В качестве элементарной меры вращательного взаимодействия выбирается величина М, называемая моментом силы относительно точки и численно равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы на вектор силы F, то есть М = [r, F]. Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по правилу правого винта. Модуль вектора момента силы равен: М = F×r×sin a = F×l, где a - угол
между векторами r и F, а l = r×sin a - плечо силы F, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F.
Закон изменения момента импульса твердого тела (системы материальных точек) или уравнение моментов имеет вид: dL/dt = Мвнеш
– быстрота изменения момента
импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на тело.
Основное уравнение Мz = Jez динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение e оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость.
14. Момент инерции материальной точки. Момент инерции тела. При-
вести примеры. Теорема Штейнера.
Основное уравнение Мz = Jez динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение e оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость. Момент инерции материальной точки Ji = miri2 пропорционален квадрату расстояния ri
от точки до оси вращения. С ростом массы m и при неизменном расстоянии r до оси вращения, та же сила F сообщает материальной точке меньшее линейное ускорение (по 2-му закону Ньютона), а соответственно и угловое ускорение e = а/r. С удалением точки от оси вращения возрастает момент М одной и той же силы F: М = Fr и уменьшается угловое ускорение e = а/r = F/mr, а момент инерции J = М/e = Fr/(F/mr) = mr2 возрастает квадратично расстоянию до оси вращения (радиусу окружности). Момент инерции, как и масса тел, оказывается аддитивной характеристикой, то есть результирующий момент инерции твёрдого тела (системы материальных точек) равен сумме моментов инерции составляющих его частиц:
J = SJк = Smкrк2
В случае непрерывного распределения точек /массы/ сумма в выражении для момента инерции заменяется интегралом: J = òrк2dm = òrr2dV
Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от её распределения относительно оси вращения. Для некоторых симметричных и однородных тел момент инерции Jс относительно оси, проходящей через центр симметрии С (центр масс или центр инерции) выражается следующими формулами:
1. Колесо /обод/, полый цилиндр: Jс = mR2
2. Диск, сплошной цилиндр: Jс = mR2/2
3. Шар: Jс = 2mR2/5
4. Стержень: Jс = ml2/12
При параллельном переносе оси вращения на расстояние а от центра инерции момент инерции тела массой m возрастает на mа2, т. е. J = JС + mа2. В этом состоит суть теоремы Штейнера. Выведем эту теорему.
Дано твердое тело (система материальных точек).
Проведем две параллельные оси; одну через центр масс С тела и другую через точку О, отстоящую от центра масс на расстояние а. На рисунке оси перпендикулярны плоскости чертежа. Выделим в твердом теле некоторую элементарную массу Dmi. Проведем в нее из точек С и О векторы Ri и ri.
Из чертежа видно, что ri = а + Ri. Возведем это равенство в квадрат: ri2 = а2 + 2а×ri + Ri2. Умножим его на Dmi и просуммируем по всем элементарным массам (точкам) тела: SDmi×ri2 = а2SDmi + 2аSDmi×Ri + SDmi×Ri2.
Первая сумма SDmi×ri2 в полученном равенстве представляет собой момент инерции J
тела относительно точки О, а последняя сумма SDmi×Ri2 представляет собой момент инерции JС тела относительно центра масс. Так как SDmi равна массе m всего тела, то слагаемое
а2SDmi = mа2. И, наконец, вспоминая определение радиус-вектора центра масс:
RС = (1/m)SDmi×Ri, видим, что сумма SDmi×Ri = m×RС представляет собой произведение массы тела на радиус-вектор RС центра масс тела. Но так как здесь радиус-вектор RС задается относительно самого центра масс, то он получается равным нулю. В итоге написанное выше равенство примет вид
J = mа2 + JС, который и представляет собой теорему Штейнера.
15,16. Момент импульса материальной точки. Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. Примеры.
