Программа междисциплинарного вступительного экзамена в магистратуру по направлению «Математика»

ПРОГРАММА МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ «МАТЕМАТИКА»

1.  Алгебра. Линейная алгебра и геометрия

Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел.

Линейное пространство. Подпространство. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность. Координаты вектора и матрица перехода. Линейные отображения и матрицы, собственные числа и векторы, характеристический многочлен. Вещественное евклидовое пространство. Скалярное произведение векторов и его свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации.

Операции над матрицами. Ранг матрицы. Обратимые матрицы. Определитель квадратной матрицы и его разложение по строке или столбцу.

Системы линейных алгебраических уравнений. Пространство решений однородной системы, его размерность и базис, общее решение. Критерий существования ненулевого решения однородной системы. Неоднородные системы, частное и общее решения.

Многочлены от одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции над многочленами. Корень многочлена, простые и кратные корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Случай многочленов нечетных степеней с вещественными коэффициентами.

Вещественные квадратичные формы. Канонический вид. Определенные и неопределенные квадратичные формы. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.

Вопросы к экзамену:

1.  Критерий обратимости матрицы и формула для обратной матрицы.

2.  Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

3.  Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

4.  Разложение многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами. Формулы Виета.

5.  Закон инерции вещественных квадратичных форм.

6.  Собственные числа и собственные векторы матрицы и их свойства

7.  Теорема Гамильтона – Кели.

2.  Математический анализ.

Действительные числа. Аксиоматика множества действительных чисел. Последовательность в Rn, n≥1, ограниченные и неограниченные последовательности в Rn. Предел, частичный предел, предел последовательности в Rn. Их существование и свойства. Сходящиеся и расходящиеся последовательности в R1. Верхний, нижний предел последовательности в R1. Теорема о пределе монотонной последовательности. Способы вычисления пределов последовательности в R1 и в Rn, n≥2. Примеры вычисления пределов последовательности .

Функция f: Rn →Y(R). Понятие инъективной, сюръективной, биективной функции. Определение предела функции в точке на языке «ε-N» и языке последовательностей (теорема Гейне). Определение непрерывной в точке функции на языке «ε-N» и языке пределов. Локальные свойства функции, имеющих в точке конечный предел: единственность предела, локальная ограниченность. Определение непрерывной на множестве функций. Понятие монотонной функции. Теорема о пределе монотонной на (a, b) функции. Понятие компакта в Rn. Свойства непрерывных на компакте функции : I и II теоремы Вейерштрасса, теорема Кантора. Дифференцируемость в точке ф. м.п. f: Rn → R, ее производная и дифференциал в точке. Связь между дифференцируемыми и непрерывными в точке функциями. Свойства дифференцируемых на промежутке функций: теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа о конечном приращении. Понятие монотонной функции. Достаточные условия монотонности функции на промежутке. Правило Лопиталя, раскрытие неопределенности при вычислении предела функции. Дифференцируемость в точке ф. м.п. f: Rn → R и отображения f: Rn → Rn. Частная производная и дифференциал в точке функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф. м.п. в точке. Понятие непрерывной дифференцируемости ф. м.п. и отображения в точке. Теорема о дифференцируемости суперпозиции. Теорема о совпадении смешанных производных.

Определение неопределенного интеграла. Определение интеграла Римана (определенного интеграла) от функции на отрезке П =[a, b] в R1 и параллелепипеде П в Rn. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману. Суммы Дарбу и критерии Дарбу интегрируемости функции на П. Свойство аддитивности интеграла Римана с переменным верхним пределом. Его свойства. Множество, измеримое по Жордану в Rn, его мера. Жордановы нуль - множества и их свойства. Определение функции, интегрируемой по Риману на Жордановом множестве. Формула Ньютона –Лейбница для интеграла Римана по отрезку. Метод сведения интеграла Римана по параллелепипеду П в Rn, n-кратного интеграла к повторным, теорема Фубини.

Определение несобственного интеграла с единственной особой точкой, его сходимость. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов с одной особой точкой. Определение сходимости несобственного интеграла с конечным числом особых точек, корректность определения, его абсолютная и условная сходимость. Определение несобственного интеграла, зависящего от параметра. Поточечная и равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра на множестве. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Примеры Г-функций и В-функций Эйлера.

