О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики (стр. 5 )

(P+Q)(P+R)=P+QR,

позволяет очень часто миновать необходимость перемножения каждого члена множимого с каждым членом множителя. Вследствие соединения всех этих условий операций логического умножения почти всегда оказывается гораздо более легкой, чем можно было ожидать. Следующий пример покажет нам случай, когда произведение четырнадцати четырехчленных многочленной, которое в алгебре требует 414, т. е. более двух членов и может быть получено в несколько минут.

Вообразим задачу между 4-мя классами, состоящую из 14 посылок, логические единицы которых суть:

1)  1=a+b+c+d

2)  1=a+b+c+d1

3)  1=a+b+c1+d

4)  1=a+b+c1+d1

5)  1=a+b1+c+d

6)  1=a+b1+c1+d

7)  1=a+b1+c1+d1

8)  1=a1+b+c+d

9)  1=a1+b+c+d1

10)  1=a1+b+c1+d1

11)  1=a1+b1+c+d

12)  1=a1+b1+c+d1

13)  1=a1+b1+c1+d

14)  1=a1+b1+c1+d1.

Вычислим логическую единицу всей задачи. Произведение 1

1 и 2:

3 и 4:

1, 2, 3 и 4:

11, 12, 13 и 14:

1, 2, 3, 4, 11, 12, 13 и 14:

6 и 7:

8 и 9:

5, 6 и 7:

8, 9 и 10:

1=a +b+c

1=a+b+c1

1=a+b

1=a1+b1

1=ab1+a1b

1=a+b1+c1

1=a1+b+c

1=a+b1+c1d

1=a1+b+cd1.

Следующая искомая логическая единица будет:

1=(ab1+a1b)(a+b1+c1d)(a1+b+cd1)=
(ab1+a1bc1d)(a1+b+cd1)=ab1cd1+a1bc1d.

Вычисление логической единицы задачи позволяет нам судить о достоинствах посылок и отличать бессмысленные задачи от возможных. Если какой-либо из множителей, составляющих полную единицу задачи, сводятся на 0, то это означает, что посылка, отвечающая этому множителю, заключает в себе какую-нибудь нелепость. Если все множители отличны от нуля, а произведения их все-таки сводится на 0, то это служит признаком противоречия между посылками, и всегда легко проследить, между каким именно. Если какой-либо множитель тождественно сводится на 1, то соответственная посылка есть тождество, т. е. не имеет никакого логического значения, представляя простую игру слов. Наконец, если какой-либо класс и его отрицание совсем не входят в выражение логической единицы, то этот класс играет роль балласта в посылках и с успехом может быть выпущен из них.

§ 6. Исправление второй части того-же способа

Доселе мы занимались усовершенствованием первой части способа Джевонса, состоящей в получении упрощенного алфавита, взамен которого мы предложили более простую функцию, логическую единицу, с указанием общих и весьма нетрудных правил ее построения. Переходим к исправлению второй части того же способа, состоящей в определении какого угодно класса a из упрощенного алфавита.

Имея упрощенный алфавит под формою однородной функции n-го измерения (n есть число классов), Джевонс утверждает, что та часть этого алфавита, которая зависит от a, должна представлять полное определение a, остальная же часть полное определение a1. Несколько ниже мы убедимся, что такое определение a и a1 только в известных случаях может быть признано полным. А теперь обратим внимание на то обстоятельство, что получаемое Джевонсом определение классов всегда представляется под тою же сложной формой однородных функций n-го измерения. Уже одно это обстоятельство должно представлять крупное несовершенство решения, получаемого Джевонсом. Мы имеем полную возможность устранения этого недостатка; стоит только выводить определение классов не из упрощенного алфавита, а из гораздо более простой функции, тождественной с этим алфавитом, из логической единицы задачи. При этом, оставаясь на точке зрения Джевонса, нам придется несколько видоизменить указанное им правило определения классов, так сказать, приспособив его к случаю неоднородности состава логической единицы. Если, при n классах, в упрощенном алфавите Джевонса каждый член состоит из n множителей, меж которыми всегда встречается a или a1, то в логической единице могут существовать члены всевозможных измерений от 1-го до n-го и след. могут встречаться члены, не содержащие вовсе ни a, ни a1. Другими словами, по отношению к классу a, логическая единица вообще имеет такую форму

M(a.b.c.d…)=aφ(b.c.d…)+a1θ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…).

