Второй этап Всероссийской олимпиады школьников учебного года по математике Ставропольский край

Второй этап Всероссийской олимпиады школьников

учебного года по математике

Ставропольский край

Вариант 1-10

1. Показать, что если , то

2. Найти для уравнения

3. Чему равна сумма , если известно, что

4. Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Известно, что все трое вместе делают за час 20 деталей. К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на это более трех часов. Оставшуюся часть работы выполнили вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. сколько часов потребовалось бы первому рабочему на всю работу, если бы с начала и до конца он делал ее один?

5. Доказать, что если для сторон треугольника выполняется соотношение

,

то один из углов треугольника равен .

Вариант 2-10

1. Найдите корни уравнения , произведение которых равно 1.

2. Все члены бесконечной арифметической прогрессии - положительные числа. Известно, что один из членов этой прогрессии является точным квадратом. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много таких членов.

3. Стороны треугольника а, b, с (a<b<c) образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что . Здесь R – радиус описанной вокруг треугольника окружности r – радиус вписанной в треугольник окружности.

4. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий. Еще через час расстояние между третьим и первым автомобилями уменьшилось в полтора раза, а между третьим и вторым - в два раза. Скорость какого автомобиля, первого или второго, больше и во сколько раз, если известно, что третий автомобиль не обгонял первых двух?

5. Решите систему уравнений

Вариант 3-10

1. Доказать, что

,

, - целое число.

2. Найдите число пар чисел , удовлетворяющих уравнению

3. Найти значения b, если известно, что число b является корнем уравнения .

4. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из второго 2/3, а третий кусок, в котором было 1/3 всей ткани, продали весь. Сколько процентов ткани продано, если всего осталось ее вдвое меньше, чем было во втором куске?

5. Докажите, что для любого натурального числа п и любого действительного числа а справедливо неравенство

,

где <a> - расстояние от числа а до ближайшего к нему целого.

Вариант 4-10

1. Решить систему уравнений

2. Найти множество значений функции

3. Определить значения b, при которых один из корней уравнения .

4. В лаборатории имеются растворы соли четырех различных концентраций. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15 %-й раствор. Второй, третий и четвертый растворы, взятые в равной пропорции, дают при смешении 24 %-й раствор, и, наконец, раствор, составленный из равных весовых частей первого и третьего растворов, имеет концентрацию 10 %. Какая концентрация получится при смешении второго и четвертого растворов в пропорции 2:1?

5. Будут ли периодическими последовательности (aп) и (bп), состоящие соответственно из последних цифр целых чисел и ? Здесь [x] – целая часть числа х.

Вариант 5-10

1. Решить систему

2. В детский сад, где было 50 детей, прислали яблоки: 60 крупных и 60 помельче. Было решено распределить их так: крупные раздать 30 детям по 2 штуки каждому, а мелкие – остальным двадцати по 3 штуки. Но при перевозки все яблоки перемешались. Тогда дежурный решил поступить так: разделить по 5 яблок из общей кучи на каждых двух детей. К его удивлению, для последних ребят яблок не осталось. Почему же так получилось.

3. Сколько граммов воды надо добавить к 100 г 30 5 соляной кислоты, чтобы получить 10 % кислоты?

4. Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то же время из А и из В навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд отправившийся из А, прибывает на станцию В не ранее чем через 5 ч. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд раньше, чем через два часа После своего выхода из А. Скорость какого поезда больше?

5. Доказать, что

,

, - целое число.

Вариант 6-10

1. Просуммировать и доказать справедливость равенства

.

2. Если число 2005 умножить само на себя 2005 раз, то каковы будут две последние цифры получившегося числа.

3. Сколько килограммов воды надо выпарить из 100 кг массы, содержащей 90 % воды, чтобы получить массу, содержащую 80 % воды.

4. Из пункта А в пункт С в 9 ч утра отправился скорый поезд. В это же время из пункта В, расположенного между пунктами А и С, выходят два пассажирских поезда, первый из которых следует в пункт А, а второй в пункт С, причем скорости пассажирских поездов равны. Скорый поезд встречает первый пассажирский поезд не позже чем через 3 ч после его отправления, потом проходит пункт В не ранее 14 ч того же дня и, наконец, прибывает в пункт С одновременно со вторым пассажирским поездом через 12 ч после встречи с первым пассажирским поездом. Найти время прибытия в пункт А первого пассажирского поезда.

5. Натуральные числа т, п, к таковы, что число тп делится на пт, а число пк делится на кп. Докажите, что число тк делится на кт.

Вариант 7-10

1. Доказать, что .

2. На белой доске 5 х 5 Петя закрасил какие-то клетки синим цветом, а какие-то красным (каждым цветом закрашена хотя бы одна клетка). Никакие две клетки красного и синего цвета не имеют общей стороны. Какое наибольшее число клеток могло быть не закрашено?

3. Известно, что 5 % первого числа и 4 % второго составляют в сумме 44, а 4 % первого числа и 5 % второго составляют в сумме 46. Найдите эти числа.

4. Две трубы, работая вместе, подают в бак 100 л жидкости в минуту. Имеются два раствора кислоты - сильный и слабый. Если смешать по 10 л каждого раствора и 20 л воды, то получится 40 л 20 %-го раствора. Известно также, что если в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой трубе слабый раствор, а по второй – сильный раствор, то получится 30 %-й раствор кислоты. Какой концентрации получится кислота, если подавать в первоначально пустой бак по первой трубе сильный раствор, а по второй - слабый?

5. Решите уравнение .

Вариант 8-10

1. Могут ли числа 11,12,13 быть членами одной и той же геометрической прогрессии?

2. В банк кладется 1000 $. В каком случае спустя 10 лет вкладчик получит больше денег, ели банк начисляет 5 % от имеющейся суммы один раз в год или, если он начисляет 5/12 % один раз в месяц?

3. Сумма двух чисел равна 2490. Найти эти числа, если 8,5 % одного из них равны 6,58 % другого.

4. Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска. Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота. Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске?

5. Точки С1, А1, В1 взяты соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС так, что Докажите, что периметр Р треугольника АВС и периметр р треугольника А1В1С1 связаны неравенствами.

Вариант 9-10

1. Решить систему:

2. Построить график функции

3. Известно, что 30 % числа А на 10 больше, чем 20 % числа В, а 30 % числа В на 35 больше, чем 20 % числа А и В.

4. Три экскаватора получили задание вырыть по котловану; первый и второй - емкостью по 800 м3, а третий - емкостью 400 м3. Первый и второй экскаваторы вместе вынимают за час грунта втрое больше, чем третий. Первый и третий экскаваторы начали работу одновременно, а второй - в тот момент, когда первый вынул уже 300 м3 грунта. Когда третий экскаватор выполнил 2/3 своей работы, второй вынул 100 м3 грунта. Первым выполнил свое задание третий экскаватор. Сколько кубических метров грунта вынул первый экскаватор к моменту, когда третий закончил рыть свой котлован?

