Комплексные числа (стр. 12 )

. (7)

При возведении в натуральную степень комплексного числа используется формула Муавра:

. (8)

При извлечении корня из комплексного числа используется формула:

, (9)

где k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Вычислите , где .

Решение

Представим решение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа: .

Если , то .

Тогда , . Поэтому , тогда и , где .

Ответ: , при .

Задача 55. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Решение

Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:

а) В комплексном числе : .

Тогда

,

Поэтому

б) , где ,

в) , где ,

г) , где ,

д) , где ,

е) .

ж) , а , то .

Поэтому

Ответ: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа

.

Решение

Пусть , .

Тогда , , .

Поскольку и , , то , а

.

Следовательно, , поэтому

, где .

Ответ: , где .

Задача 57. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: .

Решение.

Представим числа и в тригонометрической форме.

1) , где тогда

Находим значение главного аргумента :

Подставим значения и в выражение , получим

2) , где тогда

Тогда

3) Найдем частное

Далее, применяя формулу (9) получим:

Полагая k=0, 1, 2, получим три различных значения искомого корня:

Если , то

если , то

если , то .

Ответ: :