Здесь Ψ(b.c.d…)и есть сумма всех таких членов логической единицы, которые не содержат ни a, ни a1. Однако эту функцию легко представить под формой (a+a1)ψ(b.c.d…) после чего предыдущее выражении для M принимает вид

M(a.b.c.d…)=af(b.c.d…)+a1F(b.c.d…),

т. е. делается однородным в отношении класса a. Здесь для простоты принято, что

f(b.c.d…)=φ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…),

F(b.c.d…0=θ(b.c.d…)+ψ(b.c.d…).

Только что полученная нами форма логической единицы вполне достойна для возможности непосредственного применения к ней предложенного Джевонсом правила определения a. В самом деле, мы получили тот же алфавит Джевонса (однако под формой все еще более простой, а именно в форме однородной функции одного a, а не всех классов b, c, d…) и имеем его разбитым на две части: часть, зависящую от a, и часть, зависящую от a1. А потому первая из этих частей и будет представлять определение a, отвечающее идеям Джевонса, а именно:

a=af(b.c.d…)=aφ(b.c.d…)+aψ(b.c.d…).

След. в общем случае, т. е. когда логическая единица иметь форму

M=aφ+a1θ+ψ,

правило Джевонса делается таково: для определения a надо к части, зависящей от a (т. е. aφ), прибавить умноженную на a часть, не содержащую ни a, ни a1 (т. е. aψ). И очевидно, что та же цель будет вполне достигнута, если мы выражение логической единицы умножим на a, потому что при таком умножении часть, зависящая от a1, сама собою отпадает, и остается та же самая сумма aφ+aψ, которая была получена выше. И так, если логическая единица задачи есть M(a.b.c.d…), то определение a, вполне отвечающее правилу Джевонса, будет:

a=aM(a.b.c.d…).

Также точно получается:

a1=a1M(a. b.c. d…)

b=bM(a. b.c. d…)

и т. д. Вот какую простую форму принимает правило Джевонса, приспособленное к той более простой функции, которую мы заменяем его логический алфавит, а именно: для определения какого угодно класса достаточно умножить этот класс на логическую единицу задачи.

Найденное правило можно подвергнуть дальнейшему изменению, при котором словесное изложение его сделается несколько сложнее, но зато символическое его изображение будет зависеть от еще более простой функции. В самом деле, мы знаем, как доказал Буль, что разложение какой угодно функции F(a.b.c.d…) в отношении класса a таково:

F(a.b.c.d…)=aF(1.b.c.d…)+a1F(0.b.c.d…).

На этом основании

M(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)+a1M(0.b.c.d…),

вследствие чего

aM(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)

a1M(a. b.c. d…)=a1M(0.b. c.d…)

и следовательно:

a=aM(a.b.c.d…)=aM(1.b.c.d…)

a1=a1M(a. b.c. d…)=a1M(0.b. c.d…).

Точно также мы нашли бы

b=bM(a.1.c.d…)

b1=b1M(a.0.c.d…)

и т. д. Правило Джевонса принимает такой вид: для определения какого угодна класса, надо умножить его или на саму логическую единицу, или, еще проще, на такую функцию, которая выводится из логической единицы после допущения в ней определяемого класса равным 1, а следов. его отрицания равным 0.

Не заходя пока далее, покажем на примере, что действительно применение этого правила доставляет результат тождественный с результатом Джевонса, но только под формой более простой. Пусть логическая единица Пусть логическая единица некоторой задачи есть

1=a1b+c1d=M(a.b.c.d).

