Факультативный курс «Решение нестандартных арифметических задач»
При работе на первом этапе были выделены серии задач. Задачи одной серии подчинены определённой цели.
Первая задача серии решается под руководством учителя (чаще всего она более сложная, чем другие задачи серии), она служит для выведения приёма или способа, который помогает решить задачу. На следующих задачах дети упражняются в применении приёма, который они формулировали, и выделяют некоторые ориентиры, помогающие определить, в каких случаях удобно использовать данный способ или приём.
Задачи серии I-II позволяют сформулировать первую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того, чтобы решить задачу, бывает полезно построить к ней рисунок или чертёж. Следует начинать с этой рекомендации, так как ученики уже делали такой вывод при решении стандартных задач. Но в данном случае должны быть выделены некоторые особенности использования графических изображений.
Во-первых, ответ, а в некоторых случаях часть неизвестных могут быть получены только из чертежа без выполнения арифметических действий.
Во- вторых, иногда нужно будет делать дополнительные построения, т. е. в процессе решения задачи будут выполнены новые чертежи с учетом найденных чисел. Чертёж будет использоваться также при применении других приёмов нестандартных задач.
Серия I. (2 занятия)
Задача 1. Бревно длиной 12 м распилили на 6 равных частей. Сколько распилов?
После чтения задачи учениками предлагается ответить на вопрос, решали ли они задачи такого вида и известен ли им способ решения таких задач.
Возможно, некоторые ученики ошибочно будут считать, что знают, как решить задачу: «Надо 12 м разделить на 6 равных частей». Учитель должен дать учащимся возможность найти результат, оценить и убедиться в ошибке. (Разделив 12 на 6, мы узнали, что длина одной части равна 2 м, но в задаче спрашивается не какова длина одной части, а, сколько сделали распилов, следовательно, задача решена неправильно.) Затем ученики могут вновь прийти к ошибочному заключению: «Сколько частей, столько и распилов». Учитель предлагает проверить найденный ответ, сделав условный рисунок или чертёж. Ученики обозначают бревно прямоугольником или отрезками длиною 12 клеток, делят его вертикальными засечками на 6 равных частей. Подсчитав число полученных засечек (распилов), они убеждаются, что их 5, а не 6, как они считали раньше. Эту задачу решили, не выполняя арифметических действий. Ответ получили, построив чертёж (рисунок). Под ним ученики записывают ответ задачи.
Таким образом, учащиеся приходят к выводу: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертёж (рисунок), так как работа с чертежом (рисунком) может являться способом решения задачи.
Решение нижеследующих задач будет способствовать подтверждению вывода, сделанного при поиске решения первой задачи.
Учитель ставит перед учащимися следующую учебную задачу: научиться решать арифметические задачи с помощью построения графических изображений.
Задача 2. Лестница состоит из 9 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы оказаться на середине лестнице. (На пятую ступеньку).
Задача 3. Миша и Петя встретились в вагоне электропоезда. Миша всегда садится в пятый вагон от начала поезда, а Петя в пятый от конца поезда. Сколько вагонов в поезде? (9 вагонов).
Задача 4. Вдоль одной стороны огорода надо поставить изгородь. Длина огорода 10 м. Сколько потребуется столбов, чтобы поставить их по длине огорода на расстоянии 2 м друг от друга? (6 столбов).
Задача 5. 3 одинаковые ватрушки надо разделить поровну между 4 детьми. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов (2 ватрушки разрезать пополам, а третью – на 4 равные части).
Задача 6. гуляя по улице, Ваня за некоторое время насчитал, что красный свет светофора загорался 10 раз. Сколько раз за это время, т. е. между первым и последним зажиганиями красного света, загорался зелёный свет и сколько раз жёлтый? (9 раз жёлтый и 9 раз – зелёный).
Задача 7. Трёхметровый брусок надо разрезать на полуметровые. Сколько разрезов надо сделать? (5 разрезов).
Задача 8. Есть 5 обрывков цепи, в каждом из которых 3 кольца. Как соединить их в 1 цепь, расклепав и заклепав лишь 3 кольца? (Расковать 1 обрывок и 3 получившимися кольцами соединить 4 обрывка).
Задача 9. У каждого марсианина по 3 руки. Десять марсиан построились в шеренгу, и каждый взял соседа за руку. Сколько рук осталось свободными? (12 рук).
Задача 10. Колесо имеет 18 спиц. Сколько промежутков между спицами?
(18 промежутков).
Задача 11. «Вот вам 3 таблетки, - сказал доктор, - Принимайте по 1 таблетке через каждые 2 часа». Через сколько часов будет принята последняя таблетка? (4 часа)
Задача 12. Пять школьников сделали к празднику 5 гирлянд. Эти гирлянды нужно соединить вместе. В скольких местах нужно склеить гирлянду, чтобы получилась 1 гирлянда? (В 4 местах).
Серия II. (1 занятие)
Решая следующие задачи, можно подвести учащихся к мысли о том, что в некоторых случаях часть данных целесообразно найти с помощью графических изображений (рисунков, чертежей), а часть – с помощью арифметических действий.
