Высшая математика (стр. 1 )

Министерство образования и науки
Российской Федерации

Институт «Новый Сибирский Университет»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

и варианты контрольных работ для студентов заочной формы обучения по направлению: № 000 «психология»

по специальности: № 000 «клиническая психология»

Новосибирск

2005

Рекомендовано к изданию учёным советом АНО Институт «Новый сибирский университет»

(протокол от 01.01.01 г.)

ББК 22.1Я73

М 42

Рецензенты:

1. , к. ф-м. н, доц. каф. «Высшая математика» НГТУ

2. , к. т.н, профессор, декан факультета «Прикладная математика» ИНСУ

Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения:

по направлению: № 000 «психология»

по специальности: № 000 «клиническая психология»

и используется для самостоятельной работы студентов при изучении данной дисциплины и выполнении контрольных работ.

ББК 22.1Я73

М 42

© Институт «Новый сибирский университет», 2005 г.

©

Содержание

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости. 5

Тема 2. Определители и системы линейных уравнений. 9

Тема 3. Предел функции. 13

Тема 4. Производная функции. 18

Тема 5. Интеграл. 21

Тема 6. Теория вероятностей. 29

Тема 7. Статистические оценки параметров распределения. 39

Тема 8. Элементарные сведения из теории корреляции. 43

Контрольная работа №1 и №2. 46

Контрольная работа по теории вероятностей. 51

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 58

ЛИТЕРАТУРА.. 61

Методические указания предназначены для студентов-заочников по направлению: «психология»
по специальности: «клиническая психология»

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться сле­дующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, специальность, номер контрольной работы.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее усло­вие. Решение задач следует излагать подробно.

3. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3см. для замечаний преподавателя.

4. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

5. Получив прорецензированную работу (как зачтенную, так и незачтенную), студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования преподавателя, и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

6. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номер зачетки).

7. Сдавать контрольную работу на проверку надо не позднее, чем за месяц до начала сессии.

Плановые консультации начинаются за два месяца до начала сессии. О расписании консультаций можно узнать у менеджера заочного отделения.

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Для решения задач по аналитической геометрии нам понадобятся следующие формулы:

1. Расстояние d между точками А(х1,y1), и В (х2, у2) на плоскости:

2. Деление отрезка в данном отношении.

Даны точки А(х1, у1), и В(х2, у2). Координаты точки
М(x, у), делящей отрезок АВ в отношении , определяется по формулам:

3. В частности, при делении отрезка пополам (l= 1)

Все виды уравнений прямой.

а) уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2):

б) уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y =kx + b k - угловой коэффициент,

b - отрезок на оси Оy, прямая

не параллельна оси Оу;

в) уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

у – у0 = k (х – х0), k - угловой коэффициент
(х0 ,у0 ) - координаты точки,

лежащей на прямой,

прямая не параллельна оси Оу;

г) уравнение прямой в отрезках:

а - отрезок на Ох,

b - отрезок на Оу,

прямая не проходит через точку 0 (0,0);

д) уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а, а - отрезок на Ох;

е) уравнение прямой, параллельной оси Оx:

y = b, b - отрезок на Оу;

ж) общее уравнение прямой:

Ах + Ву + C = 0,

А и В не равны нулю одновременно.

4. Угол j, отсчитанный против часовой стрелки от прямой
у = k1х + b1 до прямой у = k2х + b2 определяется формулой:

а) Условие параллельности: k1 = k2.

б) Условие перпендикулярности:

5. Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых А1х + В1у + С1,= 0 и А2х + В2 у + C2 = 0, нужно решить совместно их уравнения.

6. Расстояние от точки (x0;y0) до прямой Ax+By+C = 0:

Задача 1: Даны координаты вершин треугольника АВС:
А(-4,8); В(5,-4); C(10,6).

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3)внутренний угол A 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ; 6)сделать чертеж.

Решение:

1. Расстояние d между точками M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) определяется по формуле:

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

2, Уравнение прямой, проходящей через точки M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2), имеет вид:

(1)

Подставив координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

3y – 24 = -4x - 16, 4x + 3y – 8 = 0 (AB).

Для нахождения углового коэффициента kAB прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y:

Отсюда . Подставив в формулу (1) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

x + 7y – 52 = 0 (AC).

Отсюда

3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле:

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем, подставив в формулу

рад.

4. Так как высота CD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку
M1(x1; y1) в данном направлении имеет вид:

Подставив координаты точки С и получим уравнение высоты CD:

(CD)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

откуда x = 2, y = 0, то есть D(2; 0).

Чтобы найти уравнение медианы AE, определим координаты точки E, которая является серединой отрезка ВС. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам.

Следовательно, E (7,5;1)

Подставив координаты точек А и Е в уравнение прямой, проходящей через две данные точки находим уравнение медианы:

(AE)

Тема 2. Определители и системы линейных уравнений

Определителем (или детерминантом det А) второго порядка называется число:

.

Определителем третьего порядка, называется число, определяемое равенством:

Чтобы запомнить — используем правило треугольников

Если в определителе вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых находится некоторый элемент аij, то полученный в результате определитель называется минором и обозначается Мij.

Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное. Обозначают: Аij = (-1)i+jМi j.

Основные свойства определителей третьего порядка:

1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером. Это свойство выражает равноправность строк и столбцов.

2. При перестановке двух строк (или столбцов), определитель меняет знак на противопо­ложный, сохраняя абсолютное значение.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

6. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствую­щие этим элементам алгебраические дополнения.