Отсюда для a по только что изложенному правилу имеем:

a=aM(1.b. c.d)=a(0+c1d)=ac1d.

С другой стороны, так как логический нуль в данном случае есть

0=(a+b1)(c+d1)=ac+ad1+b1c+b1d1,

то все возможные альтернативы будут:

0=ac=ac(b+b1)(d+d1)=abcd+ab1cd+abcd1+ab1cd1

0=ad1=ad1(b+b1)(c+c1)=abcd1+abc1d1+ab1cd1+ab1c1d1

0=b1c=b1c(a+a1)(d+d1)=ab1cd+ab1cd1+a1b1cd+a1b1cd1

0=b1d1=b1d1(a+a1)(c+c1)=ab1cd1+ab1c1d1+a1b1cd1+a1b1c1d1.

Число всех различных невозможных альтернатив будет 9, прочие семь (из общего числа 16) возможны; они составляют упрощенный алфавит, для которого таким образом получаем:

1=a1bcd+a1bcd1+a1bc1d1+abc1d+ab1c1d+a1bc1d+a1b1c1d.

Так как здесь зависят от a только два члена, то их сумма, по Джевонсу, и послужит выражением для a, т. е. будет:

a=abc1d+ab1c1d.

То же, что и выше, но в форме несколько более сложной. Для a1 Джевонс получил бы:

a1=a1bcd+a1bcd1+a1bc1d1+a1bc1d+a1b1c1d,

а из логической единицы мы имели бы:

a1-a1M(0.b. c.d)=a1(b+c1d),

результат, значительно более простой. Что оба выражения для a1 тождественны, легко убедиться из следующей простой выкладки:

a1=a1(b+c1d)=a1b(cd+cd1+c1d+c1d1)+a1c1d(b+b1)=a1bcd+a1bcd1+

+a1bc1d+a1bc1d1+a1b1c1d.

И так, построенная нами формула не только вполне отвечает правилу Джевонса, но и доставляет результаты в более простой форме.

Интересно сравнить полученную нами формулу, отвечающую взглядам Джевонса, именно:

a=aM(1.b.c.d…),

с формулой Шредера, которая, как мы видели, есть:

a=N1(1.b. c.d…)[u+N(0.b. c.d…)].

Здесь N есть логический нуль задачи, и след.

N(0.b.c.d…)=M1(0.b.c.d…)

N1(1.b.c.d…)=M(1.b.c.d…).

Переходя в формуле Шредера от функции N к функции M и заменяя произвольный класс u его подлинным значением a, будет иметь:

a=M(1.b. c.d…)[a+M1(0.b. c.d…)].

Откуда заключаем, что получаемое Джевонсом определение a отвечает одному первому члену формулы Шредера.

Сделав, в первый раз подобное сравнение обеих формул и вспомнив, что формула Шредера, благодаря искусственности ее построения, дает повод к подозрению относительно возможности присутствия в ней лишних членов, я заключил было, что второй член формулы Шредера всегда лишний. Однако, впоследствии, под влиянием частного примера, когда формула, отвечающая идеям Джевонса, не доставляет никакого определения, кроме a=a, формула же шредера дает для a некоторую функцию, я должен был переменить свой взгляд, т. е. признать, что в суждениях Джевонса должна быть ошибка, и что, наоборот, второй член формулы Шредера если и не всегда, то в известных случаях, необходим для полного определения a. Легко видеть, что всякий раз, когда функция M(1.b.c.d…) тождественно сводится на 1, формула a=aM(1.b.c.d…) сводится на тождество a=a, т. е. вовсе не определяет a, тогда как формула Шредера доставляет нам a=a+M1(0.b.c.d…). Интересно, что в подобных случаях пользуясь своим алфавитом, сам Джевонс получает для а однородную функцию n-го измерения, иногда очень сложную и, не подозревая ошибки в своих суждениях, воображает будто получил действительное определения a.