5. Хорда параболы касается кривой в точке и делится этой точкой пополам. Найдите .

Вариант 10-10

1. Решить кубическое уравнение , если его корни составляют арифметическую прогрессию.

2. Верно ли следующее утверждение: из любых шести натуральных чисел можно выбрать либо три попарно взаимно простых чисел, либо три числа, имеющий общий делитель, больший единицы?

3. В прямоугольный треугольник с углом 600 вписан ромб так, что этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти длину большего катета, если длина стороны ромба равна .

4. Туристский клуб разработал маршруты нескольких походов: а) двухдневный байдарочный поход; б) двухдневный велосипедный поход; в) восьмидневный комбинированный поход (четыре дня на байдарке, четыре дня пешком); г) пятидневный поход (один день на плоту, один день на байдарке, три дня пешком); д) шестидневный поход (три дня на плоту и три дня пешком). Третий маршрут длиннее второго на 40 км, второй длиннее первого на 80 км, а длина четвертого маршрута 90 км. Предполагается, что при каждом данном способе передвижения за каждый день проходится одно и то же расстояние. Найти протяженность пятого маршрута.

5. Внутри треугольника АВС выбрана произвольная точка О. Докажите, что справедливо равенство:

,

где SA, SB, SC – площади треугольников ВСО, САО, АВО соответственно.

Вариант 11-1

1. В равностороннем треугольнике со стороной, равной , провести прямую, которая пересечет боковые стороны и в точках и , а продолжение стороны в точке так, чтобы треугольники , и четырехугольник были равновелики.

2. У четверых братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

3. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах. Найти длину катета, если длина стороны квадрата равна .

4. Совхоз располагает тракторами четырех марок А, Б, В и Г. Бригада из четырех тракторов (два трактора марки Б и по одному трактору марок В и Г) производит вспашку поля за два дня. Бригада из двух тракторов марки А и одного трактора марки В тратит на эту работу три дня, а три трактора марок А, Б и В - четыре дня. За сколько времени выполнит работу бригада, составленная из четырех тракторов различных марок?

5. Положительные числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений:

Вычислить величину .

Вариант 12-10

1. Два предмета и замечены с судна в одно и тоже время на линии, наклоненной под углом к востоку от северного направления, в котором оно шло. В тоже мгновение судно переменило направление и пошло прямо на северо-запад. Когда в этом направлении было пройдено 5 км, те же предметы были видны: -на восток, - на северо-запад. Определить расстояние между и .

2. В 3 часа Вася заметил, что стрелки часов образуют прямой угол, и стал ждать, когда это произойдет в следующий раз. Сколько времени он ждал?

3. В прямоугольный треугольник с углом 300 вписан ромб так, что этот угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти длину гипотенузы треугольника, если длина стороны ромба равна .

4. К бассейну объемом в 300 м3 проведены три трубы: через первую и вторую вода поступает, через третью выливается. Если все три трубы включены одновременно, то количество воды в бассейне увеличивается ежеминутно на 20 м3. Бассейн начали наполнять водой, включив первую и третью трубы. Более чем через 12 мин после начала работы в бассейне оказалось 100 м3 воды. В этот момент первую и третью трубы закрыли и включили вторую трубу, завершившую наполнение бассейна. Всего на наполнение бассейна было затрачено 30 мин. Определить, за какое время наполнился бы бассейн, если бы его с начала и до конца наполняла только вторая труба.

5. Решить систему уравнений

Вариант 13-10

1. В параллелограмме (обозначение по часовой стрелке) ,, ,, . Найти величину угла .

2. Найти сумму всех корней уравнения

3. Сумма нескольких идущих подряд натуральных чисел в 20 раз больше наибольшего их них и в 30 раз больше наименьшего. Найдите эти числа

4. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй - 10% меди и 90% марганца, третий - 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом новом сплаве?

5. Найдите все натуральные числа, каждое из которых равно квадрату числа всех своих делителей.

Вариант 14-10

1. Решить уравнение .

2. Алгебраическими методами решений вычислить:

3. В шахматном турнире каждый шахматист половину своих очков набрал во встрече с участниками, занявшими три последних места. Сколько человек принимало участие в турнире?

4. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который сначала двигался равноускоренно, с ускорением 4 км/ч2, а после того, как его скорость возросла от 0 до v, продолжал двигаться равномерно со скоростью v. Расстояние между пунктами А и В равно 32 км. На первую половину пути велосипедист затратил в полтора раза больше времени, чем на вторую. Определить скорость v.

5. Решить систему уравнений

.

Вариант 15-10

1. Доказать, что при любом справедливо неравенство .

(Здесь , ).

2. В записи замените звездочки знаками «+» и «–» таким образом, чтобы значения полученного выражения составляло 2002!

3. На бесконечном клетчатом листе белой бумаге клеток закрашены в черный цвет. В моменты времени происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трех клеток: самой клетки и ее соседей справа и сверху. Доказать, что а) через конечное время на листке не останется черных клеток, б) черные клетки исчезнут не позднее, чем в момент времени .

4. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста и встречаются позже, чем через 5 ч после выезда. На следующий день они выезжают одновременно в одну и ту же сторону из пунктов С и Д, расстояние между которыми 36 км, причем велосипедист, едущий впереди, движется со скоростью, на 6 км/ч больше, чем накануне, а велосипедист, едущий сзади, движется о той же скоростью, что и накануне. Хватит ли второму велосипедисту двух часов, чтобы догнать первого?

5. Квадраты двенадцатого, тринадцатого и пятнадцатого членов арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найти знаменатель этой прогрессии.

Вариант 16-10

1. Пусть - положительные числа, - наименьшее из чисел . Найти наибольшее возможное значение . При каких оно достигается?

2. Докажите, что при a, b, c>0 – выполняется неравенство:

3. Если и - стороны треугольника, то

.

Доказать.

4. Расстояние между А и В равно 7 км. Два пешехода одно временно вышли навстречу друг другу и встретились раньше чем через 1 час. Если бы первый шел вдвое быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго была бы на 2 км/ч больше его фактической скорости, то к моменту встречи второй прошел бы большую часть пути. Скорость какого пешехода больше?

5. Решить уравнение

Вариант 17-10

1. Найти сумму .

2. Найдите ,

где х1, х2, х3, х4 – корни уравнения

.

3. Известно, что и . Вычислите .

4. В 9 ч утра из пункта А выезжает велосипедист, который едет до пункта В. Через 2 ч после выезда велосипедиста из А в В выезжает автомобилист, который догоняет велосипедиста не позже 12 ч дня. Продолжая движение, автомобилист прибывает в пункт В, мгновенно поворачивает и едет из В в А. На этом пути автомобилист встречает велосипедиста и потом прибывает в пункт А в 17 ч того же дня. Найти время прибытия велосипедиста в пункт В, если известно, что между двумя встречами велосипедиста и автомобилиста прошло не более 3 ч.