Задача 1 .Ширина занавески для окна равна 1м 20см. Надо пришить 6 колец на одинаковом расстоянии друг от друга (первое и последнее кольца должны располагаться по краям занавески). Сколько сантиметров надо оставлять между кольцами?
Следуя ранее введённой рекомендации, ученики начинают делать схематический чертёж к данной задаче. Они показывают засечкой первое кольцо, откладывают отрезок любой выбранной длины, ставят вторую засечку, откладываю отрезок такой же длины, как первый, ставят третью засечку и так действуют до тех пор, пока не поставят 6 засечек. По полученному схематическому чертежу подсчитывают число равных частей, на которые 6 колец разделят занавеску.
Для того чтобы ответить на вопрос задачи, остаётся разделить всю ширину занавески на 5 равных частей: 120:5=24(см).
Такая же идея используется учениками и при самостоятельном решении следующих задач этой серии.
Задача 2. Вдоль беговой дорожки через одинаковое расстояние вкопаны столбы. Старт дан у 1-го столба. Через 12 минут бегун был у 4-го столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у 7-го столба, если он бежит с одинаковой скоростью? (через 24 минуты).
Задача 3. Имеются брёвна длиной 4м и 5м одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 минуту. Надо напилить 60 брёвен длиной 1м. Можно пилить только 4-метровые или только 5-метровые брёвна.
Какие брёвна надо пилить, чтобы задачу закончить раньше? Сколько времени тогда можно сэкономить? (Надо пилить 4-метровые брёвна, можно сэкономить 3 минуты).
Задача 4. Мальчик помогал отцу пилить дрова. Каждое бревно они распилили на 5 частей. Один распил занимал у них 3 минуты. Сколько времени им потребовалось, чтобы распилить 4 таких бревна? (48 минут).
Задача 5. Вдоль прямой дороги на расстоянии в 150м поставили 51 столб. Столбы поставили на равном расстоянии. Каком? (30м).
Задача 6. Маша живёт на 11 этаже. Чтобы попасть на каждый следующий этаж, надо преодолеть 4 ступеньки, а затем ещё 2 раза по 3 ступеньки. Сколько всего ступенек надо преодолеть Маше, чтобы попасть домой? (10 ступенек)
Серия III. (1 занятие)
Следует также показать учащимся, что иногда в процессе решения задачи нужно делать дополнительные построения или перестраивать чертежи с учётом найденных чисел. Это можно сделать при решении следующей задачи.
Задача 1. Муравей находится на дне колодца глубиной 30м. За день он поднимается на 18м, а за ночь сползает вниз на 12м. Сколько дней нужно муравью, чтобы выбраться из колодца?
Самостоятельно решая эту задачу, учащиеся могут сделать следующий чертеж и неверно решить задачу:
1)
18-12=6 (м) – поднимается муравей за сутки.
18:6=5 (сут.) – потребуется муравью, чтобы выбраться из колодца.
Учитель предлагает:
а) проверить решение, показав на отдельных чертежах положение муравья в каждый день;
б) в ходе решения подсчитывать, сколько метров остаётся муравью, чтобы выбраться из колодца.
1-й день 2-й день 3-й день
24
м м м м м м
6
м 12
6 6 м
м м
Таким образом, ученики видят, что в третий день муравей поднимается на 18м и выберется из колодца. Значит, сначала они решили задачу неправильно. А найти верный ответ им помогло последовательное построение нескольких чертежей, отражающих те изменения, которые происходили в реальной ситуации, описываемой в задаче.
В следующих задачах закрепляется выделенный приём решения.
Задача 2. Дети едут на экскурсию в трёх автобусах. Во второй автобус село на 5 человек больше, чем в первый, а в третий – на 7человек меньше, чем во второй. Сколько детей из второго автобуса должно пересесть, чтобы в каждом автобусе детей стало поровну? (В I автобус – 1 человек, в III автобус – 3 человека).
Задача 3. 10 слив имеют такую же массу, как 3 яблока и 1 груша, а 2 сливы и 1 яблоко как 1 груша. Сколько слив надо, взять, чтобы их масса была равна массе 1 груши? (4 сливы).
Задача 4. По вертикальному столбу высотой 6 м движется улитка. За день она поднимается на 4м, а за ночь опускается на 3м. Сколько дней ей потребуется, чтобы добраться до вершины? (Через 3 дня).
Задача 5. На одной чашке весов 5 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на одной чашке – 4 таких же яблока и 4 такие же груши. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?
Задача 6. Три черепахи – Анди, Банди и Канди – соревнуются в беге на дистанцию 30м. Они стартовали одновременно. Когда Анди финишировала, Банди оставалось до финиша 10 м, а Канди была на 4м впереди Банди. На каком расстоянии от финиша будет Банди, когда Канди закончит дистанцию? (5м).
Серия IV (3 занятия)
Задачи серии IV позволяют вывести следующую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того чтобы решить задачу, бывает нужно ввести вспомогательный элемент (часть).