Что определение классов по Джевонсу должно быть признано неполным, можно судить также из следующего. Вообразим ряд задач, которых логические единицы суть:

1=ma+n´a1, 1=ma+n´´a1, 1=ma+n´´´a1,…

Для всех этих задач, существенно отличающихся один от другой, по идеям Джевонса получается одно и тоже определение a, именно: a=am, чего, конечно, быть не может и не должно.

В чем же состоит теоретическая ошибка в суждении Джевонса при определении классов? Проследить эту ошибку умозрительно и с очевидностью ее обнаружить не особенно легко, так как суждения самого Джевонса по-видимому совершенно безукоризненны. Только в виду несомненного факта неудовлетворенности формулы a=aM(1.b.c…) в известного рода случаях, мне пришлось отказаться от убеждения в ее полноте и общности. По крайнему моему разумению, ошибка Джевонса может быть доказана так. Хотя для образования упрощенного алфавита Джевонса отбрасываются только одни невозможные альтернативы, но невозможность этих последних, будучи невозможностью в силу своей совокупности отношений между классами, данных нам в посылках, может и не быть невозможностью по отношению к значению какого-либо данного класса a. Все такие альтернативы, нелепые по отношению ко всей задаче, в отношении же одного a вовсе не представляющие нелепости, должны быть принимаемы в расчет, если желаем получить полное определение a. Этого именно и не делает Джевонс. Как же пополнить этот пробел? Восполнять его в прямом смысле мы и не беремся, а предпочитаем продолжать суждения далее. Коль скоро альтернатив, зависящих от a, в составе упрощенного алфавита, недостаточно для полного определения a, то мы должны обратиться для этой цели к остальным альтернативам, т. е. зависящим от a1. Определив из них непосредственно a1, и взяв отрицание этого определения, мы получим еще одно определение a, и вот это второе определение a, поскольку оно не представляет повторения прежде полученного определения, и должно послужить к восполнению упомянутого пробела. Как видим, ошибка Джевонса состоит в том, что он упустил из виду зависимость a и a1, и для устранения этой ошибки необходимо и достаточно воспользоваться этой зависимостью, т. е. делать двукратное определение a: раз непосредственное и затем еще раз через посредство a1. Как мы видели, первое определения было таково:

a=aM(1.b.c.d…).

Для получения второго мы дожны построить формулу

a1=a1M(0.b.c.d…)

и взять ее отрицание, т. е.

a=a+M1(0.b.c.d…).

также точно, для полного определения b должна служить пара формул:

b=bM(a.1.c. d…), b=b+M1(a.0.c. d…).

Тоже и в отношении прочих классов.

Как видим, в случае, который был указан нами выше. Т. е. когда тождественно M(1.b.c.d…)=1, наша формула доставляет нам: a=aM(1.b.c.d…)=a, a=a+M1(0.b.c.d…), т. е. совершенно тоже, что и формула Шредера.

Не довольствуясь предыдущими суждениями, мы дадим еще прямое толкование логического значения обеих формул служащих к определению a. Формула

a=am(1.b.c.d…)

указывает, что умножение a на M(1.b.c.d…) не изменяет a, т. е. все, что есть общего между M(1.b.c.d…) и a, сводится на само a; другими словами: a содержится в M(1.b.c.d…). Наоборот, формула

a=a+M1(0.b.c.d…)

показывает, что прибавление к a функции M1(0.b.c.d…) не изменяет a, т. е. a содержит в себе функцию M1(0.b.c.d…). След. наша пара формул определяет a указанием на две функции: на функцию, содержащую a, и на функцию, содержащуюся в a, т. е. определяет, к каким категориям принадлежит класс a, какие категории он сам в себе содержит. Полнее подобного определения невозможно себе представить. Как видим, Джевонс определяет только категории содержащие a, и такое определение надо признать на столько же неполным, как если бы кто-нибудь вздумал определить a одними категориями, в нем содержащиеся[24].