В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки mi относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина Li, называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора ri материальной точки на ее импульс рi = miui: Li = [ri, рi]
Вектор Li направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора Li поворот вектора ri к вектору рi виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки
Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов Li, составляющих систему (тело) точек:
L = SLi = S[ri, рi]
Закон сохранения момента импульса замкнутой системы.
Для замкнутой системы, на которую не действуют внешние тела или действие их взаимно скомпенсировано, из уравнения моментов вытекает: для МS = 0 (условие замкнутости тела для вращательного движения – результирующий момент внешних сил, действующих на тело, должен быть равен нулю) dL/dt = 0 => L = const. Это равенство и выражает собой закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) замкнутой системы. Так же, как и рассмотренные ранее законы сохранения других мер движения - импульса и энергии, этот закон является отражением
некоторого свойства симметрии пространства - времени, а именно - изотропии пространства,
т. е. равноправия всех направлений в нем. Этот закон, как и другие законы сохранения, является эффективным средством решения основной задачи механики - расчёта координат /положений/ и скоростей тел. При вращательном движении системы тел внутренние взаимодействия могут перераспределять полный импульс системы между отдельными телами или их частями, не изменяя его суммарного значения.
18,19,20,21,22,23. Работа. Мощность. Работа постоянной и переменной силы.
Наряду с векторным подходом к решению основной задачи механики, в физике широко используется и более общий скалярно-энергетический подход. В нём в качестве динамической меры движения выступает более универсальная величина, не имеющая уже векторного характера, называемая кинетической энергией Ек.
Если элементарное изменение импульса dР точечного (твердого) тела определялось действием силы F на временном интервале dt, а именно - импульсом силы Fdt, то элементарное
изменение кинетической энергии dEк определяется действием силы на пространственном
интервале dr, называемом работой силы dА = Fdr.
Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Н×м.
Работа силы - величина скалярная, но алгебраическая, т. е. имеющая знак. Если она ускоряет тело, увеличивает его кинетическую энергию - она положительна. Если же она тормозит тело, то её значение будет отрицательным; такова работы сил трения, сопротивления. Если при действии силы на тело, его скорость не изменяется по модулю, работа силы равна нулю.
Элементарная работа силы dA = Fdr = Fdr×cos (F dr) = F×drF зависит от угла между силой F и перемещением dr тела. Сила, перпендикулярная перемещению dr (и скорости u = dr/dt) тела, работы не совершает, она изменяет лишь направление скорости, сообщая телу вращательное движение.
Постоянная сила F, действующая под углом a к перемещению тела и его скорости, на прямолинейном пути s совершает работу равную:
А = F×s×cos a.
Нa графике F/x/ работа пропорциональна площади фигуры между кривой F(х) и осью х.
Быстрота совершения работы (быстрота изменения кинетической энергии) называется мощностью N силы и она равна: N = dЕк/dt = dА/dt = Fdr/dt = Fu = Fu×cos (F^dr). [Н×м/с = Дж/с = Вт].
Мгновенная мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени при равномерном совершении работы. Средняя же мощность численно равна отношению работы А
ко времени t ее совершения, то есть:
N = А/t Þ А = Nt.
Имеет место аналогия: силы - как быстроты изменения импульса тела F = dР/dt и мощности N = dЕк/dt, как быстроты изменения кинетической энергии. Импульс Р и кинетическая энергия Ек, являющиеся соответственно векторной и скалярной динамическими мерами движения, также просто взаимосвязаны:
Р = mu; Ек = mu2/2 = m2u2/2m = Р2/2m. Итак,
Ек = Р2/2m и Р = Ö2mЕк.
Энергия. Виды механической энергии. Кинетическая энергия. Вывод формулы кинетической энергии.
Энергия – физическая клоичественнная вел-на, характеризующая движение и взаимодействие материй. (яднрная, мех-я, тепл-я, атомная, эл. магнитная)
Потенциальная энергия – мех энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.
Кинетическая энергия – энергия упорядоченного движения тела.
Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который прошло тело за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела dA=dT. Используя закон Ньютона F=m(dv/dt) и уможая обе части равенства на перемещение dr, получим
F dr=m(dv/dt)dr = dA
Т. к. v=dr/dt то dA=mv dv=mvdv = dT,
откуда T= int(0-v)(mvdv)=mv2/2
T=mv2/2
Р = mu; Ек = mu2/2 = m2u2/2m = Р2/2m.
Итак, Ек = Р2/2m и Р = Ö2mЕк.
Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и потенциальной энергией. Градиент потенциальной энергии. Условие равновесия системы.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории и характера движения при переходе системы из начального состояния в конечное, а определяется только взаимным положением тел системы, называются консервативными. Работа консервативных сил по замкнутой траектории равняется нулю. Все силы, работа которых по замкнутому контуру не равняется нулю, называются неконсервативными. К неконсервативным относятся диссипативные силы. Суммарная работа всех внутренних диссипативных сил системы на любом участке траектории отрицательна в любой произвольно выбранной ИСО. Диссипативными являются силы трения, сопротивления. К диссипативным относятся все силы, которые могут быть представлены в виде:
F = -h(υ)·υ,
где υ - относительная скорость движения тел;
h(υ) - положительный коэффициент, который в общем случае
может зависеть от скорости
Связь между силой и потенциальной энергией.
Работа консервативных сил не зависит от формы траектории. Следовательно, потенциальная энергия, изменение которой, взятое с обратным знаком, равно этой работе, может служить характеристикой силового поля. Про тела, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией.
Потенциальная энергия - физическая величина, показывающая, какую работу могут совершить внутренние консервативные силы над телом.
Установим связь между потенциальной энергией и силами, формирующими это потенциальное поле. Рассмотрим сначала одномерное движение частицы под действием некоторой внутренней консервативной силы Fx. Исходя из определений элементарной работы и потенциальной энергии, имеем: dA = Fxdx = - dEп. (7.16)
Следовательно, Fx = - dEп/dx, т. е. проекция силы есть производная от потенциальной энергии по координате. В случае трехмерного движения каждая составляющая проекции вектора силы зависит от скорости изменения потенциальной энергии в пространстве аналогичным образом. Тогда в соответствии с принципом суперпозиции вектор силы равен градиенту Eп:
Вектор называется градиентом функции f(x, y, z).
f(x, y, z) - некая произвольная функция, зависящая от переменных x, y и z;
Вектор градиента направлен в сторону наиболее быстрого изменения функции. Таким образом,
вектор силы равен градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.
F = - grad(Eп)
. Работа и энергия упругих сил и сил тяготения. Потенциальная
энергия тела, поднятого над землей.
1) Сила тяжести:
А12 = òFdr = ò- mg×dу = mgh1 - mgh2 = Еп1 - Еп2 = - DЕп
Þ Еп = mgh + const
2) Сила упругости:
А12 = òFdr = ò-kх×dх = kх12/2 - kх22/2 = Еп1 - Еп2 = - DЕп, где Е п = kх2/2 + const
Из приводимых выше формул видно, что, измеряя работу потенциальных сил, можно найти только разность потенциальных энергий, то есть сама потенциальная энергия определяется неоднозначно, а именно - с точностью до константы.
Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии (энергии взаимодействия) и идёт на приращение кинетической энергии тела (энергии движения):
А12 = DЕк = - DЕп или Ек2 - Ек1 = Еп1 - Еп2 Þ Ек1 + Еп1= Ек2 + Еп2
Консервативные и неконсервативные силы. Закон сохранения энергии в механике
Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы траектории по которой движется тело и определяется в начальной и конечной точках траектории; работа этих сил по замкнутому контуру = 0 Диссипатиыные силы – силы, работа которых зависит от формы траектории по кторой движется тело. Полная механическая энергия тела, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, остается при его движении под действием консервативных сил неизменной, т. е. сохраняется. Она может лишь переходить в эквивалентных количествах из одного вида (энергии движения) в другой (энергию взаимодействия) и наоборот. Это утверждение и представляет собой суть
закона сохранения энергии замкнутой консервативной механической системы (ЗСМЭ)
32,33,34,35.36, Гармонический осциллятор. Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонического осциллятора. Вероятность местонахождения гармонического осциллятора.