Задача 1. Разложи 45 шариков в 4 коробки так, что если число шариков в третьей коробке увеличить в 2 раза, а в четвёртой уменьшить в 2 раза, а в первой и во второй оставить без изменения, то в каждой коробке будет одинаковое число шаров.
Сначала учащиеся выполняют первый схематический чертёж:
45 45
Рис.3 Рис.4
Анализируя чертёж, ученики замечают, что на нём есть отрезки одинаковой длины, но не все. Учитель предлагает дорисовать чертёж, чтобы все отрезки состояли из одинаковых частей (рис.4). Затем сообщает, что в таких случаях можно ввести вспомогательный элемент - часть. Примем число шариков в третьей коробке за 1 часть, тогда число шариков в четвёртой коробке составит 4 части, в первой – 2 части, во второй – 2 части. Затем выполняется арифметическое решение:
1) 2+2+1+4=9 (ч.) – составляют 45 шариков.
2) 45: 9=5 (ш.) – содержаться в 1 части или число шариков в третьей коробке.
3) 5*2=10 (ш.) – в первой и второй коробке.
4) 5*4=20 (ш.) – в четвёртой коробке.
В процессе поиска решения данной задачи использовали несколько приёмов:
- стоили и достраивали чертёж,
- вводили вспомогательный элемент.
Его удобно вести, когда на чертеже получены отрезки одинаковой длины.
В следующих задачах ученики будут упражняться в решении задач с помощью введения вспомогательного элемента.
Задача 2. Верёвку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого. Чему равна длина верёвки, если один кусок длиннее другого на 18 см? (30см)
Задача 3. Одного крестьянина спросили, сколько у него денег. Он ответил: «Мой брат втрое богаче меня, отец второе богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех у нас ровно 100.000 рублей. Узнайте, сколько у меня денег.
(2500 рублей)
Задача 4. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит в 4 раза дороже собаки и в 4 раза дешевле лошади. Он взял 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почём? (Собака – 8 рублей, корова – 32 рубля, лошадь – 128 рублей.)
Задача 5. Когда из гаража выехали 18 машин, в нём осталось в 3 раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже? (54 машины.)
Задача 6. Торговка, сидя на рынке, соображала: «Если к моим яблокам прибавить половину их, да ещё десяток, то у меня была бы целая сотня». Сколько яблок у неё было? (60 яблок.)
Задача 7. У Игоря по русскому языку в 2 раза больше четвёрок, чем – пятёрок. Сколько всего у него четвёрок и сколько пятёрок, если всего 9 оценок?
Задача 8. За 2500 рублей школьнику купили сапоги, шапку и свитер. Сапоги стоили 700 рублей, а за свитер заплатили в 5 раз больше, чем за шапку. Сколько стоит свитер?
Задача 9. Иван поймал за 5 дней – 512 мух. Каждый день он ловил столько же мух, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал Иван в каждый из 5 дней?
Задача 10. Мальчик читал книгу « Дети капитана Гранта», причём первые два дня он прочитывал в 3 раза больше, чем в третий и четвёртые дни. В пятый день прочитал 75 страниц. Сколько страниц он прочитывал всего за первые 2 дня, если после пяти дней чтения осталось прочитать 41 страницу из 620 в книге?
Задача 11. Мальчик читал книгу про Гарри Поттера, причём два дня но прочитал в 2 раза больше, чем в III и IV дни. Сколько страниц он прочитал всего за 2 дня, если после 4 дней чтения осталось прочитать 85 страниц из 520 страниц в книге? (290 страниц.)
Задача 12. На вопрос, сколько ему лет, дедушка ответил так: « Если проживу ещё половину того, что прожил, и ещё 1 год то будет ровно 100. сколько лет прожил дедушка? (66 лет.)
Задача 13. Ваня купил 15 тетрадей. Тетрадей в клетку в 4 раза больше, чем в линейку. Сколько было тетрадей в клетку и сколько в линейку? (12 тетрадей в клетку и 3 тетради в линейку.)
Задача 14. Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке? (7 лет внучке, 84 года дедушке)
Задача 15. Внуку столько же месяцев, сколько лет бабушке. Бабушке с внуком вместе 52 года. Сколько лет бабушке и сколько лет внук? (4 года внуку, 48 лет бабушке.)
Задача 16. Говорил дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи? (10 орехов и 120 орехов.)
Задача 17. Николай с сыном и Иван с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Иван – втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 35. рыб. Сколько рыб поймал Иван, и как звали его сына? (Иван поймал 21 рыбу, а его сына звали Николай.)
Задача 18. В зоопарке Санкт – Петербурга жили 3 кенгуру: Лиззи, Дженни и Бином. А потом родился крошка Ру. Сейчас это семейство съедает 28 кг моркови в неделю, причём Ру съедает ровно вдвое меньше, чем любой из старших кенгуру. Сколько моркови в неделю съедало это семейство до рождения Ру? (24 кг.)