Выше мы указали случай, когда формула, отвечающая взглядам Джевонса, т. е. a=aM(1), не представляет для a никакого определения, кроме тождества a=a. Это бывает всякий раз, когда M(1.b.c.d…) сводятся тождественно на 1. А теперь можем добавить, что наоборот, формула эта вполне определяет a всякий раз, когда вторая из формул определения a, т. е. a=a+M1(0), сводится на тождество a=a, для чего достаточно, чтобы M1(0.b.c.d…) сводилось на тождественный нуль, или M(0.b.c.d…) было тождественной единицей. Если припомним, что M(1.b.c.d…) и M(0.b.c.d…) суть коэффициенты разложения функции M(a.b.c.d…) относительно класса a, что видно из формулы Буля: M(a)=aM(1)+a1M(0), то можем высказать следующее общее правило: если, раньше определения класса a, мы приведем логическую единицу задачи к однородному относительно a виду, и после того окажется, что логическая единица принимает или вид 1=a+a1f(b.c.d…), или же вид 1=a1+aF(b.c.d…), то для полного определения a вполне достаточно одной формулы, а именно: формулы a=a+f1(b.c.d…) в 1-м случае и формулы a=aF(b.c.d…) во втором. (Эти же заключения можно было бы вывести иначе, из сравнения формул 1=a+a1f и 1=a1+aF с тождеством 1=a+a1 ).

Во всех прочих случаях, т. е. когда ни M(1.b.c.d…), ни M(0.b.c.d…) не есть тождественная единица, ни одна из предложенный нами формул: a=aM(1), a1=a1M(0) не превращается в тождество, и следовательно получаемые Джевонсом результаты должны быть признаны неполными. Во всех таких случаях необходимо делать двукратное определение a из логической единицы M(a.b.c.d…): сначала непосредственное по формуле a=aM(1), а потом через посредство a1, для чего надо или брать отрицание значения a1, найденного из формулы: a1=a1M(0), или же прямо применить формулу a=a+M1(0).

Как видим, для второго определения a перед нами открываются два пути. Который из них выгоднее? Небольшого размышления достаточно, чтобы убедиться, что брать отрицание результата, найденного по формуле a1=a1M(0), вообще должно быть много удобнее, чем применение формулы a=a+M1(0), при употреблении которой приходится составлять отрицание самой логической единицы, т. е. функции гораздо более сложной, чем предыдущий результат. И так, одна и та же пара формул: a=aM(1), a1=a1M(0) может служить нам для полного определения не только a, но и a1. Определяется ли a или a1, надо непосредственно применить обе эти формулы, и затем, когда определяется a, взять отрицание найденного a1; когда же определяется a1; взять отрицание полученного a.

Приведем несколько простых примеров:

1)  Из равенства 1=a+b=M(a. b) для определения a имеем: a=aM(1.b)=a.1=a; a1=a1M(0.b)=a1(0+b)=a1b. Первый результат есть тождество, т. е. нисколько не определяет a, отрицание же второго доставит нам: a=a+b1, т. е. a содержит в себе b1. Джевонс в этом случае получает фиктивное определение a. Его упрощенный алфавит получим, сделав логическую единицу a+b однородной функцией 2-го измерения, т. е. этот алфавит будет:

1=a(b+b1)+b(a+a1)=ab+ab1+a1b.

Отсюда для a он получает: a=ab+ab1. Подобного рода результат Джевонс обыкновенно читает так: a есть или b1 или не-b, не подозревая всей несообразности подобного определения. Такой ответ не устанавливает никакого отношения между a и b, ибо, помимо всяких посылок, всегда a=ab+ab1. Однако, в данном случае между a и b существует вполне определенное отношение: a содержит в себе все, что не есть b.