5. В окружность вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Затем вне его на отрезках AB, BD, DE, EA как на диаметрах описаны окружности. Найти отношение площади шестиугольника к площади фигуры, ограниченной этими полуокружностями.

Вариант 18-10

1. На окружности отмечены 10 точек. Сколько можно провести незамкнутых несамопересекающихся ломаных с вершинами в этих точках?

2. Найдите все положительные действительные корни уравнения . Здесь [а] означает наибольшее целое число, которое не превосходит а.

3. Прямая делит треугольник на две части равных площадей и периметров. Доказать, что центр вписанной окружности лежит на этой прямой.

4. Квартал застроен пятиэтажными и девяти этажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число десятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько построено пятиэтажных домов и сколько девяти этажных?

5. Найти сумму всех цифр, которыми записаны числа .

Вариант 19-10

1. Найти обыкновенную дробь, при обращении которой в десятичную получились бы следующие периодические дроби: 1) 2) .

2. Можно ли расположить числа –11; -10; -9;…; 13; 14 в вершинах, на ребрах и на гранях куба так, чтобы число на любом ребре равнялось сумме чисел на его концах, а число на любой грани этого куба равнялось сумме четырех чисел, которые стоят на его ребрах?

3. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб так, что один острый угол у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти длину стороны ромба, если длина катета равна

4. На станциях железной дороги А и В стоят два поезда, которые должны ехать в одном направлении, причем поезд, отправляющийся со станции А, должен будет пройти станцию В. Трогаясь с места, каждый из поездов движется равноускоренно со своим ускорением, а после того, как его скорость достигает 60 км/ч, продолжает движение равномерно с этой скоростью. Известно, что ускорение поезда А равно 100 км/ч2, поезд А переходит на равномерное движение на 12 мин позднее поезда В. Расстояние между поездами, после того как оба поезда перешли на равномерное движение, составляет 6 км. Минимальное расстояние между поездами составляло 2 км. Какой из двух поездов отправился раньше и на сколько?

5. Положительные числа a, b, c,A, B, C удовлетворяют условиям . Докажите, что .

Вариант 20-10

1. Доказать справедливость равенства , .

2. На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвились;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько обезьян

В роще вместе веселилось?

3. Найти целые положительные решения уравнения:

.

4. Пункт А стоит в поле на некотором расстоянии от дороги. На дороге, которая является прямой линией, стоит пункт В так, что расстояние от А до В равно 10 км. Скорость движения автомобиля по дороге в три раза больше, чем по полю. Известно, что если ехать из А в В так, что часть пути проделать по дороге, то даже при самом удачном выборе пути движения на это уйдет не меньше времени, чем потребуется, если ехать напрямик по полю. Найти минимальное возможное расстояние пункта А от дороги.

5. Докажите, что в выпуклом пятиугольнике ABCDE имеют места равенства и , то .

Вариант 21-10

1. Доказать, что для любого натурального справедливо неравенство

.

2. Докажите, что число 1110-1 делится на 100.

3. Высота равнобедренного треугольника равна и составляет с боковой стороной угол . Найти расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около него окружности.

4. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью v км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все те значения v, при которых автомобиль возвращается в город А позже, чем автобус приходит в город В.

5. Вычислить сумму кубов первых чисел натурального ряда

.

Вариант 22-10

1. Найти целые решения системы

2. Известно, что , ,

, т, п>0. Найдите .

3. Решить уравнение .

4. От пристани А вниз по реке, скорость течения которой равна v км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. Догнав плот, катер возвращается обратно. Определить все те значения v, при которых к моменту возвращения катера в А плот проходит более 15 км.

5. Доказать неравенство

.

Вариант 23-10

1. Найти наибольший общий делитель чисел и .

2. Пусть a, b, g - острые углы такие, что , , . Докажите, что .

3. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

4. Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 ч. Весь путь от А до В и обратно моторная лодка проходит не менее чем за 10 ч. Если бы собственная скорость моторной лодки увеличилась на 40%, то тот же путь (т. е. путь от А до В и обратно) занял бы у лодки не более 7 ч. Найти время, за которое моторная лодка проходит путь от А до В в случае, когда ее собственная скорость не увеличена.

5. Из всех треугольников с данным основанием АВ и данным углом при вершине найти треугольник с наибольшим радиусом вписанной окружности.

Вариант 24-10

1. Доказать справедливость равенства

.

2. Пусть а - такое действительное число, что числа и рациональные. Докажите, что а также является рациональным числом.

3. В прямоугольный треугольник с углом 600 вписан квадрат так, что прямой угол у них общий и все вершины квадрата лежат на сторонах треугольника. Найти длину большего катета, если длина стороны квадрата равна .

4. Из А в В по течению реки плывет плот. Одновременно с тем, когда плот начал путь из А в В, из В в А навстречу ему поплыла лодка, которая встречает плот не ранее чем через 2 ч и затем прибывает в А, затратив на весь путь менее 3 ч 20 мин. Успеет ли плот преодолеть путь из А в В за 5ч, если расстояние между А и В равно 20 км?

5. Пусть - стороны треугольника. Доказать, что

.

Вариант 25-10

1. Пусть - числа из интервала . Доказать неравенство .

2. Докажите, что нес существует таких нечетных натуральных чисел , что , , являются квадратами натуральных чисел.

3. Шестиугольник вписан в окружность. Докажите, что если и , то и .

4. В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 2d м3 меньше, чем первая (0<d<15), а третья труба наливает в час на 11d м3 больше; чем первая. Сначала первая и вторая трубы работая вместе, наливают 2/11 бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 9/11 бассейна. При каком значении d бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?

5. Даны прямая и точка С вне ее. Пусть МСР - прямоугольный треугольник, вершина Р которого лежит на прямой (угол С - прямой). Предположим, что точка Р движется по прямой , а площадь треугольника МСР остается постоянной. Какую линию опишет точка М?

Вариант 26-10

1. Докажите, что для любых чисел х1, х2, …, хп, принадлежащих отрезку [0; 1] выполняется неравенство

2. Стороны треугольника, площадь которого равна , образуют арифметическую прогрессию с разностью . Найдите стороны и углы треугольника. Решите эту же задачу для частного случая, когда .

3. Решить уравнение

4. Найти значения а, при которых один корень уравнения меньше другого на 5.

5. простых чисел вписаны в строчку. Известно, что среди них менее n различных. Доказать, что можно выбрать группу из рядом стоящих чисел, произведение которых является полным квадратом.