Серия V. (3 занятия)
В задачах серии V вводится ещё одна рекомендация для учащихся при решении нестандартных задач: в поиске ответа на вопрос задачи можно использовать способ подбора.
Задача 1. Сумма четырёх различных чисел равна 13. наименьшее из этих чисел на 5 меньше наибольшего. Найти эти числа. Сначала ученики выполняют чертёж:
13
5
Затем учащиеся пытаются преобразовать чертёж, чтобы получить одинаковые числа, как они делали в предыдущих задачах. Ученики приходят к выводу, что этого сделать нельзя, так как в условии ничего не говорится о числовых отношениях между вторым и третьим числом. Встаёт проблема: можно ли решить эту задачу? Может быть, в ней не хватает данных? Учитель предлагает использовать для решения этой задачи способ подбора.
Рассуждение удобнее начать с наименьшего из чисел.
- Попробуем число 0. Тогда получаем: 0 + + +5 = 13.
Подберём пропущенные числа. Эти числа должны быть разными и быть больше 0, но меньше 5. Между 0 и 5 идут числа 1, 2, 3, 4. Среди них нельзя выбрать два разных числа, дающих в сумме 8. Значит, число 0 не подходит.
- Попробуем число 1. Тогда получаем: 1 + + +6 = 13.
Подбираем пропущенные числа. Их сумма равна: 13 – 1 – 6 = 6. между числами 1 и 6 стоят числа 2, 3, 4, 5. Среди них выбираем два, дающих в сумме 6. это числа 2 и 4. проверяем: 1 + 2 + 4 +6 = 13. получим сумму, данную в задаче. Другие условия также соблюдены: числа различные, наименьшее из этих чисел 1, она на 5 меньше наибольшего числа 6. получив один ответ, нужно проверить, нет ли других вариантов. Для этого пробуем число 2. тогда получаем: 2+ + + 7 = 13. подбираем пропущенные числа. Их сумма равна 4. среди чисел 3, 4, 5, 6 нельзя выбрать два числа дающих в сумме 4 (сумма любых двух перечисленных чисел больше 4). Можно проверить число 3 таким же образом.
Получаем ответ задачи: числа 1, 2, 4, 6.
В итоге важно подчеркнуть, что задачу решили, подбирая нужные числа. Делали это так: последовательно рассматривали различные возможные варианты и выбирали те, которые соответствуют всем условиям задачи. Чертёж помогал выделить эти условия из текста. В некоторых случаях перебор удобно начать не с наименьшего, а с наибольшего возможного числа. Иногда, оценив полученный результат, можно пропустить некоторые числа. Этот способ удобно использовать, когда число возможных вариантов небольшое.
При решении следующих задач ученики упражняются в применении способа подбора.
Задача 2. Сумма трёх разных двузначных чисел равна 34. Какие это числа? (10,11,13).
Задача 3. Трое ребят были на рыбалке. Вместе они поймали 14 рыб. Андрей поймал меньше всех рыб. Дима поймал в 3 раза больше, чем Вова. Сколько рыб поймал каждый мальчик? (Вова поймал 3 рыбы, Дима – 9 рыб, Андрей – 2 рыбы.)
Задача 4. Внучке, маме и бабушке вместе 114 лет. Сколько лет в отдельности внучке, маме и бабушке, если возраст каждой выражается двухзначными числами, оканчивающимся одной и той же цифрой? (Внучке 18, маме 38 лет, бабушке 58 лет.)
Задача 5. У Миши есть друзья в Чехии и в США. Почтовая марка для отправления открытки в Чехию стоит 14 рублей, а в США –22 рубля. Сколько друзей поздравит Миша с Новым годом, если его почтовые расходы составили 114 рублей? (7 друзей: 5 – в Чехии, и 2 – в США.)
Задача 6. Обложка стоит 4 рубля, а тетрадь 16 рублей. Маша купила обложек в 3 раза больше, чем тетрадей. Сколько обложек и тетрадей она купила, если всего потратила 56 рублей? (2 тетради и 6 обложек.)
Задача 7. У Кати подруги в Англии и в Индии. Почтовая марка для отправки в Англию стоит 7 рублей, а в Индию – 11 рублей. Сколько подруг поздравила Катя, если почтовые расходы составили 57 рублей? (7 подруг: 5 - в Англии и 2 - в Индии.)
Задача 8. Кекс стоит 5 рублей, а шоколадка 18 рублей. Папа купил кексов в 3 раза больше, чем шоколадок. Сколько кексов он купил, если вся покупка стоила 66 рублей? (6 рублей.)
Задача 9. Кенгуру купил конфеты трёх видов: большие, маленькие и средние. Каждая большая конфета стоит 4 монеты, средняя – 2 монеты и маленькая – 1 монету. За 10 конфет кенгуру заплатила 16 монет. Сколько больших конфет он купил?
Задача 10. Рыбак поймал рыбу. Он сказал, что хвост рыбы весит 1 кг, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост вместе. Сколько кг весит эта рыбы? (8 кг.)
