Оптика (стр. 2 )

В светоделительном кубе расстояние между двумя стеклянными призмами подбирают так, чтобы половина света отражалась от границы двух призм и половина проходила сквозь границу.

-Тема 5. Кристаллооптика.

Факультативно. Механизм замедления света в среде.

Свет, проходя через среду, раскачивает электрические диполи атомов. Излучение диполей складывается с проходящей мимо световой волной, в результате сложения получается волна с измененной фазой. Изменение фазы относительно волны в вакууме означает другую фазовую скорость света в среде. В анизотропной среде для разных направлений вектора различается величина наведенного электрического диполя и изменение фазы световой волны. В результате оказывается, что скорость света в кристалле зависит не от направления луча, а от направления вектора в световой волне.

Факультативно. Главные диэлектрические оси кристалла.

По определению вектора электрической индукции , где — поляризация среды или объемная плотность дипольного момента. Если дипольные моменты пропорциональны полю , то и вектор пропорционален . Для анизотропной среды коэффициент пропорциональности является симметричной матрицей .

или , где — условие симметричности матрицы .

Поворотом системы координат симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду: .

Оси, в которых матрица — диагональная называются главными диэлектрическими осями кристалла. Не путать с осями кристалла, о которых речь пойдет ниже.

Факультативно. Аналог волнового уравнения в кристалле.

=>

, но

, тогда

Направления векторов , , , , , плоской световой волны в кристалле.

Для любой плоской волны получаем . Тогда уравнения Максвелла можно записать в виде , откуда получаем и, учитывая для вектора Пойнтинга, из трех последних равенств системы и равенства для вектора Пойнтинга получаем . Кроме того, из получаем . Следовательно, тройка векторов , , — взаимно ортогональна и тройка векторов , , — взаимно ортогональна.

Тогда векторы , , , ортогональны вектору , а угол между векторами и равен углу между векторами и .

Лучевая и фазовая скорости световой волны в кристалле.

Обе скорости являются аналогом фазовой скорости света в изотропной среде. Лучевая скорость световой волны в кристалле определяется направлением распространения энергии и совпадает с направлением вектора Пойнтинга , где — объемная плотность энергии электромагнитного поля световой волны.

Фазовая скорость световой волны — скорость движения поверхности с постоянным значением фазы. — фаза любой волны. Выберем ось z в направлении вектора световой волны. , тогда и уравнение постоянной фазы примет следующий вид . Продифференцируем это уравнение по времени и получим , откуда . Окончательно для фазовой скорости

и .

Рассматривая перемещение поверхности равных фаз можно получить

, где — угол между векторами и , и он же угол между векторами и .

Факультативно. Величина лучевой и фазовой скорости в простейшем случае.

Простейший случай — это когда направление вектора световой волны совпадает с одной из главных диэлектрических осей кристалла (пусть с осью x). В главных диэлектрических осях связь векторов и выглядит достаточно просто . Откуда получаем . Если вектор направлен вдоль оси x, то , откуда вектор тоже имеет только составляющую . Следовательно, в рассматриваемом случае векторы и сонаправлены и кристаллическая среда ведет себя аналогично изотропной среды. Величина лучевой скорости в кристалле всегда зависит только от направления вектора , а не от направления света. Тогда — лучевая и фазовая скорости совпадают по величине и направлению (угол между лучевой и фазовой скоростями равен углу между векторами и , который равен нулю).

Фазовая пластинка.

Рассмотрим случай, когда свет распространяется вдоль одной из главных диэлектрических осей кристалла. Пусть . Поскольку , вектор лежит в плоскости x, y. Разложим вектор на составляющие вдоль осей x и y. Каждая из двух составляющих будет иметь вектор , направленный вдоль главной диэлектрической оси кристалла. Следовательно, каждая из двух составляющих поля будет иметь свою лучевую скорость, совпадающую с фазовой скоростью, . Для этих двух лучей показатели преломления не равны — двулучепреломление.