Так как сила упругости - консервативная, то полная механическая энергия Е = Ек + Еп груза, колеблющегося на пружине, должна, в соответствии с законом сохранения механической энергии, оставаться в процессе колебаний неизменной
Еп = kх2/2 = (kА2/2) cos2(wt + jо= Еп макс cos2(wt + jо), где Еп макс = kА2/2.
Ек = mu2/2; u = dх/dt = - А×w sin (wt + jо) = wА cos (wt + jо + p/2).
Скорость при гармонических колебаниях опережает на 90° по начальной фазе смещение х.
Ек = (m×w2А2/2) sin2(wt + jо) = Ек макс sin2(wt + jо), где Ек макс = m×w2А2/2.
Так как w2 = k/m, то Ек макс = mw2А2/2 = kА2/2 = Еп макс
Полная же энергия гармонических колебаний груза на пружине:
Е = Ек + Еп = (kА2/2)×[cos2 (wt + jо)+ sin2(wt + jо)] = kА2/2 = Еп макс = Ек макс.
Так как cos2 a = (1 + cos 2a)/2, a sin2 a = (1 - cos 2a)/2, то кинетическая и потенциальная энергии изменяются по гармоническому закону, но с удвоенной, по сравнению со смещением х, частотой и со сдвигом начальных фаз в 180° друг относительно друга, так, что их сумма остается неизменной.
Покажем, как энергетический подход позволяет получить ДУСГК:
Из закона сохранения механической энергии в дифференциальной форме следует:
d(Ек + Еп) = 0; d[m(хt¢)2/2 + kх2/2] = 0; m×хt¢¢ + kх = 0 Þ хt¢¢ + w2х = 0, где w2 = k/m.
Приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, сразу можно получить выражение для угловой частоты w и периода
Т = 2p/w свободных гармонических колебаний груза на пружине:
mw2А2/2 = kА2/2 Þw = Ök/m; Т = 2pÖm/k
Физический и математический маятники. Уравнение движения маятника. Период колебаний.
Маятником называют колебательную систему, совершающую колебания вокруг оси под действием момента силы тяжести, которая играет роль упругой /возвращающей/ силы. Маятником может служить любое тело, подвешенное в точке, не совпадающей с центром тяжести /центром масс/ тела.
Рассмотрим общий случай маятника, называемого физическим, а из найденных для него формул получим соответствующие выражения для частного случая маятника, называемого математическим. Обозначим: О – точка подвеса, С – центр тяжести.
При отклонении маятника от положения равновесия на угол j, возникает возвращающий момент силы тяжести: М = - mgl×sin j. Маятник, его точки, будут совершать колебания по криволинейной траектории – дуге окружности вокруг оси качания. Поэтому в силовом подходе для анализа движения физического маятника используем основной закон /уравнение/ динамики вращательного движения твёрдого тела: М = Je = J×d2j/dt2 = - mgl sin j,
где J - момент инерции маятника относительно оси качания. Для малых амплитуд колебаний:
sin j » j и J×d2j/dt2 » - mgl j Þ
d2j/dt2 + mglj/J = 0 или: d2j/dt2 + w2j = 0
- дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника,
где циклическая частота w свободных колебаний физического маятника: w Ö(mgl/J) = Ö(mgl/J)
Решение полученного уравнения для малого углового отклонения точек маятника
от положения равновесия имеет стандартный вид гармонической функции: j = А×cos (wt + jо). Угол отклонения изменяется со временем по гармоническому закону с циклической частотой
и периодом Т = 2p/w = 2pÖ(J/mgl). Для математического маятника, представляющего собой материальную точку, подвешенную на длинной, невесомой и нерастяжимой нити, момент инерции J = ml2, где l - длина нити. Подставляя это выражение для момента инерции математического маятника в общее выражение для периода свободных колебаний, получаем: Т = 2pÖ(l/g). С ростом длины нити растёт возвращающий момент силы тяжести: М » mglj, но ещё быстрее растёт момент инерции маятника J = ml2. В итоге, доминирует замедление колебаний, возрастание времени цикла, т. е. Возрастание периода Т колебаний. С ростом g (например, на более тяжёлой планете, чем Земля) растёт возвращающий момент силы тяжести mg, убыстряющий движение маятника и уменьшающий его период. Период Т гармонических колебаний не зависит от их амплитуды (свойство изохронности). Это можно пояснить тем, что, с одной стороны, с ростом амплитуды возрастает проходимый осциллятором путь (линейный у груза на пружине и угловой - у маятников), но, с другой стороны, возрастает возвращающий момент, ускоряющий движение маятника и компенсирующий (при небольших амплитудах колебаний) возрастание амплитуды, пути. Период Т свободных гармонических колебаний маятника не зависит и от его массы, которая является одновременно и мерой инертности, и мерой гравитации (силы тяжести).