Вариант 27-10

1. AF – медиана треугольника АВС. На продолженной стороне АВ за точку В. Отметили точку D, Е – точка пересечения прямой DF со стороной АС. Оказалось, что AB=BD=AF. Доказать, что CE=EF.

2. Постройте график функции:

3. Решить уравнение

4. Школьник купил в магазине несколько тетрадей и карандашей, причем все тетради стоили столько же, сколько все карандаши, а тетрадей было на три штуки больше, чем карандашей. Если бы при этом один карандаш стоил на 10 коп. дороже, а одна тетрадь стоила тоже на 10 коп. дороже, то, истратив те же деньги, что и раньше, как на тетради, так и на карандаши, можно было бы купить тетрадей на одну больше, чем карандашей. Если бы школьник купил по первоначальной стоимости тетрадей столько, сколько было куплено карандашей, а карандашей столько, сколько было куплено тетрадей, то за карандаши пришлось бы уплатить на 90 коп. больше, чем за тетради. Сколько стоит один карандаш и одна тетрадь?

5. Дан выпуклый четырехугольник ADCD такой, что ÐАВС=900, AC=CD, ÐDCA=ÐACD. Точка F - середина отрезка AD. Отрезки BF и AF пересекаются в точке L. Докажите, что DC=CL.

Вариант 28-10

1. Найти все простые числа р, для которых простыми будут числа .

2. В окружность с центром в точке О вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. Пусть К - середина дуги ВС, которая не содержит точку А. N - середина отрезка АС, М - точка пересечения луча КN с окружностью. В точках А и С проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке Е. Докажите, что:

а) точки M, K, E, O лежат на одной окружности;

б) ÐEMK=900.

3. В равнобедренном треугольнике с основанием и углом при основании вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся вписанной окружности и боковых сторон треугольника.

4. В порту для загрузки танкеров имеются три трубопровода. По первому из них закачивается в час 300 т нефти, по второму - 400 т, по третьему - 500 т. Нужно загрузить два танкера. Если загрузку производить первыми двумя трубопроводами, подключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру второй трубопровод, то загрузка обоих танкеров при наиболее быстром из двух возможных способов подключения займет 12 ч. При этом какой-то из танкеров, может быть, окажется заполненным раньше, и тогда подключенный к нему трубопровод отключается и в дальнейшей загрузке, не используется. Если бы вместимость меньшего по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка производилась бы вторым и третьим трубопроводами, то при быстрейшем способе подключения загрузка заняла бы 14 ч. Определить, сколько тонн нефти вмещает каждый из танкеров.

5. Определить среднее арифметическое корней уравнения

Вариант 29-10

1. Из вершин B и C произвольного треугольника АВС проведены медианы ,. Доказать, что

.

2. У предпринимателя работают 10 человек. Каждый месяц он повышает зарплату девяти из них (на свой выбор) на один рубль. Сможет ли предприниматель таким образом выровнять их зарплаты, если сначала их зарплаты были разными и выражались целыми числами в рублях?

3. Доказать, что если произведение трех чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин, то ровно одно их этих чисел больше 1.

4. Имеются три несообщающихся между собой резервуара, причем объем третьего не меньше объема второго. Первый резервуар имеет объем V и может быть заполнен первым шлангом за 3 ч, вторым шлангом - за 4 ч, третьим шлангом - за 5ч. К каждому из резервуаров может быть подключен любой из этих трех шлангов. После того как произведено подключение к каждому из резервуаров по одному шлангу каким-либо способом, все шланги одновременно включаются. Как только какой-то резервуар наполнится, соответствующий шланг отключается и не может быть подключен в дальнейшем к другому резервуару. Заполнение считается законченным, если наполнены все три резервуара. При самом быстром способе подключения заполнение закончится через 6 ч. Если бы все резервуары сообщались, то заполнение окончилось бы через 4 ч. Найти объемы второго и третьего резервуаров.

5. Вычислить , если и результат умножить на , предварительно вычислив его без калькулятора.

Вариант 30-10

1. Решить уравнение

и указать его решения, входящие в

2. Докажите, что если и , то выполняется неравенство

3. Доказать, что при любом целом делится на 120.

4. В соревнованиях по бегу на дистанцию 120 м участвуют три бегуна. Скорость первого из них на 1 м/с больше скорости, второго, а скорость второго бегуна равна полусумме скоростей первого и третьего. Определить скорость третьего бегуна, если известно, что первый бегун пробежал дистанцию на 3 с быстрее третьего.

5. Найдите произведение корней уравнения

Вариант 31-10

1. Вычислите .

2. Пусть в треугольнике АВС точки M, N являются серединами сторон ВС и АС соответственно. Известно, что точка пересечения высот треугольника АВС совпадает с точкой пересечения медиан треугольника AMN. Найдите величину угла АВС.

3. На сторонах и треугольника выбраны точки и соответственно так, что , . Найти угол , если .

4. Две хозяйки затратили одинаковое количество денег на покупки. Первая купила картофель, а вторая - яблоки, причем картофеля было куплено на 8 кг больше, чем яблок. Если бы яблоки и картофель стоили на 10 коп. за килограмм дороже то в этом случае первая хозяйка купила бы картофеля на 3 кг больше, чем вторая яблок. Если бы при первоначальной стоимости первая хозяйка купила столько килограммов яблок, сколько у нее оказалось картофеля, а вторая купила бы столько картофеля, сколько у нее оказалось яблок, то первой пришлось бы истратить на 3 руб. 20 коп. больше, чем второй. Сколько стоили килограмм яблок и килограмм картофеля?

5. Пусть a, b, c и x, y, z - положительные действительные числа такие, что . Доказать неравенство .

Вариант 32-10

1. Решить уравнение

2. Докажите, что если и , то .

3. Решите систему уравнений:

4. К двум бассейнам подведены две трубы разного диаметра (и каждому бассейну своя труба). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это вместе ушло 16 ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько через вторую, а через вторую трубу - столько времени, сколько через первую, то через первую трубу налилось бы воды на 320 м3 меньше чем через вторую. Если бы через первую трубу проходило на 10 м3/ч меньше, а через вторую - на 10 м3/ч больше воды, то чтобы налить в бассейны (сначала в первый, а потом во второй) первоначальные объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода через каждую из труб?

5. Плоскость покрасили в три цвета, т есть каждая точка имеет ровно один из трех данных цветов и при окраске были использованы все три цвета. Доказать, что на ней можно найти треугольник площадью 1, все вершины которого выкрашены в один цвет.

Вариант 33-10

1. При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно два решения?

2. Известно, что и . Найдите .

3. Решить уравнение

.

4. Двум бригадам общей численностью до 18 человек было поручено организовать в течение трех суток непрерывное круглосуточное дежурство по одному человеку. Первые двое суток, дежурили члены первой бригады, распределив это время между собой поровну. Известно, что во второй бригаде три девушки, а остальные юноши, причем девушки дежурили по одному часу, а все юноши распределили между собой остаток дежурства поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена бригады меньше девяти часов. Сколько человек в каждой бригаде?