2)  Из равенства 1=a1+b=M(a. b) мы получаем: a=aM(1.b)=a(0+b)=ab; a1=a1M(0.b)=a1(1+b)=a1.1=a1. Следовательно, для a мы имеем: a=ab, и для a1: a1=a1+b1, тогда как Джевонс имел бы алфавит:

1=a1(b+b1)+b(a+a1)=ab+a1b+a1b1

и след. получил бы для a: a=ab, и для a1: a1=a1b+a1b1.

Первый ответ Джевонса совпадает с нашим, а второй есть замаскированное тождество.

3)  Из равенства 1=abc+a1(b1+c1)=M(a.b.c) Джевонс для a нашел бы: a=abc, тогда как по нашим формулам выходит:

a=aM(1.b. c)=a(bc), a1=a1M(0.b. c)=a1(b1+c1).

Отрицание второй из этих формул есть: a=a+bc.Следов. в настоящем случае a не только содержится в bc, как нашел и Джевонс, но, сверх того, само содержит в себе bc, т. е. в данном случае a=bc.

4)  Из равенства 1=ab+a1c=M(a.b.c) для результата, отвечающего взглядам Джевонса, мы получаем: a=aM(1.b.c)=a(b)=ab. С целью же получить дополнительное определение a, мы вычисляем еще: a1=a1M(0.b.c)=a1c, откуда a=a+c1. След. к ответу Джевонса: «a содержится в b» надо добавить поправку: «и содержит в себе c1».

Оставим внимание на 3-м из только что приведенных примеров. Пример этот относится к тому общему случаю, когда M(1)=M1(0), т. е. когда, по приведении логической единицы к однородному относительно a виду, оказывается, что коэффициент при a есть отрицание коэффициента при a1, и обратно. В этом случае результат, получаемый Джевонсом, отвечая одной формуле: a=aM(1), гласит только, что a содержится в M(1). Если же мы возьмем отрицание дополнительной формулы, то получим еще: a=a+M1(0). Но обе функции: M(1) и M1(0), по условию, равны между собою. Следов. a, содержась в M(1) и содержа в себе M1(0), в данном случае тождественно с каждой из этих функций, т. е. a=M(1)=M1(0). Этот случай особенно замечателен с точки зрения логики, потому что здесь мы имеем не простое описание предмета a признаками прочих предметов, а полное его логическое определение. Как видим, случай этот неуловим по способу Джевонса.

§ 7. Исследование полученной нами пары основных формул. Полные и точные определения

Вопрос о недостаточности получаемого Джевонсом определения классов и о необходимости предлагаемого нами добавочного их определения можно считать исчерпанным[25].

Так как наша пара формул a=aM(1), a1=a1M(0) представляет вполне натуральное и полное решение вопроса, то в ней мы должны искать критерии для оценки не только формулы Джевонса, но и всяких других формул определения классов, напр. формулы Шредера. Для достижения этой последней цели, а также в интересах дальнейшего развития вашего способа, нам необходимо заняться исследованием полученного нами определения.

Прежде всего мы докажем, что упомянутая пара формул вполне тождественно с равенством: 1=M(a.b.c.d…)=aM(1)+a1M(0). Для этого достаточно обнаружить, что обе первые формулы суть следствия 3-ей, и обратно: третья есть следствие двух первых. А это именно так и есть, причём первая формула выводится из 3-ей через умножение сей последней на a; вторая получается из третьей после умножения ее на a1; наконец третья есть сумма двух первых. Предложение доказано сполна. Логическое его значение таково: пара наших формул определения a вполне выражает все сведения, заключенные в посылках задачи, вполне заменяет систему посылок. Другими словами, отрывочные сведения об отношениях между классами, предлагаемые нам в посылках, могут быть сконцентрированы в двух простых формулах, предназначенных к тому, чтобы изобразить полную картину той роли, которую играет каждый данный класс, напр. a, в ряду всех прочих[26].