Числовой ряд. Его сходимость (расходимость). Признаки сравнения Коши, Даламбера, сходимости рядов с неотрицательным общим членом. Определение абсолютно и условно сходящихся рядов. Свойства сходящихся рядов: теорема об арифметических операциях, переместительное свойство, сочетательное свойств. Знакопеременные ряды, признак Лейбница.

Понятие функционального ряда {fn(x)}, fn : R1 → R1. Поточечная и равномерная сходимость функционального ряда на множестве. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Понятие ряда Фурье от функции, определенной на [-π;π] по классической тригонометрической системе. Коэффициенты Фурье. Разложение функций в ряды Фурье только по sin или cos кратных дуг.

Вопросы к экзамену:

Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке вещественной функции одной переменной Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости вещественнозначной функции одной переменной. Теорема о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Теорема о сходимости абсолютно сходящего несобственного интеграла. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося числового ряда. Формула Грина как основная формула анализа. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. ТФКП.

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Аналитические функции. Интегрирование ф. к.п. Сведение интеграла к криволинейным интегралам 1,2 рода. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши для простого и сложного контуров. Интеграл типа Коши. Теорема Морера. Принцип максимальности модуля. Лемма Шварца. Теорема единственности.

Степенной ряд, круг и радиус сходимости. Теорема Абеля. Примеры разложения в степенной ряд функций: еz, sin z, cos z, ln(1+z), (1+z)μ, sh z, chz.

Понятие изолированной особой точки однозначного характера для аналитической функции (и. о.т. о.х). Критерий устранимой и. о.т. о.х, полюса, существенно особой точки. Теорема Сохоцкого. Ряд Лорана функции, теоремы о вычетах. Применение теории вычетов к вычислению определенных интегралов типа: , , .

Дробно-линейная функция (д. л.ф.), как пример функции, отображающей конформно расширенную комплексную плоскость на себя. Основные свойства д. л.ф. Элементарные функции 1/2 (z+1/z). Примеры конформного отображения областей элементарными функциями. Многозначные функции z1/n, Ln z, Arcsin z, Arctg z. Понятие об аналитическом продолжении.

Вопросы к экзамену:

Дробно-линейная функция, и конформные отображения.

Интегральная формула Коши для простого и сложного контуров. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Теоремы о вычетах.

4. Функциональный анализ и интегральные уравнения.

Понятие о мощности множества. Свойства счетных множеств. Множества мощности континуума. Примеры счетных множеств и множеств мощности континуума. Определение метрического пространства. Примеры:Rn, Cn,, m, c, S, l, С[a, b], L[a, b]. Сходящиеся последовательности элементов метрического пространства, их свойства. Открытые и замкнутые в метрическом пространстве множества. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пространств. Тоерма Бэра. Теорема о вложенных шарах. Меры на кольцах и алгебрах. Мера Лебега и ее свойства. Мера Лебега – Стилтьеса. Измеримые функции и их свойства. Сходимость почти всюду и сходимость по мере. Теорема Егорова. Теоремы Лебега и Рисса о сравнении сходимости почти всюду и по мере.

Интеграл Лебега от простой функции. Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. Свойства интеграла Лебега. Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Примеры сепарабельных и несепарабельных метрических пространств. Сепарабельные метрические пространства.

Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах, их свойства. Критерий компактности Хаусдорфа. Критерий компактности в Rn, Cn,, m, c, S, l, С[a, b], L.

Нормированные пространства. Банаховые пространства. Примеры. Непрерывность линейных операций и нормы. Ряды в нормированных пространствах, сходимость и абсолютная сходимость, связь с полнотой пространства. Базис Шаудера. Фактор –пространства. Линейные непрерывные операторы в банаховых пространствах. Примеры непрерывных операторов. Норма оператора. Теорема Банаха –Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Обратимые операторы. Теоремы о существовании обратных операторов.

Линейные непрерывные функционалы. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах Rn, Cn,, m, c, S, l, С[a, b], L.

Теорема Хана - Банаха. Сопряженные пространства. Рефлексивные пространства. Евклидовы и унитарные пространства. Гильбертовы пространства. Примеры.

Ортогональность. Теорема об ортогональном разложении гильбертова пространства. Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации Шмидта. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Полнота и замкнутость ортонормированных систем. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Резольвента и спектр линейного оператора. Точечный непрерывный и остаточный спектр. Ограниченность, замкнутость и непустота спектра. Спектральный радиус. Тождество Гильберта. Спектр сопряженного оператора.

Компактные операторы. Примеры. Свойства компактных операторов. Компактность интегрального оператора в С[a:b]. Спектр компактного оператора.

