Некоторые задачи оптимизации конструкций и технологий (стр. 5 )

.  (4)

Система уравнений и неравенств (1) - (4) представляет математическую модель в виде задачи линейного программирования, которую можно реализовать в среде вычислительного комплекса Matlab.

% plita1. Основной оператор - linprog,

% Прямоугольная плита на 4-х столбах,

% нагруженная силой Р

% Aeq = beq - равенства ограничений(уравн. равновес.)

clear;

disp('Начало________________________');

% Размеры плиты и координаты приложения силы

a=2; b=2; d=1; e=0.5; 

% Верхнее значение силы

N=1;

% коэффициенты целевой функции

c = [1  1  1  1];

% Уравнения равновесия

Aeq = [b+d  b+d  d-b  d-b;

  a+e  e-a  e-a  a+e]; 

beq = [0 0];

% Нижний и верхний пределы нагрузки на 1 столб N

lb = [0 0 0 0];  ub = [N N N N];

[x, fval, exitflag] = linprog(-c,[],[],Aeq, beq, lb, ub);

Opornie_reakcii_R=x

Maksimalnaja_nagruzka_P=-fval

disp('Конец_________________________');

Пример. Пусть .

Использование указанного комплекса даёт результат решения в виде вектора

и искомого значения наибольшей нагрузки

.

Первый столб не нагружен, вся нагрузка передаётся на остальные столбы.

II. Организация и планирование

1.Транспортная задача

Пример. В городе имеется 2 бетонных завода. Строительная фирма планирует получить в течение недели из первого завода 400 т бетона, из второго 560 т. Бетон должен быть отправлен на 4 строительные площадки в количествах: 220, 200, 180, 360 тонн соответственно. Стоимость перевозки 1 тонны бетона с каждого завода на каждую стройплощадку известна и даётся таблицей:

Таблица 1

Бетонные заводы	Строительные площадки	Количество тонн	Стоимость перевозки 1 т.
1	1		20
2		10
3		30
4		20
2	1		20
2		30
3		30
4		10

Здесь количество бетона перевозимого по маршрутам.

Требуется перевезти бетон с заводов на строительные площадки с минимальной стоимостью.

Решение

Условия задачи для наглядности изобразим в виде схемы перевозок.

Целевая функция, оптимизирующая общую стоимость перевозки имеет вид

                                          (1)

где - векторы, F – общая стоимость, - тариф при перевозки по маршрутам, показанным на схеме, - объёмы перевозок по ним.

Данная задача принадлежит классу транспортных задач. Она может быть эффективно решена при приведении к задаче линейного программирования в канонический форме, которая заложена в вычислительном комплексе Matlab. Целевая функция (1) соответствует требуемой форме. Система ограничений, наложенная на вектор x, должна соответствовать объёмам отпуска с заводов и объёмам потребления на стройплощадках. В соответствии с таблицей 1 и схемой перевозок они принимают вид:

                               (2)

(1), (2) образуют математическую модель задачи, решение которой необходимо программировать в среде Matlab.

В результате счёта получено оптимальное решение:

Общая стоимость перевозки . С первого завода на стройплощадку 4 и со второго завода на стройплощадку 2 поставки равны нулю (почти).

Общие выводы:

1.Постановка задач линейного программирования и методы их реализации являются универсальными для решения весьма широкого класса проблем оптимизации строительных конструкций, планирования и организации производства.

2.Вычислительный комплекс MATLAB позволяет инженерам, менеджерам, экономистам широкие возможности для решения актуальных сложных задач сравнительно простыми универсальными средствами.