Фазовая пластинка — плоско параллельная кристаллическая пластинка, у которой две главные диэлектрические оси с различающимися диэлектрическими проницаемостями лежат в плоскости пластины.

Пластинки и .

Фазовая пластинка с оптической разностью хода для двух линейных поляризаций называется пластинкой .

Для пластинки разность хода — и соответственно .

Лучевой эллипсоид. Определение поляризации и лучевой скорости лучей по лучевому эллипсоиду (без доказательства).

Направим оси координат вдоль главных диэлектрических осей кристалла. Рассмотрим поверхность так называемого лучевого эллипсоида, уравнение которого . Главные полуоси эллипсоида имеют длины , , , равные лучевым скоростям, когда вектор направлен вдоль соответствующих осей.

Алгоритм нахождения поляризаций двух световых волн для заданного направления луча следующий. , поэтому векторы обеих волн лежат в плоскости перпендикулярной лучу. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной лучу , проходящей через центр эллипсоида. Сечение эллипсоида — эллипс. Оси эллипса — направления вектора двух лучей. Длина полуосей эллипса — лучевые скорости двух лучей.

Оптическая ось кристалла (лучевая ось). Одноосные и двуосные кристаллы.

Нельзя путать оси кристалла с главными диэлектрическими осями кристалла.

Кристаллы называются одноосными, если . Если , то кристалл двуосный.

Направление луча, для которого лучевая скорость любой поляризации света одинакова, называется осью кристалла (оптической осью, лучевой осью).

Если , то кристалл имеет две оси в плоскости x, z.

Обыкновенный и необыкновенный лучи.

В одноосном кристалле один луч обыкновенный, другой — необыкновенный. В двуосном кристалле оба луча необыкновенные.

Рассмотрим одноосный кристалл. Рассмотрим центральное сечение лучевого эллипсоида. Всегда одна из полуосей сечения перпендикулярна оси кристалла. Ее длина не зависит от направления плоскости сечения. Лучевая скорость соответствующего луча не зависит от направления луча. Это и есть обыкновенный луч. для луча этой поляризации кристалл изотропен.

Рассмотрим плоскопараллельную пластинку из одноосного кристалла. Пусть на пластинку под углом к нормали падает неполяризованный свет. При вращении пластинки вокруг нормали обыкновенный луч неподвижен, а необыкновенный луч на выходе из пластинки смещается параллельно самому себе.

Факультативно. Построение двойной лучевой поверхности с помощью лучевого эллипсоида.

Нельзя путать лучевую поверхность с рассмотренной ранее поверхностью лучевого эллипсоида.

Выберем в пространстве некоторую точку O, вокруг которой и будем строить лучевые поверхности. Для каждого направления луча отложим из одной и той же точки O два отрезка, равные лучевым скоростям двух лучей для выбранного направления луча. Величины лучевых скоростей двух лучей находятся как длины полуосей сечения лучевого эллипсоида плоскостью перпендикулярной выбранному направлению луча. Вторые концы двух отрезков при изменении направления луча образуют две лучевые поверхности.

Факультативно. Построения Гюйгенса в изотропной и анизотропной среде.

Лучевая скорость направлена в точку касания фронта волны лучевой поверхности.

Фазовая скорость направлена перпендикулярно фронту волны.

Поляризаторы на основе призмы Николя и Волластона.

Призма Николя. Две призмы из исландского шпата, склеены канадским бальзамом. , где n — показатель преломления канадского бальзама. Свет одной из линейных поляризаций испытывает на границе полное внутреннее отражение и выходит из рассмотрения. Свет, проходящий сквозь границу, будет линейно поляризован и слегка ослаблен.

Призма Волластона состоит из двух призм, в которых направления оси кристалла ортогональны. На границе двух призм свет двух линейных поляризаций преломляется отклоняясь в разные стороны.

Тема 6. Геометрическая оптика.

Центрированные оптические системы, оптическая ось, параксиальная оптика.

Центрированная оптическая система — это система, в которой все преломляющие границы сферические, и центры всех сфер лежат на одной прямой.

Эта прямая называется оптической осью системы.

