Математика и физика, полны неожиданностей

Тамбовское областное государственное образовательное учреждение

среднего специального образования «Педагогический колледж»

Математика и физика

полны неожиданностей

Преподаватели:

Тамбов

2007
Программа вечера

1.  Музыкальное вступление.

2.  Математическое вступление (стихи).

3.  Задача о Земле и апельсине.

4.  Когда мы движемся вокруг солнца быстрее – днем или ночью?

5.  Неожиданные числовые ряды.

6.  Викторина ведущих с залом.

7.  Фокусы в математике и физике.

8.  Феноменальная память.

9.  Заключительная песня.

Оборудование

Проектор, компьютер, плакаты, презентации: «Математика и физика полны неожиданностей», «Оптический обман зрения».

Участники

Студенты первых и вторых курсов: Д-11; Т-21.

Музыкальное вступление

Нагружать всё больше нас, стали почему то,

А в педколледже у нас вроде института

Нам учитель задаёт формулы, задачи.

Кандидат наук и тот над задачей плачет.

А вчера стряслась беда, нам конверт прислали.

И контрольную с утра, сложную задали.

Сразу не могли понять, а потом решили.

Математику опять плохо мы учили.

Я и физику учу, хоть сложна наука.

На уроки я лечу и не гложет скука.

Мне Ньютон - родной отец, знаю все законы

И всегда могу найти массу электрона.

Математическое вступление

Пусть в памяти твоей, воскреснет Архимед,

Сраженный за великие творенья.

Пусть вспомнится известный вам Виет,

Открывший формулу для уравненья.

Тебе знаком талантливый Декарт -

Систем координат создатель.

Ты знаешь Лобачевского, он русский брат,

Коперник геометрии, творец, ваятель.
Велик и ныне Чебышев - титан,
А Софья Ковалевская — чудесная «русалка»!
Талант могучий был им дан,

Дана была им гениальная смекалка.
Творцы великих мыслей и идей,

Какие род людской вынашивал столетья,

Пройдя сквозь бури трудных дней,

Переживут уже тысячелетья.

Запомни то, что Гаусс всем сказал:

«Наука математика — царица всех наук».

Не зря поэтому он завещал –

Творить в огне трудов и мук.

Безмерна роль ее в открытии законов,
В создании машин, воздушных кораблей.
Пожалуй, трудно нам пришлось бы без Ньютонов,
Каких дала история до наших дней.
Пусть ты не станешь Пифагором,

Каким хотел бы, может быть!

Но будешь офицером ты, ученым,

И будешь честно Родине служить.

Земля и апельсин

Представим себе, что земной шар обтянут по экватору обручем, и что аналогично обтянут апельсин по его боль­ному кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинили на 1 м. Тогда, обручи «отстанут» от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и останется некоторый зазор.

В каком случае этот зазор будет больше: у земного шара или у апельсина? В какой зазор пролезет кошка?

Решение. Обычно на этот вопрос отвечают так: «Конеч­но, у апельсина останется больший зазор, чем у Земли! Ведь по сравнению с длиной окружности земного шара км) длина окружности апельсина настолько мала, что прибавка 1 м ккм останется незаметной, а прибавка 1 м к длине окружности апельсина должна быть весьма ощутимой.

Такой ответ, естественно, на уме всякого — и матема­тика, и нематематика. Математик может подкрепить его следующими геометрическими соображениями. Так как отношение длины окружности к диаметру (число π) - ве­личина постоянная, то прирост радиуса Земли, т. е. за­зор, должен быть во столько раз меньше прироста радиу­са апельсина, во сколько раз радиус. земного шаракм) больше радиуса апельсина и т. д.

Однако простым вычислением легко доказать, что именно в силу постоянства отношения длины окружности к диаметру зазор не зависит от радиуса окружности и одинаков для Земли и для апельсина.­

Пусть С — длина окружности Земли, R — радиус Зем­ли; с - длина окружности апельсина,

r - его радиус.

Тогда (см. рис. ):

С2 - С1 = 1 (м), С2 = 2πR2, C1 = 2πR1 , 2πR2 - 2πR1 = 1 (м), 2π(R2 – R1 ) = 1,

(R2 – R1 ) = 1/2π ; c2 – с1 = 1 (м), c2 = 2πr2, c1 = 2πr1 ,

2πr2 - 2πr1 = 1 (m), 2π(r2 – r1) = 1, r2 – r1 = 1/2 π .

