Комплексные числа (стр. 16 )

(2)

Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т. е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).

Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:

;

.

В частности, , если .

Подставив значение в равенство (2), получим:

,

или

.

Откуда,

,

,

или .

Следовательно,

; ;

;

Ответ: ; ; ;

Задача 69. Решите уравнение .

Решение

Данное уравнение – приведенное. Здесь , . Следовательно,

.

Для извлечения кубического корня из комплексного числа

представим его в тригонометрической форме:

,

поэтому , где

При получаем:

.

Значит,

,

поэтому .

Следовательно,

, , .

Ответ: 2; ; .

Задача 70. Решите уравнение .

Решение

Положив , получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y:

.

По формулам Кардано:

.

Легко видеть, что .

Следовательно, число является одним из значений кубического

корня из комплексного числа (тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).

Таким образом, , , тогда

, .

Итак, ,

,

.

Отсюда находим корни квадратного уравнения:

,

,

.

Ответ: ; ;

.

Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) .

Дискриминант , т. е. , то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

б) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:

(б*). Откуда дискриминант , т. е. , то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительный корня.

в) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем: (в*). Отсюда , , то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Задача 72. Решите уравнения: а) ;

б) .

Решение.

а) .Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки , получим уравнение:

, где , .

Зная, что:

;

;

.

По формулам Кардано:

Таким образом, получаем , значит , , , .