Задача 11. Гавиал, кашалот и пеликан съели 31 рыбу. Кашалот съел рыб во столько раз больше, чем пеликан, во сколько пеликан больше гавиала. Сколько рыб съел гавиал? (1 рыбу.)
Задача 12. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович вступили в бой с великанами. Каждый великан получил по 3 удара богатырскими палицами, и пустились в бегство. Больше всего ударов нанёс Илья Муромец – 7, меньше всего Алёша Попович – 3. Сколько всего было великанов? Сколько ударов нанёс Добрыня Никитич? (5 великанов, 5 Ударов.)
Задача 13. Красная шапочка несла бабушке 14 пирожков с мясом, грибами и капустой. Пирожков с капустой наибольшее количество. Причём их в 2 раза больше, чем с мясом. А пирожков с мясом меньше, чем с грибами. Сколько пирожков с грибами. (5 пирожков.)
Задача 14. На школьной олимпиаде по математике участникам было предложено решить 6 задач. За каждую решённую задачу засчитывалось по 7 очков, а за каждую нерешённую списывалось 3 очка. Сколько задач решил участник, если он набрал 32 очка? (5 задач.)
Задача 15. Дочери 8 лет, а матери 38. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери? (Через 7 лет.)
Задача 16. Возраст дедушки выражается наименьшим трёхзначным числом, которое записывается различными цифрами. Сколько лет дедушке? (102 года.)
Задача 17. Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 части. Всего стало 15 листов. Сколько листов бумаги разрезали? (3 листа.)
Задача 18. Разместите 8 козлят и 9 гусей в 5 хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.
Серия VI. (1 занятие)
В задачах серии VI выводится следующая рекомендация при решении нестандартных задач: полезно переформулировать задачу, т. е. сказать её другими словами, чтобы она стала знакомой и понятной. При этом в большинстве случаев будет происходить перевод задачи на язык математики.
Задача 1. Число яблок в корзине двухзначное. Эти яблоки можно раздать поровну 2, 3 или 5 детям, но нельзя раздать поровну 4 детям. Сколько яблок в корзине (Укажите такое наименьшее двухзначное число).
Сначала ученики пытаются сделать рисунок или чертёж к задаче, но испытывают затруднения, так как на чертеже трудно показать, что нельзя раздать яблоки поровну 4 детям, следовательно, непонятно, как использовать чертёж для решения задачи. Тогда ученики начинают применять способ подбора. Учитель предлагает сначала изменить формулировку задачи, чтобы легче было выполнить перебор. Выясняется, что если яблоки можно раздать поровну 2, 3 и 5 детям, значит, число яблок делится на 2, 3 и 5. если яблоки нельзя раздать 4 детям поровну, значит, число яблок не делится на 4. задачу переформулируем следующим образом: «Найти наименьшее двузначное число, которое делится на 2, 3 и 5 и не делится на 4.
Далее выполняется перебор. Ученики проверяют наименьшее двузначное число 10. оно делится на 2 и 5, но не делится на 3, значит, число 10 не подходит. Перебор можно сократить, не рассматривать все числа подряд, а проверять только числа, делящиеся на 5. Число 15 не подходит, так как не делится на 2. Так ученики доходят до числа 30, которое делится на 2, 3, 5 и не делится на 4. Значит, в корзине 30 яблок.
В следующих задачах используется приём переформулирования задачи, а затем они решаются известными учащимся способами.
Задача 2. если конфета раскладывать по 2, 3, 4, то всегда остаётся 1 лишняя конфета. А если их раскладывать по 5, то лишних конфет нет. Сколько конфет, если их меньше 50? (25 конфет.)
Задача 3. В детском саду 100 детей. Для каждого ребёнка купили альбом, краски и кисточку. Продавец выписал чек на 3750 рублей. Докажите, сто при подсчёте общей стоимости покупки допущена ошибка, если цены предметов выражались целым числом рублей. (число должно делится на 100.)
Задача 4. Если школьник купит 11 тетрадей, то у него останется 5 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватает 7 рублей. Сколько денег у школьникарублей. )
Задача 5. Четверо девочек выбирали водящую с помощью считалки. Тот, на кого падало последнее слово, выходил из круга, и счёт повторялся вновь. Считающая девочка каждый круг начинала с себя и в результате стала водящей, причём счёт каждый раз кончался перед ней. Какое наименьшее число слов могло быть в считалке? (12 слов.)
Задача 6. Нильс летел в стае на спине гуся Мартина. Он обратил внимание, что построение стаи напоминают треугольник: впереди вожак, затем 2 гуся, в третьем ряду 3 гуся и т. д..
Стая остановилась на ночлег на льдине. Нильс увидел, что расположение гусей на этот раз напоминает квадрат, состоящий из рядов, в каждом ряду одинаковое количество гусей, причём число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Гусей в стае меньше 50. Сколько гусей в стае? (36 гусей.)
Серия VII. (2 занятия).
В задачах серии VII выводится следующая рекомендация при решении нестандартных задач; условие или вопрос задачи можно разделить на части и решить задачу по частям.