5. На плоскости даны n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Разрешается соединять точки отрезками так, чтобы эти отрезки не пересекались (но могли иметь общие концы). Доказать, что наибольшее количество отрезков, которое можно провести, не зависит от выбора пар соединяемых точек.

Вариант 34-10

1. Построить график функции

2. Для докажите неравенство

3. Решить систему

4. Из пункта А в пункт В, расположенный на противоположном берегу озера, одновременно выйти моторная лодка и катер. К моменту, когда катер прибыл в пункт В, моторная лодка прошла половину пути и была в 30 км от В. Известно, что если бы катер шел из А в В с большей скоростью, увеличив ее на 3 км/ч, то лодка пришла бы в пункт В на 6 ч позже катера. Найти скорость моторной лодки.

5. При каких значения a и b каждый из квадратных трехчленов , имеет различные целые корни?

Вариант 35-10

1. Произведение четырех последовательных чисел равно 3024. Найдите эти числа.

2. От отрезка [2004, 2005] отрезали слева четвертую его часть. Потом от остатка снова отрезали четвертую часть и так далее. Укажите точку данного отрезка, которая никогда не будет отрезана.

3. Найти наибольшее значение выражения

при .

4. Города А, В, С, D расположены так, что четырехугольник ABCD - выпуклый, соединены прямолинейными дорогами АВ=6 км, ВС= 14 км, CD=5 км, AD=15 км, АС=15 км. Из одного из городов одновременно вышли три туриста, идущих без остановок с постоянными скоростями. Маршруты всех туристов различны, причем каждый из них состоит из трех дорог и проходит через все города. Первый и второй туристы перед прохождением третьих дорог своих маршрутов встретились в одном городе, а третий закончил маршрут на час раньше, чем турист, закончивший маршрут последним. Найти скорости туристов, если скорость третьего больше скорости второго и на 0,5 км/ч меньше скорости первого, причем скорости всех туристов заключены в интервале от 5 до 8 км/ч.

5. Решить систему уравнений:

и найти , где решение системы.

Вариант 36-10

1.Ученица хотела купить в магазине 9 тетрадей, несколько блокнотов, по 6 копеек каждый, и 3 карандаша. Продавец выписал ей чек на 58 копеек. Взглянув на чек, ученица сразу указала ему на ошибку. Пересчитав снова, продавец, действительно, обнаружил ошибку. Объясните, как могла ученица, только взглянув на чек, заметить ошибку?

2.Найдите все действительные числа х такие, которые не являются целыми и при этом удовлетворяют равенству , где [х] - целая часть х, то есть наибольшее целое, которое не превышает х.

3.Найти отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, имеющих равные периметры.

4.Два поезда вышли одновременно в одном направлении из городов А и В, расположенных на расстоянии 120 км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них уменьшил свою скорость на 12 км/ч, а другой - на 9 км/ч, то они также прибыли бы одновременно на станцию С, но на 2ч позже. Найти скорости поездов.

5.Каждая пара вершин куба, соединена отрезками. Сколько различных середин у этих отрезков?

Вариант 37-10

1. Найти область определения функции и указать наименьшее целое значение x.

2. На листе бумаги было записано уравнение одиннадцатой степени. На него упала клякса, и остались только первые три слагаемых: Найти корни этого уравнения, если известно, что они образуют арифметическую прогрессию.

3. Докажите, что число составное.

4. При каких значениях параметра а система уравнений

Имеет бесконечно много решений?

5. По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш (партнеров): 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6. Не ошибся ли кто-нибудь из них?

Вариант 38-10

1. Найти среднее арифметическое корней уравнения

2. Три вершины треугольника со сторонами a, b,c имеют целые координаты. R - радиус окружности, описанной около треугольника. Доказать, что .

3. Постройте график функции

4. Найти число точек разрыва функции , принадлежащих отрезку

5. На базаре продаются рыбки большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших стоили вчера, а две большие и одна маленькая сегодня - столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?

Вариант 39-10

1. Найти корень (или сумму действительных, различных корней, если их несколько) уравнения

2. Найти все натуральные числа, которые в одиннадцать раз больше суммы своих цифр.

3. Расшифруйте равенство

4. Указать, при каких значениях параметра а уравнение

не имеет решений.

5. На плоскости проведены n прямых так, что никакие две из них не параллельны, а каждые три не имеют общей точки. Найти количество точек пересечения этих прямых. Сколько треугольников образуют эти прямые? Сколько среди этих частей неограниченных?

Вариант 40-10

1. Найти длину интервала, на котором выполняется неравенство

2. Известно, что из арифметической прогрессии , ,…, ,… можно выделить подпоследовательность, которая является геометрической прогрессией. Доказать, что - число рациональное.

3. Пусть . Вычислите сумму

4. Упростить выражение:

и результат умножить на НОД (102;30)

5. В акционерном обществе «Елки палки» 1999 акционеров, причем известно, что любые 1000 из них в совокупности обладают контрольным пакетом (то есть не менее, чем половиной акций). Какую наибольшую долю акций может иметь один акционер?

Вариант 41-10

1. Если углы А, В,С треугольника АВС удовлетворяют равенству

,

то треугольник прямоугольный. Доказать это.

2. Известно, что никакие две диагонали выпуклого n-угольника не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Найти число тех точек пересечения диагоналей, которые лежат вне n-угольника.

3. Олимпиада началась между 10-ю и 11-ю часами и закончилась между 14-ю и 15-ю часами. Сколько времени длилась олимпиада, и в какое время она началась, если за время олимпиады часовая и минутная стрелки поменялись местами?

4. Найти произведение целых решений неравенства

5. Наименьший целый положительный корень неравенства разделить на НОК

Вариант 42-10

1. При каких значениях многочлен делится без остатка на ?

2. Существуют ли такие натуральные числа т и п, что изображенный на клетчатой бумаге прямоугольник размером т´п (се стороны которого проходят по линиям "сетки") одновременно удовлетворяет следующим условиям:

а) из него по линиям "сетки" можно вырезать 2005 четырехклеточных фигур, любая из которых является квадратом размером 2´2, или прямоугольником размером 1´4;

б) из него по линиям "сетки" невозможно вырезать 1 111 прямоугольников размером 1´7? Ответ обоснуйте.

3. Построить треугольник, если известны прямая линия, на которой лежит одна из его сторон, и две точки, являющиеся центрами вписанной и описанной окружностей.

4. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при этом было 44 попадания, остальные - промахи. Сколько раз попал каждый, если известно, что у первого стрелка на каждый промах приходилось в два раза больше попаданий, чем у второго?

5. Решите систему уравнений:

Вариант 43-10

1. Доказать, что система:

не имеет действительных решений при .