Спрашивается теперь, есть ли необходимость, чтобы определение класса a было основано на всех сведениях, заключенных в посылках? Не достаточно ли для этой цели одних тех сведений, которые прямо касались бы самого a? Нельзя ли исключить остальные сведения, рисующие взаимные отношения всех прочих классов, помимо a? С целью ответить на эти вопросы, мы покажем, что между обоими определениями a, доставляемыми нашими формулами, заключается некоторое частное противоречие. В самом деле, если M1(0) логически содержится в a и само a логически содержится в M(1), тои подавно M1(0) должно содержаться логически в M(1), т. е.

M1(0)=M1(0)M(1).

Если же функция M(1) и M1(0) мы напишем в следующем виде:

M(1)=M(1)[M(0)+M1(0)]=M(1)M(0)+M(1)M1(0)

M1(0)=M1(0)[M(1)+M1(1)]=M1(0)M(1)+M1(0)M1(1),

то не трудно усмотреть, что функция M1(0) целиком не может быть частью функции M(1), потому что ее члена M1(0)M1(1) нет в составе функции M(1)[27]. В этом и заключается упомянутое частное противоречие наших формул, и для устранения этого противоречия необходимо потребовать, чтобы удовлетворялось условие

M1(0)M1(1)=0,

в силу которого написанный здесь член функции M1(0) должен быть одним из частных логических нулей задачи. Чтобы исключить это противоречие из самых формул определения a, вполне достаточно вместо функции M1(0) брать только ту ее часть, которая отлична от логического нуля, т. е. M1(0)M(1). После этого наши формулы принимают вид: a=aM(1), a=a+M1(0)M(1). В этом виде формулы определения уже не выражают всех условий задачи, и понятно, им недостает только указания, что остальная часть функции M1(0), т. е. M1(0)M1(1) есть логический нуль. Присоединяя к ним это условие, мы получим 3 равенства: a=aM(1), a=a+M1(0)M(1), 0=M1(0)M1(1), совокупность которых вполне выражает все условие задачи. Отсюда видим, что все сведения посылок можно распределить по трем формулам, две из которых представляют освобожденное от противоречия определение a двумя функциями, тогда как треть изображает некоторое отношение между прочими классами b, c, d… независимо от класса a. Это последнее условие, называемое результатом исключения a из данных посылок, и представляет собрание всей той доли сведений посылок, которая не касается непосредственно самого a. Если же так, то делается понятным что пара формул: a=aM(1), a=a+M1(0)M(1), вновь нами полученных, представляет определение a, основанное только на тех сведениях, которые прямо касаются этого класса. Понятно также и то, что первоначальная пара формул потому собственно и заключает в себе противоречие, что из нее не исключены сведения, не предназначенные к характеристике самого a.

Подводя итог тому, что найдено нами относительно определения классов, можем сказать, что, во 1-х, в противоположность Булю, Шредеру и Джевонсу, для определения какого угодно класса a мы получили не одну формулу, а две, вполне независимые одна от другой и предназначенные для характеристики a в двух противоположных направлениях, и во 2-х, мы построили даже не одну, а две пары формул для этой цели, а именно пару: a=aM(1), a=a+M1(0), обнимающую все сведения задачи, и пару: a=aM(1), a=a+M1(0)M(1), основанную только на тех сведениях, которые прямо предназначены к характеристике a.

Спрашивается теперь, какое же определение a должно быть предпочтено: первое или второе? Категорически отвечать на этот вопрос в общем виде мы находим неудобным, потому что в одних случаях и для одних целей может быть предпочтена одна пара формул, в других – другая. Для отличия мы будем называть первую пару полным, а вторую точным определением a.