Пример: Вычислить определитель

а) По свойству 6 разложим определитель по элементам первой строки

б) Вычислим определитель по правилу треугольников

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера нужно вычислить определители D, Dx, Dy, Dz

где D - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

Dx, Dy, Dz - получены из D заменой столбцов коэффициентов при х, у, z соответственно на столбец свободных членов. При этом, если:

1) D¹0, система имеет единственное решение

- формулы Крамера

2) D = Dx = Dy = Dz = 0, система не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

3) D = О и хотя бы один из Dx, Dy, Dz, отличен от нуля, решений нет.

Задача 2. Решить систему линейных уравнений:

Решение: определитель системы

= 15 – 8 – 1 – 4 – 3 – 10 = -11

Т. к. , система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера.

Ответ: x=-1, y=3, z=2.

Метод Гаусса
(или метод последовательного исключения неизвестных).

Для упрощения вычислений поменяем местами 1 и 2 уравнения. Исключим неизвестное х из всех уравнений системы, кроме 1. Для этого умножим первое уравнение на минус 3 и сложим со вторым, далее, умножим первое уравнение на минус 4 и прибавим к третьему.

х+ у - z =0 ∙(-3) ∙(-4)

3x+2y+ z = 5 + +

4х - y+5z = 3

 

x + у - z = 0 x + у - z = 0

- y+4z = 5 Изменим знаки во второй строке y-4z=-5

-5y+9z = 3 -5y+9z=3

Исключим у из уравнения (3). Для этого умножим второе уравнение на 5 и сложим с третьим.

х+у –z = 0

у - 4z =

-5y+9z = 3 +

x + у - z = 0

y - 4z = 5

-11z = -22 :(-11)

Система привелась к треугольному виду

x + у - z = 0

у -4z = 5

z = 2

Из третьего уравнения z=2, подставим во второе

y = -5 + 4z = -5 + 4×2 = -5 + 8 = 3

Из первого уравнения найдем х = - y + z = -3 + 2 = -1

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2

Практически удобно приводить к ступенчатому виду не саму систему, а матрицу (таблицу чисел), составленную из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Тема 3. Предел функции

Примем следующие соглашения:

(-¥) + x = x +(-¥) = -¥ при любых действительных x

(+¥) + x = x +(+¥) = +¥

(-¥) + (-¥) = -¥; (+¥) + (+¥) = +¥

(-¥) × x = -¥, если x > 0 (+¥) × x = +¥, если x > 0

+¥, если x < 0 -¥, если x < 0

(-¥) × (-¥) = (+¥) × (+¥) = +¥

(-¥) × (+¥) = (+¥) × (-¥) = -¥

Следующие символы не определены и называются неопределенностями:

(-¥) + (+¥), (+¥) + (-¥), (-¥) - (-¥), (+¥) - (+¥),(-¥) × 0,
0 × (-¥), (+¥) × 0, 0 × (+¥),

, , , ,

Число А называется пределом функции f при x ® a если, по мере того как x приближается к а

– будь то справа или слева, - значение f(x) неограниченно приближается (стремится) к А.

Обозначают: .

Функцию f(x) называют бесконечно малой (б. м.) при x ® a, если

Функция f(x) называется бесконечно большой (б. б.) при
x ® a, если абсолютное значение функции неограниченно возрастает, т. е. с некоторого момента остается большим любого заранее заданного положительного числа, т. е.

Если функция f(x) является б. б. при x ® a, то функция является б. м. при x ® a и наоборот.

Основные теоремы о пределах

Пусть функции f и g имеют пределы при x ® a и ,

тогда:

1. где с – постоянная.

2.

3.

4.

5. (B

Если символы А + В, А × В, не определены, то теорема “не работает”.

Однако это не означает, что предел не существует или его нельзя найти.

Наша задача - раскрыть неопределенность.

Основные пределы

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Первый замечательный предел

Из первого замечательного предела следует, что:

, , .

Второй замечательный предел

, (e » 2,718281…)

Из второго замечательного предела следует, что:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Раскрытие неопределенностей

1. Неопределенность вида .

а)

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x = 2 приводит к неоп­ределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (x-2). Так как x только стремиться к своему значению, но не совпадает с ним, то множитель (x - 2) отли­чен от 0 при x ® 2:

а)

Замечание: в общем виде квадратный трехчлен разлагается на множители следующим образом: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где

или делим многочлен на (x – х0), где х0 – корень многочлена.

б) , воспользуемся первым замечательным пределом .

Имеем: 1

1

2. Неопределенность вида .

Разделив числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень x, т. е. на 2 и используя основные теоремы о пределах, получим:

3. Неопределенность вида (1¥).

а)

При x ® ¥ основание (2x – 1)/(2x + 3) стремится к 1, а показатель степени 4x+1 стре­мится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1¥. Представим ос­нование в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины, тогда:

Положим 2x + 3 = -4y, при x ® ¥ переменная y ® -¥. Выразим показатель степени через новую y.

Так как 2x = -4y – 3, то 4x +1 = -8y – 5. Таким образом:

Тема 4. Производная функции

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Dy = f(x) – f(x0) – приращение функции, Dx = x – x0 – приращение аргумента.

Обозначается производная:

Символ dy называют дифференциалом функции и вычисляют по формуле:

или

Основные правила дифференцирования

Пусть и – функции, дифференцируемые в некоторой точке х0,

C = const (постоянная величина), тогда:

1)

2)

3),

4)

Таблица производных

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Производная сложной функции

Пусть y - сложная функция, т. е. y = f(u), u = u(x), или
y = f(u(x)) (f – внешняя функция, u – внутренняя функция).