2. Найдите наименьшее четырехзначное натуральное, число, которое при делении на 13 и на 17 дает остатки 9 и 4 соответственно.

3. Доказать, что при любом целом дробь несократима.

4. От пристани А к пристани В против течения реки отошел катер, собственная скорость которого в стоячей воде в 7 раз больше скорости течения реки. Одновременно навстречу ему от пристани В, расстояние от которой до А по реке равно 20 км, отошла лодка. На каком расстоянии от В произошла встреча катера с лодкой, если известно, что через полчаса после начала движения лодке оставалось проплыть 4 км до встречи и что катер затратил на весь путь до встречи с лодкой на 20 мин больше, чем на путь от места встречи до пункта В?

5. При каких значениях параметра а система уравнений

Имеет бесконечно много решений?

Вариант 44-10

1. Доказать, что если длины сторон каждого из двух прямоугольных треугольников образуют арифметическую прогрессию, то треугольники подобны.

2. Решите систему уравнений:

3. Решить систему уравнений

4. Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению реки на 60 км до устья впадающего в нее притока и поднялся вверх по притоку (против течения) на 20 км до пристани В. Весь путь от А до В пароход прошел за 7 ч. Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти собственную скорость парохода (собственная скорость - скорость в неподвижной воде).

5. В угол NAK, равный , вписана окружность, которая касается сторон угла в точках В и С. Доказать, что длина произвольного отрезка, соединяющего любые две точки внутри области, ограниченной отрезками АВ и АС и меньшей дугой окружности ВС, не превосходит АВ.

Вариант 45-10

1. Доказать, что

.

2. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС взята точки D, E, F соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ADF, BED, CEF, имеют общую точку.

3. Доказать, что при любом натуральном выражение является целым числом.

4. Имеется некоторое количество проволоки. Если ее намотать на катушки, на которых умещается по 800 м проволоки, то одна катушка будет намотана не полностью. То же самое произойдет, если пользоваться только катушками, на которых умещается по 900 м проволоки, причем таких катушек понадобится на 3 меньше. Если же проволоку наматывать только на катушки, на которых умещается по 1100 м, то таких катушек понадобится еще на 6 меньше, но при этом все такие катушки будут намотаны полностью. Сколько метров проволоки было?

5. Наименьший целый положительный корень уравнения умножить на целую часть числа

Вариант 46-10

1. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3.

2. Из квадратной доски 7 x 7 вырезали одно угловое поле 1 x 1. Докажите, что оставшуюся доску нельзя покрыть 24-мя прямоугольниками размера 1 x 2 («домино») так, чтобы ровно половина из них была расположена горизонтально.

3. Возрасты некоторых мальчиков составляют арифметическую прогрессию. Известно, что одному из них 10 лет, самому старшему 13 лет. Сколько лет каждому мальчику, если их возрасты различны, а возраст десятилетнего мальчика составляет и в дальнейшем будет составлять суммы возрастов всех мальчиков?

4. Группу людей попытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Тогда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд: все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей попытались построить по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

5. Подряд написаны 99 девяток. Доказать, что справа от них можно приписать ровно 100 цифр так, чтобы полученное 199-значное число было полным квадратом.

Вариант 47-10

1. Найдите число целых решений неравенства на отрезке

2. Найдите все решения в натуральных числах уравнения

3. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус вписанной окружности равен третьей части одной из высот.

4. Из пункта А в В вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 мин после своего выезда из В. Сколько времени потребовал ось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь путь из А в В, если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода?

5. Определить сумму всех двузначных чисел, входящих в решение неравенства

Вариант 48-10

1. Найдите число решений системы уравнений

2. Найдите все простые трехзначные числа, которые при любой перестановке их цифр остаются простыми числами.

3. Решить уравнение .

4. Число учащихся в классе, повысивших свою успеваемость, заключено в пределах от 2,7 до 3,2 % от общего числа учащихся. Каково наименьшее число учащихся в классе?

5. Первый рабочий производит продукции на одну копейку в течение одной секунды. Второй – на один рубль за одну минуту. Во сколько раз производительность второго рабочего больше первого?

Вариант 49-10

1. Найти наименьшее значение функции

2. По преданию, на могильном камне имелась такая надпись: «Путник! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в глубокой старости. Шестую часть своей долгой жизни он был ребенком, двенадцатую – юношей, седьмую – провел не женатым. Через пять лет после женитьбы у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца. Через четыре года после смерти сына, уснул вечным сном и сам Диофант. Скажи, если умеешь считать, сколько лет прожил Диофант».

3. Из 6 спичек можно сложить только один прямоугольник. Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз 14 спичек?

 

4. Упростить выражение

5. Доказать, что если , то при любом нечетном

.

Вариант 50-10

1. Решить систему уравнений

2. Население страны ежегодно увеличивается на . Через сколько лет население удвоится? (!)

3. С полудня до полуночи кот ученый спит под дубом, а с полуночи до полудня рассказывает сказки. На дубе он повесил плакат: «Через час я буду делать то же самое, что делал два часа назад». Сколько часов в сутки эта надпись верна?

4. Решить неравенство

5. Доказать, что , если для любого и .

Вариант 51-10

1. Найти наименьшее значение функции

2. В шахматном турнире участвовало 8 человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

3. Получив очередную пятерку по математике, Егор обнаружил, что в дневнике у него стало на 100 % больше пятерок, чем двоек. На сколько процентов количество двоек теперь меньше, чем количество пятерок?

4. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3.

5. Пусть - сумма первых членов арифметической прогрессии. Доказать, что

.

Вариант 52-10

1. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении .

2. Вычислить сумму кубов первых чисел натурального ряда

.

3. Каждая парабола разбивает плоскость на две части. Если две точки попадают в разные части, то будем говорить, что парабола разделяет эти точки. Какие две точки не могут быть разделены никакой параболой вида ?

4. Петя и Оксана задумали по натуральному числу и сообщили их своему учителю. Учитель записал на одном листе бумаги сумму задуманных чисел, а на втором - их произведение. После этого один из листов спрятал, а второй(на нем было написано число2002) показал Пете и Оксане. Увидев число, записанное на листе, Петя сказал, что не знает, какое число задумала Оксана. Услышав это, Оксана сказала, что не знает, какое число задумал Петя. Какое число задумала Оксана?

5. Найти все трехзначные числа, сумма цифр которых уменьшится в три раза, если само число увеличить на 3.

Вариант 53-10

1. Имеется четыре пакета и весы с двумя чашками без гирь. С помощью пяти взвешиваний расположить пакеты по весу.

2. Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Каждая боковая грань призмы окрашена в один из трех цветов: белый, красный или синий, причем грани выкрашены в разные цвета. Сколько существует различных по раскраске гаек? (Для раскраски не обязательно использовать все три краски).

