Государственная итоговая аттестация – 2018 по программам среднего общего образования
Математика
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ – 2018
по программам среднего общего образования
Математика
Вариант № 15
Решение.
I часть
№ 1. Длина шага отца 70 см, а сына 50 см. Какое наименьшее расстояние они должны пройти, чтобы каждый сделал целое число шагов?
Ответ: 350 см.
Решение: НОК(70;50) = 
№ 2. Вычислите: 
.
Ответ: 0,04.
Решение: 
.
№ 3. Упростите выражение 
.
Ответ: – 1.
Решение: 
.
№ 4. Найдите значение выражения 
.
Ответ: 4.
Решение: 
.
№ 5. Решите уравнение: 
.
Ответ: 
, 
.
Решение: 
; 
, 
; 
, 
;
, 
.
№ 6. Решите неравенство 
.
Ответ: 
.
Решение: применяем метод интервалов.
№ 7. Решите уравнение 
Ответ: – 1.
Решение: 
; 
; 
; 
.
№ 8. Найдите множество значений функции
.
Ответ: 
; ИЛИ 
; ИЛИ 
.
Решение: так как 
, то 
. Значит, 
.
№ 9. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 
, в точке 
?
Ответ: 2.
Решение: 
; 
.
№ 10. Дан параллелепипед 
. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов 
Ответ: 
.
Решение: по правилу параллелепипеда 
.
№ 11. Объем треугольной пирамиды равен 24. Высота пирамиды 
дм. Найдите площадь основания данной пирамиды.
Ответ: 
дм2.
Решение: 
, 
(дм2).
№ 12. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Краснодаре по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев с начала февраля по конец мая, когда среднемесячная температура в Краснодаре ниже 5°.
Ответ: 2 месяца.
Решение; с начала февраля по конец мая температура ниже 5° была в феврале и марте, то есть 2 месяца.
II часть
№ 13. Упростите выражение 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
№ 14. Решите уравнение 
.
Решение: 
.
Пусть 
, тогда 
и 
. Получаем приведенное квадратное уравнение 
. По обратной теореме Виета находим корни 
и 
.
; 
; 
. 
; 
; 
. Ответ: 2; 3.
№ 15. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Решение: 
, 
.
.
.
Найдем критические точки. 
существует на всей 
и 
если 
; 
; 
; 
и 
.
Отрезку 
принадлежит критическая точка 
.
; 
; 
.
Так как 
, то наибольшее значение функции равно 5.
Ответ: 5.
№ 16. Около правильного четырехугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина большей окружности 
см. Найдите сторону четырехугольника и площадь меньшего круга.
Решение: Пусть а – сторона квадрата (правильного четырехугольника), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанного круга. Так как длина большей окружности 
см, то 
(см).
Тогда 
см, 
(см).
Площадь меньшего круга 
(см2).
Ответ: 
см, 
см2.
№ 17. Найдите область определения функции 
.
Решение: 
.
: 
; 
. Так как 
, то 
.
, 
.
Ответ: 
, 
.
№ 18. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение:
– прямая призма. Ее основания 
– прямоугольные треугольники, 
, 
см, 
см.
Из 
:
(см),
(см).
Высота призмы по условию равна радиусу вписанной в основание окружности, тогда
(см).
Тогда площадь боковой поверхности призмы 
(см2).
Ответ: 60 см2.
№ 19. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями 
и 
.
Решение:
Построим графики данных функций 
и 
.
.
Это квадратичная функция, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как 
и 
.
Вершина параболы: 
, так как
, 
. Точки пересечения с осью абсцисс: 
и 
.
; 
;
, 
;
и 
.
.
Это линейная функция. Ее графиком является прямая, проходящая через точки 
и 
.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций, решив уравнение:
; 
; 
, 
.
Из рисунка видно, что искомая площадь сверху ограничена дугой параболы 
, а снизу – отрезком прямой 
. Поэтому искомую площадь можно найти по формуле: 
, где
– непрерывны и
для всех 
.
Ответ: 4,5.
№ 20. Через вершину конуса проведена плоскость под углом 
к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание по хорде, которая видна из центра основания под углом 
. Найдите объем конуса, если расстояние от центра основания до хорды равно 6 см.
Решение:
SO – ось конуса, где S – вершина конуса, О – центр основания. Плоскость сечения проходит через вершину конуса, точку S, и пересекает основание конуса по хорде АВ, а боковую поверхность – по образующим SA = SB. Хорда АВ видна из центра основания конуса, точки О, под углом 
, тогда 
. В плоскости основания проведем 
, тогда 
см, как расстояние от точки О до хорды. Так как 
, то ОК – проекция SK на плоскость основания и по теореме о трех перпендикулярах так как 
, то и 
. ОК лежит в плоскости основания конуса, SК – в плоскости сечения, эти плоскости пересекаются по прямой АВ, тогда 
как линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Найдем объем конуса по формуле 
, где R – радиус основания, R = АО; H – высота конуса, H = SO.
Так как АО = ВО как радиусы, то 
– равнобедренный с основанием АВ и ОК – его высота проведенная к основанию, тогда ОК является медианой и биссектрисой этого треугольника и значит, 
, 
.
Из 
:
(см).
Из 
:
(см).
Итак 
(см3).
Ответ: 
см3.