Вопросы к экзамену:

Принцип сжимающих отображений и его приложения Теорема Хана-Банаха (для случая сепарабельного вещественного линейного нормированного пространства).

5. Аналитическая геометрия. Дифференциальная геометрия.

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и ортогональности прямых. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

Общее уравнение плоскости в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Условия параллельности и ортогональности прямых и плоскостей. Теорема о вычислении расстояния от точки до плоскости (нормальное уравнение плоскости).

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов пространства и их свойства.

Каноническое уравнение поверхностей второго порядка.

Понятие кривой на плоскости и в пространстве. Кривизна и кручение регулярной кривой. Формула Френе.

Понятие поверхности. Первая и вторая квадратичные формулы поверхности, их применения. Гауссова и средняя кривизна поверхности.

Вопросы к экзамену:

Кривые второго порядка. Касательная к кривой, длина кривой. Первая и вторая квадратичные формы поверхности Средняя и Гауссова кривизна.

6.Дифференциальные уравнения. Уравнения в частных производных.

Теорема существования и единственности Коши-Пикара. Условие полного дифференциала. Понятие об интегрирующем множителе. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общая теория линейных дифференциальных уравнений n-го порядка (линейная независимость, фундаментальные решения, общее решение). Определение устойчивости, примеры. Лемма и теорема Ляпунова. Системы дифференциальных уравнений. Постановка задачи математической физики. Задача Коши. Краевые задачи. Задача Штурма – Лиувилля. Корректная постановка задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Уравнение теплопроводности, краевые условия. Принцип максимума-минимума решения уравнения теплопроводности, следствия. Гармонические функции. Краевые задачи. Формула Пуассона. Теорема о среднем. Принцип максимума –минимума и его следствия. Определение функции Грина. Задача Дирихле.

Вопросы к экзамену:

1.  Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1 –го порядка и его решение методом Лагранжа.

2.  Построение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

3.  Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (метод квазиполиномов).

4.  Вывод уравнения теплопроводности, граничные условия.

5.  Метод Фурье для решения уравнения колебания струны, закрепленной на концах.

Рекомендуемая литература:

Никольский математического анализа. Т.1, Т. 2. Москва, Дрофа.2002 Зорич анализ. Т.1, Т. 2. Москва, Дрофа.2002 Кудрявцев математического анализа. Т.1, 2. Москва, Высшая школа.2001 , , Математический анализ. Москва, Дрофа.2004

5. Фаддеев по алгебре.- Наука.2001

6. Кострикин в алгебру.- Наука. 2002

7. Кострикин алгебра и геометрия.- Наука.2001

5.  Арнольд дифференциальные уравнения.-Москва. Наука. 1971

9. Степанов дифференциальных уравнений.- Москва. ГИТТЛ.1952

10. Потрягин дифференциальные уравнения.-Москва. Наука. 1974

11.Привалов в теорию функций комплексного переменного

12., Фомин теории функций и функционального анализа.

13.Рашевский геометрия

Рекомендуемые задачи:

По математическому анализу: а) Разложение в ряд Маклорена функции: ex, sin x, cos x, (1+x)m, (a+bx)n, ln(1+x), ln(1+x)/(1-x), arctg x;

б) , Сборник задач и упражнений по математическому анализу: 411,412, 415, 418, 440-443, 474, 482, 512, 514, 517, 687-689, 730, 731,740, 848,852,855,858, 871,875,890,913,917,1040,1048,1064,1091,1269,1270,1289,1299,1319,1398, 1429, 1430,1434, 1435, 1471, 1472, 1674,1675,1680, 1696,1702, 1791,1795, 1798,1866, 1926, 1991, 2207, 2398,2299, 2431, 2556, 2559,2560,2774,3137,3139,3138,3924,3927,4007,4221,4228

По алгебре: , Соминский задач по высшей алгебры. - 5,7,15,36,43, 404, 411, 418,336, 341, 166, 169, 464, 480, 538, 539, 664,

5.Проскуряков задач по линейной алгебре. -641, 643, 1175, 1178, 1465,724,728

По дифференциальным уравнениям: .Филиппов задач по дифференциальным уравнениям: 51-56, 136-146, 186-194, 421-431, 511-532,786-795

По геометрии: , Пархоменко задач по аналитической геометрии: 152,189,190, 207, 208, 210, 534, 539, 723, 742, 729, 838, 851,

Воднев задач по дифференциальной геометрии: 103, 105, 349, 371, 763, 764, 818, 819