Информатика (лек.) — СФ1+ФГГНГД+ФИОП+ЭнФ (ЮРГПУ) — 1 семестр (2015 г.) (стр. 13 )

  if (c in B)

  then writeln('Число входит в B');

End.

Контрольный пример.

Исходные данные:	c = 5
Результаты:	Число входит в B

Тема № 12. Основы применения информационных технологий в профессиональной деятельности

12.1. Приближённые вычисления

Численный метод – метод приближённого решения математической задачи, после применения которого результат получается в виде чисел. Численные методы применяются в ЭВМ для решения многих технических задач, в которых точное аналитическое решение найти невозможно или очень сложно.

Погрешность (точность) – отклонение приближённого решения от точного. Погрешность бывает 2-х видов:

Абсолютная погрешность, равная модулю разности приближённого решения xприб и точного решения xточ:

.

Относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности к абсолютному значению решения x (измеряется обычно в процентах):

.

Итерация (приближающий шаг) – один шаг при решении задачи, после которого приближённое решение становится ближе к точному, чем было до этого.

Аппроксимация (приближение функции) – приближённая замена сложной функции более простой функцией. Бывает несколько видов аппроксимации:

Интерполяция – замена при полном совпадении в заданных точках исходной и приближённой функции. Регрессия (сглаживание) – замена при минимальном отклонении на отрезке исходной и приближённой функции.

Сплайн (кусочная функция) – функция, составленная из фрагментов разных функций, каждая из которых лучше всего на отдельном отрезке заменяет исходную функцию.

12.2. Методы решения нелинейных уравнений

Метод половинного деления (метод деления отрезка пополам, метод бисекции, метод Больцано) применяется для приближённого решения нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений вида .

Сначала задаются границы отрезка a и b, внутри которого ищется решение, а также погрешность ε.

Метод половинного деления заключается в том, что в точке x, являющейся серединой отрезка , вычисляется значение функции . Если это значение близко к нулю, то решением является точка x (т. е. x является корнем уравнения), иначе середина отрезка становится границей нового отрезка, внутри которого функция изменяет знак. Таким образом, отрезок уменьшается вдвое, а далее процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение.

Блок-схема метода половинного деления представлена на рисунке 1.

Метод Ньютона (метод касательных, метод линеаризации) применяется для приближённого решения нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений вида , причём функция должна иметь производную , а также для решения систем уравнений.

Сначала задаются начальное приближение x0 и погрешность ε.

Метод Ньютона заключается в том, что из начальной точки проводится касательная к графику функции и вычисляется пересечение касательной с осью x по формуле . Если в новой точке значение близко к нулю, то эта точка является решением (т. е. является корнем уравнения), иначе процесс повторяется.

Блок-схема метода Ньютона представлена на рисунке 2.

Метод итераций (метод простой итерации, метод последовательных приближений, метод Якоби) применяется для приближённого решения нелинейных уравнений вида , а также для решения систем уравнений.

Сначала уравнение приводится к виду , где λ – некоторый коэффициент, а также задаётся начальное приближение в точке . Метод итераций заключается в том, что в точке вычисляется значение функции . Если новое значение x близко к предыдущему, то решением является эта точка (т. е. является корнем уравнения), иначе процесс повторяется.

12.3. Методы решения систем уравнений

Метод Гаусса (метод исключения) применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида: , где используются матрица и столбец .

Метод Гаусса заключается в том, что в прямом ходе метода все уравнения системы преобразуются к эквивалентным уравнениям таким образом, чтобы были исключены коэффициенты ниже главной диагонали (т. е. чтобы матрица A стала треугольной). Далее в обратном ходе метода из последнего уравнения вычисляется . Полученное значение подставляется в -е уравнение и вычисляется . Аналогично находятся все остальные значения неизвестных ,…,,.

Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя) применяется для решения СЛАУ вида: , а также для решения систем нелинейных уравнений.

Метод Зейделя заключается в том, что по заданным начальным приближениям для ,…, из 1-го уравнения вычисляется , найденное значение подставляется во 2-е уравнение системы и находится , аналогично вычисляются остальные значения неизвестных. Если новые значения ,…, близки к предыдущим значениям, то решение найдено, иначе процесс продолжается дальше.

Метод простой итерации для решения СЛАУ отличается тем, что найденные значения ,…, подставляются в уравнения на следующем шаге, а не на текущем, как в методе Зейделя.

12.4. Методы решения дифференциальных уравнений

Метод Эйлера применяется для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений (т. е. для решения задачи Коши) вида при начальном условии .

Метод Эйлера заключается в том, что производная заменяется соотношением , где – шаг интегрирования. Далее на каждом шаге значение неизвестной функции в точке вычисляется по формуле .

Метод Рунге-Кутта (метод Рунге-Кутты) применяется для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности является наиболее распространённым и заключается в том, что интегрирование дифференциального уравнения заменяется формулой: , где ; ; ; .

12.5. Методы численного интегрирования

Метод прямоугольников (формула прямоугольников) применяется для приближённого вычисления определённых интегралов.

Метод прямоугольников заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется горизонтальными ступеньками. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей прямоугольников, образованных этими ступеньками.

Метод трапеций (формула трапеций) применяется для приближённого вычисления определённых интегралов.

Метод трапеций заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется отрезками наклонных линий. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей трапеций, образованных этими отрезками.

Метод Симпсона (формула парабол) применяется для приближённого вычисления определённых интегралов.

Метод Симпсона заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется участками парабол. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей фигур, образованных этими параболами.