0 -1 0 0 1];
b=zeros(8, 1);
lq=[-150 -150 -150 -150 -150]; % нижние значения х
uq=[ 150 150 150 150 150]; % верхние значения х
[x, fval, exitflag] = linprog(c, A,b, Aeq, beq, lq, uq)
k=x(2)/x(1)
% Эпюра изгибающих моментов
z=[0 a l1 l1+e l1+l2]; M=[0 x(3) x(5) x(4) 0];
y=[0 l1+l2]; u=[0 0];
plot (z, - M,'k', y, u,'k','LineWidth', 1); grid;
disp('Конец___________________________________')
Пример 2. Пусть параметры имеют следующие значения:
Компьютерная программа, реализующая 1 вариант математической модели, привела к результатам:
и эпюре изгибающих моментов [x, fval] = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub).
2. Рамы
Пример 1. Дана рамная конструкция с преобладающим изгибом, изображённая на рис.1. Она состоит из 2-х элементов: ригеля и стойки. Требуется подобрать их сечения, чтобы рама обладала минимальной стоимостью.
Решение
Примем стойкость конструкции прямо пропорциональной предельным пластическим моментам и длинам стержней. Тогда получим целевую функцию
, (1)
где h, l – размеры стойки и ригеля, 
– пластические изгибающие моменты в сечениях. Например для прямоугольного сечения они определяются формулой
,
b, h – геометрические размеры, 
– предел текучести материала.
Рама один раз статически неопределима. Эквивалентная система имеет вид по рис. 2, где 
лишняя неизвестная. Максимальные моменты по участкам рамы будут в сечениях 1, 2, 3. 
и 
можно выразить через 
и другие параметры системы:
В каноническом виде равенств для Matlab-а они примут вид
(2)
Условия прочности (пластичности) в опасных сечениях 1, 2, 3 имеют вид:
. (3)
Здесь условия для сечения 3 выписаны дважды: для сечений стойки и ригеля.
Для приведения к каноническому виду в среде Matlab двойные неравенства (3) перепишем в виде
, (4)
. (5)
(1), (2), (4), (5) в совокупности представляют математическую модель сформулированной задачи по минимизации стоимости рамного сооружения.
% rama1 Задача линейного программирования
% Статически неопределимая рама: стойка, ригель,
% загруженная силами Р1, Р2.
% Решение задачи линейного программирования
% Целевая функция F=c*x --> minimum (1)
% Система ограничений: Ax<=b, lb<=x<=ub
% где c, x, b, lb, ub - векторы, A - матрица.
% x=(x1, x2,...x5)- аргументы, c - коэффициенты в (1)
% Найти такой х, который доставляет
% минимум F при условии Ax<=b, lb<=x<=ub
% F(x)=l1*M10+l2*M20+0*M1+0*M2+0*M3 --> inf
clear;
disp('Начало___________________________________');
P1=20; P2=30; a=3; bb=2; d=4; e=2; h=a+bb; l=e+d;
% Mc Mp M1 M2 M3
c=[h l 0 0 0 ];
% Система равенств (уравнения равновесия):
% Mc Mp M1 M2 M3
Aeq=[0 0 h 0 - a;
0 0 0 l - e];
beq=[P1*a*bb; P2*e*d];
% Система неравенств(прочности, пластичности):
% Mc Mp M1 M2 M3
A=[-1 0 -1 0 0;
-1 0 1 0 0;
0 -1 0 -1 0;
0 -1 0 1 0;
-1 0 0 0 -1;
-1 0 0 0 1;
0 -1 0 0 -1;
0 -1 0 0 1];
b=zeros(8, 1);
lq=[-100 -100 -100 -100 -100]; % нижние значения х
uq=[ 100 100 100 100 100]; % верхние значения х
[x, fval, exitflag] = linprog(c, A,b, Aeq, beq, lq, uq)
k=x(2)/x(1)
disp('Конец___________________________________')
Пример. Пусть параметры системы имеют следующие значения:
Компьютерная программа на языке Matlab, реализующая математическую модель привела к результатам:
,
и графику для эпюры изгибающих моментов рис.3.
Фермы
Пример 1
Задана расчётная схема (рис.1) и исходные данные: силы 
кН, 
кН, 
кН, 
кН, размеры b = 1 м, h = 1 м, модуль упругости и плотность материала 
ГПа, 
кг/м3, расчётное сопротивление (предел текучести) 
МПа.
Требуется определить площади поперечных сечений стержней, соответствующие минимуму массы конструкции в условиях упруго-пластической работы материала (рис.2).
|
|
|
Рис. 1 | Рис. 2 |
Решение
Количество необходимых стержней для фермы подсчитывается по формуле
,
где У – количество узлов, 
- количество опорных стержней. Один стержень данной фермы лишний. Это означает, что она 1 раз статически неопределима.
Длины стержней: 
м.
Функции углы наклона стержней 7,8,9,10 к оси x-ов:
Определим опорные реакции из уравнений равновесия
, 
кН.
, 
кН,
, 
кН.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