Приближение параксиальной оптики состоит в двух допущениях. Все лучи имеют малый угол с оптической осью. Каждый луч, проходя преломляющую границу, находится на малом расстоянии от оптической оси. Расстояние мало по сравнению с радиусом кривизны преломляющей поверхности.

Преломление света на сферической границе.

Пусть , — угол между лучом и оптической осью до и после преломления на границе, — угол между оптической осью и нормалью к границе в точке преломления луча. Тогда — закон Снеллиуса., где в приближении параксиальной оптики синусы можно опустить. Тогда , где , где — радиус кривизны границы двух сред. Окончательно получаем

Матричная оптика. Опорная плоскость. Координаты луча.

Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе.

Оптическая сила сферической границы.

Плоскость перпендикулярную оптической оси назовем опорной плоскостью.

Рассмотрим две опорные плоскости. Каждый луч в первой опорной плоскости будем характеризовать двумя координатами: расстояние от оптической оси и произведение , где — показатель преломления в первой опорной плоскости, — угол между лучом и оптической осью. Из двух координат луча можно составить вектор в некотором абстрактном пространстве. Здесь индекс 1 относится к первой опорной плоскости. Координаты луча во второй опорной плоскости, если между плоскостями однородная среда с показателем преломления , можно найти из системы , где , , — один и тот же показатель преломления среды между опорными плоскостями, — расстояние между опорными плоскостями.

Тогда координаты луча во второй опорной плоскости можно выразить через координаты луча в первой опорной плоскости с помощью некоторой матрицы : , где

называется матрицей трансляции.

Для преломления на сферической границе , где второе уравнение было получено в предыдущем вопросе. Тогда

— матрица преломления на сферической границе, где

— оптическая сила сферической границы.

Заметим, что если рассмотреть три опорные плоскости, то , так как каждая часть равенства равна вектору .

Следовательно, перемножением матриц трансляции и преломления на сферической границе можно найти матрицу оптической системы любой сложности. Порядок перемножения матриц обратный по отношению к порядку, в котором луч встречает элементы оптической схемы.

Оптическая сила тонкой линзы.

Матрица тонкой линзы , где и — оптические силы двух границ тонкой линзы. Если ввести обозначение для оптической силы линзы , то матрица тонкой линзы будет выглядеть также как матрица сферической границы .

Для тонкой линзы из материала с показателем преломления , расположенной в вакууме оптическая сила равна .

— оптическая сила тонкой линзы, где и — радиусы кривизны двух поверхностей линзы. Здесь для двояковыпуклой линзы .

В параксиальной оптике удобно принять следующее правило знаков для величин с размерностью длины. Пусть ось x направлена вдоль оптической оси. Пусть — положение сферической границы или тонкой линзы. Будем считать, что радиус кривизны границы , если центр кривизны имеет x координату .

Формула тонкой линзы. Сопряженные плоскости.

Фокусное расстояние. Фокальная плоскость. Фокус.

Рассмотрим две опорные плоскости на расстояниях и с двух сторон тонкой линзы с оптической силой . Матрица перехода от первой ко второй опорной плоскости = .

В соответствии с этой матрицей . Рассмотрим это уравнение применительно к точечному предмету в первой опорной плоскости и его изображению во второй опорной плоскости. Плоскости предмета и изображения называются сопряженными плоскостями. Тогда пучок лучей, выходящих из точки под любыми углами должен собраться в точку . Если равенство сохраняется при любом , то коэффициент при должен быть равен нулю . Откуда .

Если среды слева и справа от тонкой линзы имеют показатели преломления и , то во всех формулах этого вывода нужно заменить и . Тогда .

Учтем теперь правило знаков в параксиальной оптике. Если предмет слева от линзы и его x координата равна , а изображение справа от линзы и его x координата равна , то

— формула тонкой линзы.

Пусть теперь на линзу падает параллельный пучок лучей (), тогда точка, в которой он собирается, называется фокусом линзы (задним фокусом). Координата фокуса относительно линзы называется фокусным расстоянием . Тогда

, откуда .

