Программа по математике

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАЕИКЕ

примерные варианты заданий

для участников “Недели информатики для школьников России”

ОПЕРАЦИИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

1.  Арифметические операции с целыми и рациональными числами,

свойства арифметических операций

2.  Формулы сокращенного умножения

3.  Модуль действительного числа

4.  Операция возведения в степень, операции с радикалами

5.  Многочлены и их свойства, разложение многочленов на множители

6.  Доказательство алгебраических тождеств

7.  Упрощение алгебраических выражений и нахождение их значений

УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ

1.  Рациональные уравнения

2.  Иррациональные уравнения

3.  Уравнения с модулем

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

1.  Системы линейных уравнений, понятие о методе Гаусса

2.  Системы рациональных уравнений

3.  Системы, содержащие иррациональные уравнения и уравнения с модулем

4.  Текстовые задачи на движение и работу

5.  Текстовые задачи на смеси и проценты

НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ

1.  Системы и совокупности неравенств с одним неизвестным

2.  Решение рациональных неравенств методом интервалов

3.  Неравенства с модулем

4.  Иррациональные неравенства

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

1.  Определение и основные свойства функций, область определения и

множество значений функции, обратная функция

2.  Графики функций, преобразования графиков функций

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

1.  Основные свойства показательной и логарифмической функций,

свойства логарифмов, логарифмирование и потенцирование

2.  Тождественные преобразования показательных и логарифмических

выражений

3.  Показательные и логарифмические уравнения

4.  Показательные и логарифмические неравенства

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ

1.  Понятие числовой последовательности

2.  Арифметическая прогрессия

3.  Геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая

прогрессия

4.  Текстовые задачи на прогрессии

ТРИГОНОМЕТРИЯ

1.  Градусная и радианная меры углов. Определение и основные свойства

тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Графики

2.  Формулы тригонометрии (основные тригонометрические тождества,

теоремы сложения, формулы двойного, тройного и половинного аргументов,

формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,

формулы понижения степени, формулы приведения, универсальная

тригонометрическая подстановка)

3.  Тождественные преобразования тригонометрических выражений,

доказательство тригонометрических тождеств

4.  Вычисление значений тригонометрических функций и выражений

5.  Тригонометрические уравнения

6.  Тригонометрические неравенства

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

1.  Линейные и квадратичные уравнения, системы и неравенства, включающие

параметр

2.  Иррациональные уравнения и неравенства с параметром

3.  Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром

4.  Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром

ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ

ОЧНОГО ТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

1 вариант

1.  Упростить . [1]

2.  Вычислить значение выражения [1]

3.  Вычислить [1]

4.  Решить систему уравнений . [1]

5.  Решить неравенство [2]

6.  Вычислить значение, если известно, что [2]

7.  Решить уравнение . [2]

8.  Решить неравенство [2]

9.  В соревновании по спортивному ориентированию участвуют три спортсмена: Павлов, Романов и Семёнов. По условиям соревнования спортсмены должны преодолеть некоторое расстояние от точки A до точки B и вернуться обратно. Первым стартует Павлов, через 15 мин – Романов, ещё через 10 мин – Семёнов. Достигнув точки B и сразу повернув назад, Семёнов встречает Романова в 2 км от B, а Павлова – в 4,4 км от В. На дистанции от A до B имеется некоторая контрольная точка C, которую все спортсмены прошли одновременно. Найти скорость Семёнова, если расстояние между А и В равно 27 км. [3]

10.  Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 4 меньше суммы чле­нов, стоящих на нечетных местах, а сумма всей прогрессии равна 15. Найти эту прогрес­сию. [3]

11.  Упростить [3]

12.  Определить число решений системы уравнений в зависимости от значения параметра . [3]

2 вариант

1.  Упростить [1]

2.  Найти область определения функции . [1]

3.  Решить неравенство [1]

4.  Упростить . [1]

5.  Решить уравнение [2]

6.  Сумма двух первых членов геометрической прогрессии с положительными членами равна 5, а сумма четырех первых членов равна 85. Найти арифметическую прогрессию, разность которой – число, противоположное знаменателю геометрической прогрессии, а сумма пяти членов на 1 меньше суммы пяти членов геометрической прогрессии. [2]

7.  Решить неравенство [2]

8.  Найти область определения функции [2]

9.  Упростить [3]

10.  При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение? [3]

11.  Решить уравнение . [3]

12.  Найти значения b, при которых уравнение имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию. [3]

3 вариант

1.  Упростить [1]

2.  Решить неравенство . [1]

3.  Упростить . [1]

4.  Решить неравенство . [1]

5.  Решить неравенство [2]

6.  Вычислить значение, если известно, что [2]

7.  Решить неравенство [2]

8.  Решить уравнение [2]

9.  Упростить при [3]

10.  Решить уравнение . [3]

11.  Решить уравнение при всех значениях параметра : . [3]

12.  В бассейн проведены шесть труб. Через первые три трубы вода втекает в бассейн, а через три другие вытекает. Если открыты все шесть труб, то бассейн заполняется за 45 минут; если открыты все трубы кроме шестой, то бассейн заполняется за 36 минут; если открыты все трубы кроме четвертой, то бассейн заполняется за 18 минут; если открыты все трубы кроме третьей, то полностью заполненный бассейн опорожняется за 3 часа. За какое время заполнится бассейн, если будут открыты первая, вторая и пятая трубы ? [3]

4 вариант

1.  Найти область определения функции . [1]

2.  Найти , если . [1]

3.  Решить неравенство [1]

4.  Упростить выражение [1]

5.  Решить неравенство [2]

6.  Упростить . [2]

7.  Решить систему уравнений [2]

8.  Решить неравенство . [2]

9.  При каких значениях a система неравенств не имеет решений ? [3]

10.  Имеется два водных раствора азотной кислоты, первый – 20%-ный, второй – 60%-ный. Первая смесь была получена из 15 л первого раствора и некоторого количества второго раствора. Смешав то же самое количество второго раствора с 5 л первого, получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора было использовано для приготовления смесей, если известно, что процентное содержание воды во второй смеси в 2 раза больше процентного содержания кислоты в первой? [3]

11.  Решить уравнение [3]

12.  Упростить . [3]