Итак, и у Земли, и у апельсина получился один и тот же зазор, равный

1/2π (м) = 100/6,28 (см) = 16 (см).

В такой зазор пролезет не только кошка, но даже не­большая собака.

Этот результат кажется до такой степени неожидан­ным и неправдоподобным, что в него трудно поверить. Но опыты с монетами и тарелками подтверждают вычисле­ния.

Когда мы движемся вокруг солнца быстрее – днем или ночью?

-  Однажды, в парижских газетах появилось объявление, обещавшее каждому за 25 сантимов указать способ путешествовать дешево и притом без малейшего утомления.

-  И что, нашлись легковерные, которые прислали 25 сантимов?

-  Конечно, и каждый получил письмо следующего содержания: «Оставайтесь, гражданин, спокойно в своей кровати и помните, что Земля наша вертится. На параллели Парижа – 49-й – вы пробегаете каждые сутки более 25000 км. А если вы любите живописные виды, откиньте оконную занавеску и восхищайтесь картиной звездного неба».

-  Привлеченный к суду за мошенничество, виновник этой затеи выслушал приговор, уплатил штраф и, став в театральную позу, торжественно повторил знаменитую фразу Галилея: «А всё-таки она вертится!».

-  В известном смысле шутник был прав, потому что каж­дый обитатель земного шара не только «путешествует», вращаясь вокруг земной оси, но с еще большей скоростью переносится Землей при ее обращении вокруг Солнца. Ежесекундно планета наша со всеми своими обитателями перемещается в пространстве на 30 км, вращаясь одновре­менно и вокруг оси.

-  По этому поводу можно задать интересный вопрос: когда мы движемся вокруг Солнца быстрее — днем или ночью?

-  Вопрос способен вызвать недоумение: ведь всегда на одной стороне Земли день, на другой — ночь? какой же смысл имеет наш вопрос? По-видимому, никакого.

-  Однако это не так. Спрашивается ведь не о том, когда вся Земля перемещается скорее, а о том, когда мы, ее обитатели, движемся скорее среди звезд. А это уже вовсе не бессмысленный вопрос. В Солнечной системе мы со­вершаем два движения: вращаемся вокруг Солнца и в то же время обращаемся вокруг земной оси. Оба движения складываются, но результат получается различный, смотря по тому, находимся ли мы на дневной или ночной половине Земли. Взгляните на рис., и вы поймете, что в полночь скорость вращения прибавляется к поступа­тельной скорости Земли,, а в полдень наоборот, отнима­ется от нее. Значит, в полночь мы движемся в Солнечной системе быстрее нежели в полдень.

-  Так как точки экватора пробегают в секунду около полукилометра, то для экваториальной полосы разница между полуденной и полуночной скоростями достигает целого километра в секунду. Знакомые с геометрией легко могут вычислить, что для средней полосы (я параллель) эта разница вдвое меньше: в пол­ночь жители средней полосы каждую секунду пробегают в Солнеч­ной системе на полкилометра больше, нежели в полдень.

Два своеобразных числовых ряда

Здесь речь пойдет о двух рядах, которые произвольно могут быть продолжены дальше.

16 49
1
111
11115
1111155

……………… ………………

Сразу виден принцип построения этих рядов. Каждое последующее число имеет на два разряда больше, чем предыдущее. При этом первая цифра исходного числа появляется все чаще, а перед всегда оставшейся одинако­вой конечной цифрой ставится в одном ряду дополнитель­ная цифра 5, в другом - дополнительная цифра 8.

Почему нас интересуют именно эти два ряда? Это сра­зу видно при более подробном рассмотрении этих чисел.

Рассмотрим первый ряд. Сразу видно, что

16 = 42, 1156 = 342.

То же имеет место для всех последующих чисел этого ряда. Действительно,

= 3442,= 33342 и т. д.

Приходим к следующей записи первого ряда:

16 =42

1156 =342

111556 = 3342

= 33342

= 333342

= 3333342

=

Значит, числа рассматриваемого ряда - квадратные числа, но они не произвольные. При увеличении ряда к каждому числу добавляется спереди тройка.