Задача 1. В два автобуса сели 123 экскурсанта. Затем из одного автобуса вышли 8 человек. Трое из них сели в другой автобус, а остальные поехали на машине. После этого в автобусах стало пассажиров поровну. Сколько пассажиров было в каждом автобусе сначала?
По усвоенной первой рекомендации ученики вначале делают к задаче чертеж.
Учитель предлагает решать эту задачу, разбив ее на части, чтобы облегчить решение. Ученики читают первые три предложения из текста задачи и думают, что по этим данным можно узнать?
1) 8-3=5 (ч.) – поехали на машине;
2) 123-5=118 (ч.) – остались в автобусах;
3) 118:2=59 (ч.) – стало в каждом автобусе.
Чтобы легче было сформировать последнюю часть задачи, можно переделать чертеж с учетом найденных данных. Ученики формулируют : «Из одного автобуса вышли 8 человек, и в нем стало 59 человек. Сколько человек было в каждом автобусе сначала?» - и заканчивают решение :
4) 59+8=67 (ч.) – было в I автобусе.
5) 59-3=56 (ч.) – было во II автобусе.
Иногда полезно разделить на части не условие, а вопрос задачи. Так можно поступить при решении следующей задачи.
Задачаручек стоят на 30 рублей больше, чем 30 карандашей. Те же 18 ручек стоят на 10 рублей больше, чем 40 таких же карандашей. Сколько стоит 1 карандаш и 1 ручка?
Сначала ученики выполняют к задаче чертеж.
18 ручек
30 карандашей
40 карандашей
Затем, используя чертеж, отвечают сначала на первый вопрос : «Сколько стоит 1 карандаш?»
1) 40-30=10 (шт.) – разница в количестве карандашей.
2) 30-10=20 (р.) – стоят 10 карандашей.
3) 20:10=2 (р.) – стоит 1 карандашей.
После этого можно ответить на второй вопрос : «Сколько стоит 1 ручка?»
4) 2·30=60 (р.) – стоят 30 карандашей.
5) 60+30=90 (р.) – стоят 18 ручек.
6) 90:18=5 (р.) – стоит 1 ручка.
Данный прием используется в задачах с большим числом разных объектов или действий
с ними, с несколькими вопросами.
В следующих задачах также можно использовать прием разбиения задачи на части.
Задача 3. На двух кустах сидели 16 воробьев. Со II куста улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было вначале на каждом кусте?
Задача 4. У Ивана и Петра вместе 980 рублей, у Ивана и Никиты вместе 930 рублей, у Петра и Никиты вместе 890 рублей. Сколько денег у каждого?. (У Ивана – 510 рублей, у Петра – 470 рублей, у Никиты – 420 рублей).
Задача 5. У Андрея и Бори вместе 11 орехов, у Андрея и Вовы – 12 орехов, у Бори и Вовы – 13 орехов. Сколько орехов у Андрея, Бори и Вовы вместе?
Задача 6. Боря купил 4 книги. Все книги без первой стоят 42 рубля, без второй – 40 рублей, без третьей – 48 рублей, без четвертой -38 рублей. Сколько стоила каждая книга?
( І книга – 14 рублей, ІІ книга – 16 рублей, ІІІ книга – 8 рублей, ІV книга – 18 рублей).
Задача 7. В двух коробках 84 конфеты. Когда из первой коробки взяли 44 конфеты, а из второй – 30 конфет, то в каждой из коробок осталось конфет поровну. Сколько конфет было в коробке сначала?
(В I коробке – 49 конфет, во II коробке – 35 конфет).
Задача 8. Три подружки договорились купить к праздничному столу 12 пирожных. Первая купила 5 штук, вторая – 7, а третья вместо своей доли пирожных внесла 12 рублей. Как подружки должны разделить между собой эти деньги, если все пирожные были по одинаковой цене?
(3 рубля и 9 рублей).
Задачапирожных стоят на 30 рублей дороже, чем 40 булочек. Эти же 30 пирожных на 21 рубль дороже, чем 50 таких же булочек. Сколько стоит 1 булочка и 1 пирожное?
(Булочка стоит 90 копеек, а пирожное – 2 рубля 20 копеек).
Задача 10. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и блюдца.
(Чашка стоит 13 рублей, а блюдце - 12 рублей).
Задача 11. 3 цыпленка и 2 гусенка стоят 99 рублей, а 5 цыплят и 4 гусёнка стоят 183 рубля. Сколько стоит 1 гусёнок и 1 цыплёнок в отдельности. (15 рублей стоит 1 цыплёнок, 27 рублей –1 гусёнок.)
Задача 12. Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчёте он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан? (4 рубля 80 копеек)
Серия VIII. (2 занятия).
С помощью задач Серии VIII можно вывести следующую рекомендацию при решении нестандартных задач: решать задачу можно, начиная «с конца».
Задача 1. Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший сын, съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний сын, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее встал младший сын. Он съел также третью часть слив. После этого на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать утром положила на тарелку?
Ученики выполняют чертеж.