3. Четыре числа попарно сложили и получили шесть сумм. Известны четыре наименьшие из этих сумм: 1; 5; 8; 9. Каковы две остальные суммы и сами исходные числа?

4. Существует ли такое натуральное число п, что число пп+(п+)п делится на 2003?

5. Прямая, проведенная через вершину треугольника, делит его на два треугольника, каждый из которых подобный исходному. Доказать, что исходный треугольник – прямоугольный и секущая прямая проходит через вершину прямого угла перпендикулярно гипотенузе.

Вариант 54-10

1. Сумма наибольшего и наименьшего положительных членов геометрической прогрессии больше суммы двух остальных. Доказать.

2. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС в три раза больше катета АВ. Точками К и М катет АС разделен на три равные части. Доказать, что .

3. Упростить выражение

4. Построить график функции

5. Из 80 золотых монет одна фальшивая (более легкая). Как найти фальшивую монету посредством четырех взвешиваний на весах с двумя чашками без гирь?

Вариант 55-10

1. Найти

2. Докажите, что число составное.

3. Какое из двух чисел больше: и ?

4. При каких значениях x параметра а уравнение , имеет бесконечно много решений?

5. В сегмент круга вписываются прямоугольники так, что две вершины каждого из них лежат на хорде сегмента, а две другие – на дуге. Найти геометрическое место центров симметрии прямоугольников.

Вариант 56-10

1. В разложении коэффициент второго члена равен 28, а средний член разложения равен 17,5. Найти и .

2. В правильный треугольник со стороной длины 2 брошены пять точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит 1.

3. Решить неравенство .

4. Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь которого , а углы при основании таковы, что .

5. Доказать, что .

Вариант 57-10

1. Решить уравнение .

2. Найдите все простые числа р такие, что число 3р+1 является квадратом.

3. Решить уравнение .

4. Можно ли расположить числа -11, -10, -9 … 13, 14 в вершинах, на ребрах и на гранях куба (у куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней) так, чтобы число на любом ребре равнялось сумме чисел на его концах, а число на любой грани этого куба равнялось сумме четырех чисел, которые стоят на его ребрах?

5. В пространстве дана точка А. Найти геометрическое место ее проекций на всевозможные прямые, лежащие в плоскости P и проходящие через данную точку В этой плоскости.

Вариант 58-10

1. Решить уравнение .

2. Решите систему уравнений:

3. При каком значении система имеет единственное решение?

4. На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC отметили точки K, L и M соответственно так, что KL||BC, KL=LC и ÐLMB=ÐBAC . Докажите, что LM=AK.

5. Решить уравнение .

Вариант 59-10

1. В треугольнике перпендикуляр, проходящий через середину стороны , пересекает сторону в точке , при этом . Перпендикуляр, проходящий через середину стороны , пересекает сторону в точке , так что . Определить углы треугольника .

2. В квадрат со стороной длины 1 вписан правильный треугольник так, что точки P, Q, R лежат на сторонах АВ, ВС, СD соответственно, причем BQ=1/3. Найдите длину стороны треугольника PQR.

3. При каких значениях и система не имеет решений?

4. Натуральное число п>100 разделили с остатком на 10, 35 и 42. Выяснилось, что сумма остатков от деления на 35 и на 42 равняется остатку от деления на 10. Докажите, что п - составное.

5. Доказать, что если для сторон треугольника выполняется соотношение

,

то один из углов треугольника равен .

Вариант 60-10

1. Найти все значения параметра , при которых система

2. На стороне треугольника задана точка. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, проходящую через эту точку и делящую площадь треугольника пополам.

3. Доказать, что при любом натуральном число делится на 8.

4. Если одно из чисел увеличить в 20 раз, а другое уменьшить в 10 раз, то что произойдет с произведением этих чисел.

5. Четная степень некоторого числа равняется четырехзначному числу, первая цифра которого есть 3, а последняя 5. Найти это число.

Вариант 61-10

1. Найти

2. Какие четыре цифры следует приписать справа к числу 400, чтобы полученное семизначное число было полным квадратом.

3. При каких значениях параметра уравнение

имеет два положительных корня?

4. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пунктов А в пункт В. Поехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда, когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В.

5. Найти произведение членов геометрической прогрессии зная, что

и .

Вариант 62-10

1. Доказать тождество

2. Решите в целых числах уравнение

3. Решить уравнение .

4. Разложите многочлен на два множителя с целыми коэффициентами.

5. В данный полукруг вписать прямоугольник наибольшей площади.

Вариант 63-10

1 .x, y, z – произвольные попарно неравные целые числа. Докажите, что делится на

2. Три последовательные вершины ромба лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, СD данного квадрата со стороной 1. Найдите площадь фигуры, которою заполняют четвертые вершины таких ромбов.

3. Космонавт приземлился на планете .Отдохнув, он отправился к наиболее удаленному от пункту . Отдохнув в космонавт отправился к наиболее отдаленному от пункту . Известно, что пункты и не совпадают. Доказать, что космонавт никогда больше не остановится на отдых в , если будет продолжать двигаться по указанному правилу.

4. Решить уравнение

5. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если изменяется в первой четверти.

Вариант 64-10

1. Решить уравнение

2. Напротив гостиницы «Владивосток» через Амурский залив находится мыс. Его береговую кромку не видно с берега залива, но она (впервые) появляется в поле зрения, если подняться на высоту 8 м (по вертикальной лестнице, имеющейся на обрыве). Чему равно расстояние по поверхности залива от гостиницы «Владивосток» до мыса Песчаный? Радиус Земли принять 6370 км.

3. Решить неравенство .

4. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания этой окружности делит гипотенузу на отрезки, имеющие длину p и q. Найдите площадь треугольника.

5. Докажите, что существует число, делящееся на 51000 и не содержащее в своей записи ни одного нуля.

Вариант 65-10

1. На плоскости заданы окружность S и прямая l, проходящая через центр О окружности S. Через точку О проводится окружность S1 с центром на прямой l. Надите множество точек М в которых общая касательная окружностей S и S1 касается окружности S1.

2. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС по его медианам AD и СЕ и углу .

3. Решить уравнение ;

4. Прямоугольник составлен из равных квадратных клеточек: в длину 163, а в ширину 65. Можно ли этот прямоугольник разбить на «уголки» по три клетки в каждом.

5. Существуют ли такие натуральные числа х и у для которых х2+у и у2+х – квадраты целых чисел?

Вариант 66-10

1. Решить уравнение

2. Прямая, перпендикулярная к хорде сегмента, делит хорду в отношении 1:4, а дугу в отношении 1:2. Найти косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.

3. Упростить выражение

4. Решите неравенство:

5. Доказать, что если три простых числа, большие числа 3, образуют арифметическую прогрессию, то разность прогрессии делится на 6.