Для примера обратимся к той самой задаче, которую мы уже решали по способам Буля, Джевонса и Шредера, т. е. задаче с посылкой x=y(z+ω), к которой должна быть прибавлена добавочная посылка 0=zω. В силу этих посылок: 1) ответственны (x) разумные существа (y), обладающие свободою (z), или отказавшаяся от нее (ω), обладали бы ею (z). Найдем сначала полный логический мир речи этих посылок. В единичных формах обе посылки будут: 1=xy(z+ω)+x1(y1+z1ω1) и 1=z1+ω1. Произведение этих равенств есть:

1=M(x.y.z.ω)=zyωz1+ xyzω1+x1y1z1+x1y1ω1+x1z1ω1=zy(ωz1+zω1)+

+x1(y1z1+y1ω1+z1ω1).

След. в силу данных посылок возможны только: 1) ответственные разумные существа, которые или, отказавшись от свободы, не обладают ею, или же, обладая свободою, не отказывались от нее, и 2) такие безответственные существа, которые или неразумны и несвободны, или неразумны и не отказывались от свободы, или наконец несвободны и не отказывались от свободы. – Желая определить y, спросим, во 1-х, в чем содержится этот класс, т. е. вычислим формулу: y=yM(x.1.z.ω). Принимая y=1 и y1=0, находим:

y=y[x(ωz1+zω1)+x1z1ω1],

формулу очень близкую к результатам, полученным по способам Буля, Джевонса и Шредера. (Истолковать эту формулу не представляет труда). А затем, во 2-х, спросим себя: что содержит в себе y, т. е. вычислим или формулу y1=y1M(0) (для полного определения), или же формулу y=y+M1(0)M(1) (для точного определения). Для M(0) имеем: M(0)=x1(z1+ω1+z1ω1)=x1(z1+ω1). След. для полного определения имеем: y1=y1x1(z1+ω1), откуда, по отрицании, находим:

y=y+x+zω=y+x,

т. е. к разумным относятся все (допускаемые задачей) ответственные существа. Наоборот, при точном определении мы получим: M1(0)=x+zω=x; M1(0)M(1)=x(ωz1+zω1) и след.

y=y+x(ωz1+zω1),

т. е. к разумным относятся такие ответственные существа, которые или, оказавшись от свободы, не обладают ею, или же, обладая свободой, не отказывались от нее.

Изложенный пример наглядно показывает логическое преимущество нашего способа определения классов двумя формулами перед способами Буля, Джевонса и Шредера.

§ 8. Результаты исключения из посылок простых классов

Возвращаясь несколько назад, остановим наше внимание на результате исключения a. Этот результат мы получим выше под двумя формами: 1) под формою:

M1(0)=M1(0)M(1),

выражающей, что функция M1(0) логически подчинена функции M(1), и 2) под формою:

0=M1(0)M1(1),

Указывающей, что часть функции M1(0), не содержащаяся в функции M(1), должна быть отбрасываема в качестве одного из частных логических нулей задачи. Таково логическое значение обоих форм результата исключения. А что обе написанные здесь формулы тождественны между собою, легко видеть из того, что нулевая форма первой есть вторая формула. Взяв теперь отрицание последней, получим еще одну форму того же результата исключения a, именно:

1=M(1)+M(0).

И легко оправдать это равенство чисто логическими соображениями. Если M(a.b.c…) есть логическая единица, т. е. aM(1)+a1M(0)=1, то подавно M(1)+M(0) должно быть тоже -1, потому что aM(1) и a1M(0) суть только части от M(1) и M(0).

Обращаясь к основной теореме Шредера, по которой, при наших обозначениях, равенство 0=aM1(1)+a1M1(0) тождественно с парой равенств: 0=M1(1)M1(0) и a=M(1)[a+M1(0)], убеждаемся, что, из найденных нами помощью логических соображений трех форм для результата исключения a, вторая есть та самая, которую получал и Шредер на основании чисто формальных процессов.

Мы уже указали (см. § 4), что Шредер оставил без разъяснения: нужно, или нет, при определении a по его формулам, брать во внимание результат исключения a с целью преобразования или упрощения полученного определения. Постараемся ответить на этот вопрос.