Решения задач заочного тура
окружной математической олимпиады им. А.А. Леманского.
Осень 2011
8 класс
1. Числа А и В удовлетворяют равенству 
. Найти все возможные значения выражения 
.
Решение:
2А(А-В) + В(А+В) = 2(А2 – В2);
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем
3В2 – АВ = 0;
В(3В – А) = 0;
Возможны два случая:
1) В = 0, А≠ 0.
2) А = 3В, А≠0, В≠ 0
Ответ: 1 или 3
2. Вдоль дороги, вымощенной желтым кирпичом, длиной 37 км стоят несколько домиков (больше одного). Элли едет на льве по дороге со скоростью 15 км/ч. Возле каждого домика они останавливаются и отдыхают одно и то же целое число минут. За ними бежит Тотошка со скоростью 20 км/ч и около каждого домика отдыхает в два раза дольше льва. Вышли и пришли в конечный пункт они одновременно. Сколько домиков у дороги?
Решение:
1 способ:
Лев пробегает 1 километр за 4 минуты, Тотошка пробегает 1 километр за 3 минуты. Всего они пробежали по 37 км., значит, лев был в пути на 37 минут дольше Тотошки. Следовательно, лев отдыхал на 37 минут меньше Тотошки. Но из условия следует, что лев отдыхал в два раза меньше Тотошки. Значит, лев отдыхал ровно 37 минут. Так как он отдыхал около каждого домика целое число минут, то домиков было ровно 37.
2 способ:
Пусть х мин – отдыхал лев у каждого домика, у – количество домиков.
Тогда 2х минут – время отдых Тотошки.
Составим уравнение: 
ху = 
часа = 37 мин
х = 
В условии сказано, что домиков больше одного (у ≠1), а 37 – простое число, то х = 1, у = 37.
Ответ: 37 домиков
3. Назовем число А2 – 1 «квадратом без 1» числа А. Докажите, что произведение «квадратов без 1» двух последовательных натуральных чисел также является «квадратом без 1».
Решение:
Пусть х и х+1 последовательные натуральные числа. Докажем, что (х2 -1)((х+1)2 – 1) = А2 – 1.
Применим формулу разность квадратов (х2 -1)((х+1)2 – 1) = (х – 1)(х+1)(х+1-1)(х+1+1) =
(х-1)(х+1)х(х+2) = (х2-х)(х2+2х+х+2) = (х2-х)(х2 + 3х+2) = х4 + 3х3 + 2х2 - х3 – 3х2 – 2х =
х4 + 2х3 – х2 -2х.
Добавим и вычтем 1.
х4 + 2х3 – х2 -2х +1 -
Преобразуем выражение х4 + 2х3 – х2 -2х +1 = (х4 + 2х3 + х2) – 2х2 -2х +1 =
= (х2 +х)2 -2х(х+1) +1 = х2(х+1)2 -2х(х+1) +1 = (х(х+1))2 -2х(х+1) +1 = (х(х+1) – 1)2 = (х2+х+1)2.
Подставим преобразованное выражение в (1), получим (х2+х+
Получим, что (х2 -1)((х+1)2 – 1) = (х2+х+= А2 -1.
4. По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями едут автомобили «Шкода» и «Вольво». В 18-00 «Вольво» оказался в два раза дальше от перекрестка, чем «Шкода». И в 19-00 «Вольво» был в два раза дальше от перекрестка, чем «Шкода». В какое время «Шкода» могла проехать перекресток?
Решение:
Пусть в 18:00 «Шкода» находилась на расстоянии х, а «Вольво» - на расстоянии у = 2х от перекрестка. s – расстояние, которое проехали автомобили за 1 час.
Если бы в 18:00 «Шкода» и «Вольво» уже проехали перекресток, то в 19:00 они были бы на расстоянии х +s и 2х +s , но 2х + s ≠ 2(х + s).
Аналогично, невозможен случай, что в 19:00 они двигались в сторону перекрестка.
Значит, один из автомобилей пересек перекресток между 18:00 и 19:00.
Это не мог быть «Вольво», т. к. если «Шкода» пересекает перекресток позже, то в 18:00 «Вольво» ближе к перекрестку, чем «Шкода». А если «Шкода» пересекает перекресток раньше, то в 19:00 «Шкода» находится дальше от перекрестка, чем «Вольво».
Значит, между 18:00 и 19:00 «Шкода» пересекла перекресток, а «Вольво» - нет.
Тогда возможны два случая:
1) В 19:00 «Шкода» находилась на расстоянии s- х от перекрестка, а «Вольво» на расстоянии 2х – s (если он двигался в 19:00 к перекрестку).
2х – s = 2(s - х) , т. е. 3s = 4х, s = 
.
2) В 19:00 «Шкода» находилась на расстоянии s- х от перекрестка, а «Вольво» на расстоянии 2х + s (если он двигался в 19:00 от перекрестка).
2х + s = 2(s - х), т. е. s = 4х.
Значит, в 19:00 «Шкода» находилась либо на расстоянии 
, либо на расстоянии 3х от перекрестка. Поэтому, «Шкода» пересекла перекресток либо в 18:45, либо в 18:15.
Ответ: В 18:45 или в 18:15.
5. У капитана Флинта и Джона Сильвера есть 11 пустых сундуков и куча золотых монет. За один ход каждый может о положить в какие-то 10 из них по одной монете. Флинт и Сильвер ходят по очереди. Побеждает и забирает всё золото тот, после чьего хода впервые в одном сундуке окажется 21 монета. Как надо играть Сильверу, чтобы забрать золото?
Решение:
Сильверу надо ходить вторым.
Занумеруем сундуки: 1,2, … , 11. Будем обозначать ход номером того сундука, куда не кладется мотета. Можно считать, что Флинт начал игру ходом 1. Чтобы победить, Сильверу надо, независимо от игры Флинта, сделать ходы 2, 3, …., 11. Этими десятью ходами вместе с первым ходом Флинта в каждый сундук будет положено по 10 монет. Кроме того, найдется сундук (назовем её С), в который Флинт каждым своим ходом со второго по одиннадцатый клал по монете. Тем самым, после одиннадцатого хода Флинта в сундуке С окажется 20 монет, и ни в каком сундуке не окажется больше. Сильвер своим одиннадцатым ходом должен положить монеты так, чтобы в сундук С попала монета. То есть, Сильвер выигрывает.