Если свет выходит из некоторой точки на оптической оси, и после линзы свет идет в виде параллельного пучка лучей, то и свет выходит из переднего фокуса, а его координата относительно линзы равна переднему фокусному расстоянию .

.

Оба фокусных расстояния связаны с оптической силой линзы соотношением

.

Фокальная плоскость — плоскость перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус.

Построение изображений в тонкой линзе. Действительное и мнимое изображение.

Для построения изображения точечного источника в тонкой линзе достаточно найти пересечение двух любых лучей, выходящих из точечного источника. Есть три удобных луча. Луч, который до линзы идет параллельно оптической оси, после линзы обязан пройти через ее задний фокус. Луч, который до линзы проходит через передний фокус, после линзы пойдет параллельно оптической оси. Луч, который проходит через центр тонкой линзы, пойдет за линзой без изменения направления, если показатель преломления среды до и после линзы один и тот же.

Изображение действительное, если оно расположено за линзой. Изображение мнимое, если лучи за линзой не пересекаются, а пересекаются лишь их продолжения в область перед линзой.

Построение хода произвольного луча при прохождении тонкой линзы.

Возьмите произвольный луч. Пусть этот луч падает на тонкую линзу в точке A. Рассмотрите луч, параллельный заданному лучу и проходящий через передний фокус линзы. Этот второй луч после линзы пойдет параллельно оптической оси и пересечет заднюю фокальную плоскость в некоторой точке B. Заданный луч после линзы проходит через точки A и B.

Сферическое зеркало.

Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало. Рассмотрим луч, падающий на зеркало параллельно оптической оси. Из геометрических соображений точка, в которой отраженный луч пересечет оптическую ось, расположена на расстоянии от зеркала, где — фокусное расстояние сферического зеркала, — радиус кривизны зеркала. Для вогнутого зеркала по правилу знаков обе величины положительны.

Толстая линза. Матрица толстой линзы. Главные плоскости.

Матрица толстой линзы:

= ,

где , — оптические силы двух сферических поверхностей, — толщина линзы, — показатель преломления линзы.

Главные плоскости оптической системы — сопряженные плоскости с единичным коэффициентом усиления.

Гомоцентрический пучок лучей. Приведенный радиус кривизны. Правило ABCD.

В изотропной среде лучи перпендикулярны поверхности равных фаз. Сферический фронт волны соответствует гомоцентрическому пучку лучей. — приведенный радиус гомоцентрического пучка лучей, где — радиус соответствующего сферического фронта волны.

Для любой точки гомоцентрического пука лучей выполняется соотношение , где — расстояние от точки на фронте волны до оптической оси, — угол между лучом, проходящем через рассматриваемую точку, и оптической осью. Тогда — приведенный радиус равен отношению координат луча.

Пусть гомоцентрический пучок лучей проходит через оптическую систему с матрицей . Тогда . Откуда

— правило ABCD, или правило преобразования приведенного радиуса гомоцентрического пучка лучей.

Факультативно. Гауссовы пучки.

Хорошим приближением для лазерного пучка лучей является гауссов пучок. Пусть световая волна распространяется вдоль оси z. Будем называть пучок лучей гауссовым, если поле световой волны можно найти по формуле

,

где .

Здесь — зависимость радиуса пучка от координаты вдоль оси пучка, — радиус шейки каустики, шейка каустики — самое узкое место каустической поверхности , каустическая поверхность — поверхность, огибающая все лучи. — зависимость радиуса кривизны гомоцентрического пучка лучей от координаты вдоль оси пучка. — фазовый сдвиг относительно фазы плоской волны вдоль оси z.

Шейка каустики не отображается линзой по законам геометрической оптики. Преобразование гауссова пучка лучей тонкой линзой определяется изменением приведенного радиуса кривизны по правилу ABCD. Если рассмотреть две опорные плоскости непосредственно перед тонкой линзой и сразу после линзы, то . По первым двум уравнениям приведенной выше системы из трех уравнений по известным значениям и можно найти и новой каустической поверхности.