Подобной же структурой обладает и второй ряд. Он также содержит только квадратные числа:

49 = 72, 4489 = 672, 444889 = 6672 и т. д.

Этот ряд можно представить следующим образом:

49 = 72

4489 = 672

444889 = 6672

= 66672

= 666672

= 6666672

=

Здесь к каждому числу впереди добавляется шестер­ка. Просто поразительно, что существуют два таких бес­конечных ряда. Других рядов с названными особенностя­ми не найдено.

Викторина «Умники и умницы»

1. Знаете ли вы, какую огромную работу выполняет сердце человека?

Ответ. Через него проходит вся кровь, находящаяся в теле человека. Всего крови около 5 л. Сердце в состоя­нии покоя перекачивает это количество в сосуды меньше, чем за минуту, в час - 400 л, в сутки - 10 000 л. За год сердце перегоняет через сосуды 3,5 млн. л крови.

2. Знаете ли вы, что Пифагор был олимпийским чемпионом по боксу?

Ответ. Свои бои он всегда заканчивал блестящим нокаутом.

3. Знаете ли вы, что самый долговечный учебник математики принадлежит древнегреческому математику Евклиду?

Ответ. Свою систему геометрии он создал за 300 лет до н. э. Но выводы и теоремы Евклида звучат в школах и по сей день. «Что и требовалось доказать» - этими слова­ми заканчивается каждое математическое рассуждение ве­ликого математика в его учебнике.

4. Где в России можно встретить дорожку Геракла? Ответ. Это расстояние 192,26 м - длина любого ста­диона.

Был день, когда Геракл победил царя Элилы Авбия. Радуясь победе, Геракл устроил состязание между свои­ми четырьмя братьями и, поздравляя победителя, увен­чал его оливковой ветвью. Он сам выбрал дорожку для бега в 600 ступеней, которую впоследствии стали назы­вать дорожкой Геракла. Это длина стадиона - 192,26 м. Эту легенду связывают с началом олимпийских игр.

5. Белая собака бежит за серым зайцем. Пробежав 2 км, собака перестала преследовать зайца. Кто больше вспотел и на сколько процентов?

Ответ. Никто не вспотел, так как ни у собаки, ни у зайца нет потовых желез.

6. Один статистик утверждал, что в России из каждых 10 мужчин одного зовут Иван, а из каждых 20 мужчин одного зовут Петр. Если это верно, то кого чаще можно встретить: Ивана Петровича или Петра Ивановича?

Ответ. Одинаково часто.

7. Во сколько раз лестница на шестой этаж длиннее лестницы на второй этаж того же дома?

Ответ. В 5 раз.

8. Если в 12 ч ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 ч будет солнечная погода?

Ответ. Нет, так как это будет опять ночь.

9. Перечислите литературные произведения, в назва­нии которых встречается какое-либо число.

10. Какое наименьшее количество раз может отметить свой день рождения солдат, только что начавший свою службу?

Ответ. 4 раза, если он родился 29 февраля.

11. Покажите лоб, в котором 7 пядей.

Ответ. Такого лба нет. Пядь - это расстояние между концами растянутых большого и указательного пальцев, т. е. ~ 16 см. Имеем, 7 • 16 = 112 см. Ну и лоб!

12. В знойный летний день, когда воздух звенит от насекомых, на зеленой лужайке площадью 3,5 га пасутся две лошади одной породы и масти, различающиеся между собой только тем, что у одной хвост подвязан, а у дру­гой - нет. Лужайка имеет форму параллелограмма, и одна из лошадей щиплет траву, передвигаясь по его диагона­ли, а другая - по его сторонам. Какая из этих лошадей в течение часа съест больше травы, если аппетит у них оди­наков, а травяной покров лужайки, на которой они пасутся, также одинаков?

Ответ. Больше травы съест та лошадь, у которой хвост не подвязан, так как ей не придется отвлекаться от еды, чтобы отгонять мух.

13. - Скажи мне, о знаменитый Пифагор, сколько уче­ников посещают твою школу и слушают твои беседы?

- Вот сколько, - ответил философ. - Половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три девы.