Учитель предлагает начать решать задачу «с конца», так как известно, сколько слив осталось в конце, когда три брата съели сливы. Из чертежа видно, что 8 слив - это 2/3 всех слив, которые были в тарелке, когда встал младший сын. Найдем, сколько слив было в тарелке, когда встал младший сын: 8:2·3=12 (с.). Подпишем это на чертеже на втором отрезке. Из чертежа видим, что 12 слив - это 2/3 всех слив, которые были на тарелке, когда встал средний сын. Найдем, сколько слив было в тарелке, когда встал средний сын : 12: 2· 3=18 (с.). Подпишем это на первом отрезке. Видим, что 18 слив - это 2/3 всех слив, которые мать оставила на тарелке. Найдем, сколько слив было в тарелке: 18: 2 ·3 = 27 (с.).
Делается вывод о том, что, решая «с конца», последовательно пришли к тому, что было в самом начале. Прием используется, когда в задаче известно число, полученное в конце выполнения каких-либо действий.
В следующих задачах ученики упражняются в решении задач «с конца».
Задача 2. Мальчик задумал число. Умножил его на 3, из полученного произведения вычел 10, затем к результату прибавил 16. У него получилось 21. Какое число задумал мальчик? (5).
Задача 3. Девочка начертила 4 отрезка.
Каждый следующий отрезок она делала на 2 см длиннее предыдущего. Найди длину первого отрезка, если длина четвертого отрезка равна 12 см. (6см.).
Задача 4. У моста через речку встретились лодырь и волшебник. Лодырь стал жаловаться на свою бедность. В ответ волшебник предложил : «Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, деньги у тебя удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь мне отдать 24 копейки. Согласен?» Три раза переходил лодырь по мосту. А когда посмотрел в кошелек, там ничего не осталось. Сколько денег было у лодыря? (21 копейка).
Задача 5. Полбуханки стоит на полрубля дороже, чем четвертинка. Сколько стоит буханка?
Задача 6. Женщина продавала яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще пол-яйца, вторая купила половину оставшихся яиц и еще пол-яйца, а третья купила одно последнее яйцо. Сколько яиц принесла на продажу женщина? (7 яиц).
Задача 7. Мать поручила детям разложить пакет конфет так, чтобы на завтра к обеду дл гостей была оставлена половина всех конфет и еще 3 конфеты, к завтраку для всей семьи - половина оставшихся конфет и еще 3 штуки, и к вечернему чаю - половина оставшихся конфет и еще 3 штуки. Дети разложили конфеты в 3 вазы так, как велела мама и у них осталось 4 конфеты, которые им разрешили съесть самим. Сколько конфет было в пакете? (74 конфеты).
Задача 8. Ваня задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 9, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Ваня? (40).
Задача 9. Крестьянин попросил взять у царя 1 яблоко из его сада. Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сод огорожен тройным забором, причем каждый забор имеет одни ворота, вход в которые охраняет сторож. Подошел крестьянин к первому сторожу и говорит: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». На что сторож ему сказал: «Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что возьмешь, и еще одно». Эти же слова повторили крестьянину 2 и 3 сторожа, охранявшие другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко? (22 яблока).
Задача 10. Малыш и Карлсон сидели на крыше и наблюдали за голубями. На крыше сидело несколько голубей. Когда на крышу село еще 15 голубей, а улеголубей, то на крыше осталось 16 голубей. Сколько голубей первоначально наблюдали Малыш и Карлсон? (19 голубей).
Задача 11. Мальчик принес из лесу орехи. Половину орехов он отдал сестре, а половину оставшихся - брату. После этого у него осталось 20 орехов. Сколько орехов мальчик принес из леса?
Задача 12. Два ковша - это половина ведерка, а 3 чашки - это половина ковша. Сколько чашек в 2 ведерках?
Сформулированные рекомендации по решению нестандартных задач объединяются в следующей памятке.
Памятка.
Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:
1) сделать к задаче рисунок или чертеж;
подумай, может быть нужно сделать для них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи.
2) ввести вспомогательный элемент (часть);
3) использовать для решения задачи способ подбора;
4) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала понятной и знакомой;
5) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;
6) начать решение задачи «с конца».
Важно объяснить детям, что данные указания носят рекомендательный характер. Необязательно применять их в той последовательности, как они записаны в памятке, необязательно выполнять все рекомендации при решении одной задачи, можно комбинировать их в разных сочетаниях. В этом суть творческого процесса решения нестандартных задач. Можно показать это учащимся при совместном решении нескольких задач. (2 занятия).
Задача 1. В семье 12 детей. Они собрали в лесу 70 орехов. Половину всех орехов мама разделила дочерям поровну. Остальные она отдала сыновьям, которые разделили их между собой также поровну. Каждый мальчик получил на 2 ореха больше, чем каждая девочка. Сколько у мамы дочерей и сколько сыновей?
Сначала можно выделить следующую часть условия: «Собрали в лесу 70 орехов. Половину всех орехов мама разделила дочерям, остальные - сыновьям. Отсюда узнаем, что все дочери получили: 70:2=35 (ор.) и сыновья также получили 35 орехов.