Вариант 67-10

1. С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности 1, 2, 3, 4 (см. рис.) с радиусами r1, r2, r3, r4, причем r1+r3=r2+r4<d; d – диагональ прямоугольника.

2. Какое число больше или ?

3. Упростить выражение

4. Сколько можно составить всевозможных четырехзначных чисел из цифр 1, 3, 5, 6, 8, так, чтобы ни одна цифра не повторялась.

5. Около окружности с центром О описан четырехугольник ABCD. Докажите, что сумма углов АОВ и COD равна 1800.

Вариант 68-10

1. Дан правильный пятиугольник; М – произвольная точка внутри него (или на его границе). Занумеруем расстояние от точки М до сторон (или их продолжений) в порядке возрастания: . Найдите все положения точки М, при которых величина r3 принимает наименьшее значение, и все положения точки М, при которых величина r3 принимает наибольшее значение.

2. Докажите, что при любом натуральном п число делится на 18.

3. Решить уравнение

4. Сколько делителей имеет число 3600 (включая 1 и 3600).

5. В треугольной пирамиде провести плоские сечения так, чтобы образовался параллелограмм.

Вариант 69-10

1. Решить систему уравнений

2. Точка Н – точка пересечения высот треугольника АВС (ортоцентр треугольника). Докажите, что окружности, описанные около треугольников АНВ, ВНС и СНА, равны друг другу.

3. Решить уравнение .

4. Сколько можно составить всевозможных пятизначных чисел из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так, чтобы ни одна цифра не повторилась?

5. Турист, приехавший в Москву на поезде, весь день бродил по городу. Поужинав в кафе на одной из площадей, он решил вернуться на вокзал и при этом идти только по улицам, по которым он шел до этого нечетное число раз. Докажите, что он всегда может это делать.

Вариант 70-10

1. Решить уравнение

2. 175 камешков разложены в несколько равных (по количеству камешков) кучек. Оказалось, что камешки из двух кучек можно поровну разделить по остальным кучкам, причем в каждую кучку добавить 10 камешков. Сколько всего имеется кучек?

3. Корни уравнения с неизвестными коэффициентами равны и . Найти корни уравнения .

4. Сколько можно составить всевозможных трехзначных чисел из цифр 0, 1, 2, 4, 7? Цифры могут повторяться.

5. Дан равносторонний треугольник со стороной 1. При каком наименьшем d отрезок длины d может, скользя концами по сторонам треугольника, замести его целиком?

Вариант 71-10

1. Три последовательные вершины ромба лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, СD данного квадрата со стороной 1. Найдите площадь фигуры, которою заполняют четвертые вершины таких ромбов.

2. Вычислить .

3. Упростить выражение

и определить член разложения не содержащий .

4. В языке племени Мумба-Юмба 4 буквы а, б, в, е и все слова состоят из одной, двух или трех букв. Сколько слов в племени начинаются с буквы б.

5. Решить уравнение .

Вариант 72-10

1. Дано натуральное число п. Выпишем все дроби вида , где р и q взаимно просты , . Докажите, что сумма всех таких дробей равна ½.

2. При каких значениях из точки можно провести три различные касательные к графику функции ?

3. О векторах известно, что , , . Доказать, что эти векторы коллинеарны. Рассмотреть случай .

4. Найти сумму всех трехзначных натуральных числе, которые при делении на 5 дают остаток 1.

5. К бассейну объемом в 300 м3 проведены три трубы: через первую и вторую вода поступает, через третью выливается. Если все три трубы включены одновременно, то количество воды в бассейне увеличивается ежеминутно на 20 м3. Бассейн начали наполнять водой, включив первую и третью трубы. Более чем через 12 мин после начала работы в бассейне оказалось 100 м3 воды. В этот момент первую и третью трубы закрыли и включили вторую трубу, завершившую наполнение бассейна. Всего на наполнение бассейна было затрачено 30 мин. Определить, за какое время наполнился бы бассейн, если бы его с начала и до конца наполняла только вторая труба.

Вариант 73-10

1. Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из них остроугольный.

2. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади , чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

3. Даны три вектора , , , . Найти длину вектора , удовлетворяющего условиям , , .

4. Найти сумму всех целых чисел, каждое из которых делится без остатка на 6 и удовлетворяет условию

5. Выпуклый n-угольник разместили в квадрате с стороной 1. Доказать, что найдутся три вершины A, B,C этого n-угольника такие, что площадь треугольника ABC не превышает .

Вариант 74-10

1. Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Докажите, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.

2. Пусть точка является центром вписанной в треугольник окружности. Докажите, что центр окружности описанной около треугольника , лежит на биссектрисе угла .

3. Касательная к графику функции проходит через начало координат. Найти координаты точки касания. Каким условиям должны удовлетворять параметры , чтобы задача имела смысл?

4. Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно 11 и не превосходит по величине 1000.

5. Дан треугольник ABC. Найти множество точек M, симметричные образы которых относительно каждой из прямых AB, BC, AC лежат на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Вариант 75-10

1. При каких действительных a, b, c равенство

Верно для всех действительных x, y, z?

2. Два экскаватора должны вырыть три одинаковых котлована. Если они будут работать вместе, то выроют их за 2 дня. Первый экскаватор может вырыть один такой котлован на день быстрее второго. В один из дней первый экскаватор работал полдня, а второй работал весь день. Какая часть всей работы была выполнена за этот день?

3. В равнобедренную трапецию с высотой и углом при большем основании вписана окружность. Найти площадь и периметр трапеции, упростить ответ.

4. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 2.

5. Найти 8 простых чисел (не обязательно разных), сумма квадратов которых на 992 меньше их учетверенного произведения.

Вариант 76-10

1. Дан выпуклый многоугольник, в который нельзя поместить никакой треугольник площади 1. Докажите, что этот многоугольник можно поместить в треугольник площади 4.

2. Пусть - вещественные числа. Докажите неравенство

.

3. Решить уравнение

4. Найти сумму всех натуральных чисел кратных 3 и удовлетворяющих условию .

5. Найти один из положительных корней уравнения

, .

Вариант 77-10

1. Докажите, что из цифр 1 и 2 можно составить 2п+1 чисел, каждое из которых 2п –значно и каждые два из которых различаются не менее, чем в 2п-1 разрядах.

2. Изобразите на координатной плоскости множество решений двойного неравенства

.

3. Упростить выражение

4. Найти значение а, при котором один корень уравнения меньше другого на 10.

5. Действительные числа x, y,a таковы, что , . При каком значении a произведение xy принимает наименьшее значение?

Вариант 78-10

1. Обозначим через ап целое число ближайшее к . Найдите сумму .

2. Найти сумму .

3. Укажите число целых решений неравенства, принадлежащих отрезку [9; 13]

4. Разность корней уравнения равно 0,2. Найти значение с.

5. Пусть a, b,c – стороны треугольника, а - соответствующие медианы. Доказать, что