применимы из-за изменения потребительской корзины или структуры цен. В таких случаях происходит замещение товаров. Индексы же Ласпейреса и Пааше предполагают фиксированную потребительскую корзину.

Конюс и Бюшгенс в работах [11], [3] предприняли дальнейшее изучение экономических индексов. Предложенный ими подход учитывал изменение потребительской корзины вследствие перестройки цен и был основан на паретовской теории потребительского спроса [31], [32]. Индексы Конюса предполагают гипотезу рационализируемости. В случае, если экономические данные представляются в виде непрерывной зависимости потребления товаров от цен на них, то говорят, что заданы обратные функции спроса.

Важное условие рационализируемости было предложено Фробениусом и носит название условие интегрируемости. Оно определяет существование интегрирующего множителя у дифференциальной формы обратных функций спроса. амуэельсону ([38]), данную проблему будем называть проблемой интегрируемости.

В дальнейшем, в ходе работы над теорией экономических индексов, П. Самуэльсоном была создана теория выявленного предпочтения, дающая набор важных эквивалентных условия. Данная теория затем легла в основу непараметрического метода.

Экономисты, как правило, имеют дело с торговой статистикой, которая представляет собой дискретный набор векторов цен и векторов спроса. Рационализируемость торговой статистики подразумевается как возможность продолжить её с дискретного набора точек до непрерывных рационализируемых обратных функций спроса. Опираясь на теорию выявленного предпочтения и теорему Африата-Вериана ([20], [21], [39], [40] ) был предложен непараметрический метод анализа торговой статистики. Данный метод даёт возможность построения положительно-однородного индекса Конюса.

В случае неполной или нерационализируемой торговой статистики ([15]) и М. Хутманом ([28]) было предложено обобщение непараметрического метода. Данный метод носит название обобщенного непараметрического метода (ОНМ). Для торговой статистики вводится скалярный параметр – показатель нерациональности, который характеризует степень нарушения гипотезы рационализируемости.

Дальнейшее исследование показало осмысленность вычисления индексов Конюса для изучения сегментации и структуры финансовых рынков.

При исследовании биржевой статистики, возникает ряд сложностей. Такие особенности биржи, как активность спекулянтов, игроки с приватной информацией и взаимозаменяемость акций приводят к значительному нарушению гипотезы рационализируемости.

Актуальным является выявление нерациональных игроков на рынке, а именно, поиск моментов времени и акций, на которых велись нерациональные торги.

Цель работы состоит в разработке алгоритма поиска нерациональных игроков на рынке, фильтрации моментов времени и номенклатуры товаров для выяления нерациональных точек. Такая фильтрация позволила бы помимо выявления нерациональных игроков, выкалывать из статистики нерациональные точки, для дальнейшего изучения сегментации или построения индексов.

Предложен алгоритм построения временного показателя нерациональности. Предложен алгоритм построения множества прогнозов спроса для выявленных временных точек. Изучены свойства полученных рядов и множеств прогнозов.

Была проведена проверка алгоритма на основе дневной торговой статистики мировых финансовых бирж за период 2004 – 2011 годы. Были проведены эксперименты при различной временной агрегации торговой статистики. Было произведено сравнение выявленных нарушений нерациональности с информацией о компаниях из печатных изданий.

Результаты показали, что метод даёт результаты, которые находят подтверждения в новостных сводках. Анализ цен и объёмов продаж показывает, что поведение статистики выявленных акций меняется в моменты временной нерациональности.

1 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О РАЦИОНАЛЬНОМ ПОТРЕБИТЕЛЕ

В данном разделе изложен обзор основных подходов и методов построения экономических индексов в случае когда статистика задается гладкими функциями спроса. Изложена постановка задачи о рациональном поведении.

1.1 Традиционные экономические индексы

Индексы потребительских цен и спроса представляют из себя обощенные показатели, позволяющие исследовать состояние целой экономической системы. Для построения индексов, как правило, используется торговая статистика, состоящая из дискретного набора векторов цен и потребления.

Опишем традиционный подход к построению индексов, основанный на оценке стоимости потребительской корзины (см. [9]).

Пусть - -мерный вектор потребления, а – -мерный вектор цен, где - количество различных товаров. Тогда стоимость потребительской корзины будет равна скалярному произведению . Обозначим период как базовый, а - как текущий. Величина называется индексом цен Ласпейреса, а величина – индексом цен Пааше. Т. к. в экономике присходит замещение подорожавших товаров подешевешими, то индекс Пааше, как правило, больше индекса Ласпейреса. Систематическое отличие между двумя этими индексами носит название эффекта Гершенкрона.

в работе [11] предложил подход к построению индексов, который учитывал бы изменение спроса при изменении цен. Исследование проблемы продолжил Бюшгенс [3]. Данный подход основан на паретовской теории потребительского спроса, в основе которой лежит гипотеза рационального поведения потребителя. Потребитель в каждый момент времени выбирает наилучший набор товаров, доступный в силу бюджетных ограничений.

На рисунке 1 продемонстрирован подход Конюса и Бюшгенса. Задана система поверхностей безразличия, на каждой из которых полезность для потребителя неизменна. Момент времени характеризуется  спросом и уровнем полезности , а -  спросом и уровнем полезности . Набор товаров, имеющий полезность и удовлетворяющий бюджетным ограничениям в момент времени обозначим как . Аналогичным образом обозначим . Величины и будем называть индексом спроса Конюса-Ласпейреса и индексом спроса Конюса-Пааше соответственно.