Затем выделяется вторая часть условия: «В семье 12 детей. Все дочери получили 35 орехов. И все сыновья получили 35 орехов. Мальчики и девочки разделили орехи поровну». Отсюда заключаем, что число сыновей и число дочерей - это числа, которые в сумме делают число 12 и число 35 делится на каждое из них без остатка. Таким образом, мы переформулировали условие, сказали его другими словами. Теперь будем использовать способ подбора. Число 35 делится на 5, 7, 1, 35. Подходят числа 5 и 7, так как их сумма равна 12.
Остается решить, кого было 5 - сыновей или дочерей? Используем последнюю часть условия: «Каждый мальчик получил на 2 ореха больше, чем каждая девочка». Все девочки получили 35 орехов, если каждому мальчику досталось орехов больше, значит, мальчиков меньше, чем девочек. Получаем ответ: в семье 5 сыновей и 7 дочерей.
Задача 2. В магазине расфасовали картофель в 16 пакетов по 5 кг и по 3 кг. Масса всех пакетов по 5 кг оказалась равной массе всех пакетов по 3 кг. Сколько было пакетов по 5 кг и сколько - по 3 кг? (6 пакетов по 5 кг и 10 пакетов по 3 кг).
Задача 3. Мама испекла пирожки. Утром она съела 1 пирожок, а половину всех оставшихся пирожков положила в корзинку Красной Шапочке, чтобы она их отнесла бабушке. По дороге Красная Шапочка съела 2 пирожка и третью часть отдала Волку. Бабушке Красная Шапочка принесла 8 пирожков. Сколько пирожков испекла мама? (29 пирожков).
Задача 4. Периметр треугольника равен 18 см. Первая сторона на 4 см короче второй, а вторая на 1 см короче третьей. Найди длину каждой стороны треугольника, если длины выражаются целым числом см. (3 см, 7 см, 8 см).
Задача 5. У двух мальчиков было вместе 8 груш. Когда один мальчик съел 1 грушу, а другой - 3 груши, груш у каждого стало поровну. Сколько груш было у каждого мальчика?
Задача 6. Хозяин нанял работника на таких условиях : за каждый отработанный день он платил ему 48 монет, а за каждый прогул штрафует на 12 монет. Через 30 дней оказалось, что работнику не причитается ни одной монеты. Сколько дней работник работал в течении 30 дней? (6 дней).
Задача 7. Мальчик считал камушки, но потом забыл, сколько их было. Помнил только, что когда считал парами, один камушек был лишним; когда считал по 4 - тоже один камушек был лишним. Когда считал по 5 - ни одного лишнего камушка не было. Сколько было камушков, если их больше 10, но меньше 40? (25 камушков).
Задача 8. За несколько одинаковых тетрадей заплатили 51 рубль. Сколько стоит 1 тетрадь, если их больше 10, но меньше 50? Цена тетради выражается целым числом рублей. (3 рубля).
Задача 9. В токарном цехе завода вытачивают детали из металлической заготовки. Из 1 заготовки получается 1 деталь. При изготовлении деталей получаются стружки, которые переплавляют в новые заготовки. Из стружек, полученных при изготовлении 4 деталей, выплавляется 1 новая заготовка. Сколько деталей можно сделать таким образом из 16 заготовок? (21 деталь).
Задача 10. После того как 3 человека съели по одинаковому кусочку торта прямоугольной формы, длина и ширина торта уменьшилась в 2 раза. На сколько еще человек хватит оставшегося торта, если все будут есть такие же кусочки, как и первые 3 человека? (На 1 человека).
Задача 11. На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма возрастов всех играющих составила 80 лет. Все девочки были одногодки. Одинакового возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что суммы числа лет играющих в одной группе и другой стали равными. Какого возраста были играющие? (Возраст каждой девочки - 8 лет, а мальчика - 12 лет).
Задача 12. Для детского сада были закуплены игрушки: зайчики, мишки и слоники - всего 31 игрушка. Зайчиков было в 5 раз больше, чем мишек, а слоников меньше чем зайчиков. Сколько было куплено для детского сада зайчиков, мишек и слоников, если известно, что один зайчик стоил 1 рубль, мишка - 2 рубля, слоник - 3 рубля и за всю покупку было уплачено 38 рублей?
(25 зайчиков, 5 мишек и 1 слоник).
После работы, проведенной на первом этапе, можно перейти ко второму, на котором учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.
Нестандартные задачи используются как во время урока, осуществляя дифференцированный подход при обучении и контроле знаний учащихся, так и на факультативных занятиях по подготовке к олимпиаде по математике.
С этой целью мною разработаны 2 комплекта карточек, состоящих из 20 вариантов, что позволяет проконтролировать умение учащихся логически мыслить, искать нетрадиционные пути решения задачи и проводить индивидуальную работу : консультации, устранение пробелов в знаниях.
Задачи в каждой карточке располагаются от простого к сложному инаправлены на отработку всех изученных способов и общих подходов к решению нестандартных задач.