Сколько всего учеников было у Пифагора?

Ответ. 28 человек.

1/2+1/4+1/7=25/28; 25/28+3/28=1

14.  Красивое коромысло над лесом повисло.

Ответ. Радуга.

15.  Что с земли не поднимешь?

Ответ. Тень.

16.  Никто его не видывал, а слышать всякий слыхивал.

Без тела, а живет оно.

Без языка – кричит.

Ответ. Эхо.

17.  В огне не горит, а в воде не тонет.

Ответ. Лед.

18.  Летит – молчит. Лежит – молчит.

Когда умрет, тогда заревет. Что это такое?

Ответ. Снег.

19.  Сначала – блеск,

За блеском – треск,

За треском – плеск. Что это?

Ответ. Молния, гром, дождь.

20.  Всем поведает, хоть и без языка,

Когда будет ясно, а когда облака.

Ответ. Барометр.

21.  Две сестры качались, правды добивались.

А когда добились, то остановились.

Ответ. Весы.

Угадывание размера обуви и возраста человека

Выступающий предлагает сидящим в зале:

1) свой размер обуви умножить на 2;

2) к полученному числу прибавить 35;

3) результат умножить на 50;

4) от полученного числа отнять свой год рождения;

5) к полученному числу прибавить число, 237 (для 1987 г.), число 238 (для 1988 г.), 247 (для 1997 г.) и т. д.

Пример. (Залу не объяснять!) Допустим, вы носите 37-й размер и сейчас 1987 г. Для родившихся, например, в 1952 г. подсчеты будут следующие:

1)37·2 = 74;

2)  74 + 35 = 109;

3)  109·5;

4)  5= 3498;

5)  3498 + 247 = 3735.

Первые четыре пункта подсчитывает зритель. Пятый пункт считает выступающий. Он сообщает: «Вы носите 37-й размер обуви, вам 35 лет. Если еще не исполнилось, то будет в этом году».

Зрительные самообманы.

- Мы часто говорим об «обмане зрения», «обмане слуха». Как ты думаешь, правильны ли эти выражения?

-  А давай проверим! Присутствующих попросим нам помочь.

(просматриваются слайды)

-  Что ты теперь скажешь?

-  Обманов чувств нет. Философ Кант метко сказал по этому поводу: «Чувства не обманывают нас,- не потому, что они всегда правильно судят, а потому, что вовсе не судят».

-  Что же тогда обманывает нас при так называемых «обманах» чувств?

-  Конечно, то, что в данном случае судит – наш собственный мозг.

-  Действительно, большая часть обманов зрения зависит от того, что мы не только видим, но и бессознательно рассуждаем, причем невольно вводим себя в заблуждение. Это – обман суждения, а не чувств.

-  Еще два тысячелетия назад древний поэт Лукреций писал:

Наши глаза познавать не умеют природу предметов,

А потому не навязывай им заблуждений рассудка.

Феноменальная память

Сидящим в зале раздают карточки. На одной стороне карточки написан ее номер, а на другой - десятизначное число. Например, карточка № 62 имеет на обороте число 3 Таких карточек можно раздать от пятидесяти до ста. Ведущий вызывает ученика, обладающего «феноменальной» памятью, и тот, после провозглашения кем-либо номера своей карточки, записывает на доске число, записанное на ее обороте. Например,

№ 000;

№ 000;

№ 000.

Таким образом можно записать на доске чисел десять. Все удивляются «феноменальной памяти» ученика, пытаются угадать, как он мог запомнить столько чисел.

Секрет прост. Например, карточка № 27. Берем 72 + 11 = 83. Далее, 8 + 3 = 11. Берем число единиц: 83. Далее поступаем также: 3 + 1=4: 8314; 1 + 4 = 5 и т. д.

Заключительная песня

Уже луна глядит в окно.

Уже за окнами темно,

Вопросов больше нет.

Друзья, у нас.

Мы расстаемся, но потом

Мы снова в гости

К вам придем

В урочный этот час...

И кому-то повезет,

А кому-то - нет.

И не нравится вопрос,

И не сходится ответ.

Но все ж...

В урочный день,

В урочный час

Мы снова рады видеть вас,

До встречи, друзья!