Если для физического маятника ввести такую характеристику, как приведённая длина: lпр = J/ml, можно унифицировать формулы для периодов колебаний физического и математического маятников. Период колебаний физического маятника запишется в виде: Т = 2pÖ(lпр/g)
- подобно формуле для периода математического маятника.
Приведённая длина физического маятника численно равна длине такого математического маятника, период которого равен периоду физического маятника. Эта формула лежит, например, в основе метода определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Разделённые расстоянием lпр, точка подвеса О и центр качания О¢, являются взаимными, т. е. период Т колебаний маятника один и тот же, в случаях подвеса маятника в точке О и точке О¢. Определяя, опытным путём lпр и Т, рассчитывают g = 4p2lпр/Т2.
37. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, время релаксации, коэффициент затухания, декремент.
Проведём физико-математический анализ собственных (затухающих) колебаний применительно к грузу на пружине. Используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона. Силу сопротивления зададим в виде: Fcопр = - ru , где r - коэффициент сопротивления вязкой среды. Запишем второй закон Ньютона для груза массой m, колеблющегося в вязкой среде на пружине с жесткостью k: mа = FS; FS = Fупр + Fсопр = - kх – ru , или для одномерного случая: mx" = - kх – rх' = Þ х" + 2×(r/2m)х' + (k/m)х = 0 Þ х" + 2bх¢ + wо2х = 0 Полученное дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний (ДУСГК) наличием члена, содержащего первую производную х' от смещения х и отражающего собой действие силы сопротивления. Под b = r/2m обозначен коэффициент затухания - отношение мер сопротивления и инертности. За wо = Ö(k/m) обозначена частота свободных колебаний, т. е. в отсутствии сопротивления, при r = 0.
Для решения полученного дифференциального уравнения затухающих колебаний сведём его путём замены переменной х = z×е–bt к уравнению свободных гармонических колебаний.
Выразим первую и вторую производные х и подставим их в ДУЗК:
х' = d/dt(z×е–bt) = z¢е-bt - bz¢e-bt; х" = z¢¢e-b t + b2ze-bt - bz¢e-bt - bz¢e-bt = z¢¢e-bt - 2bz¢e-bt + b2ze-мt;
(z¢¢ - 2bz¢ + b2z + 2bz¢ - 2b2z + wо2z)e-bt = 0 Þ z¢¢ + (wо2 – b2)z = 0 или: z¢¢ + w2z = 0,
где w2 = wо2 - b2.
В новой переменной z дифференциальное уравнение затухающих колебаний свелось
к известному дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (ДУСГК), решение которого имеет стандартный вид гармонической функции z = Аоcos(wt + j).
Осуществляя обратный переход к исходной переменной х, получим:
х = z×е–dt = Аоe-dtcos (wt + j) = Аcos (wt + j) - уравнение затухающих колебаний, где А = Aоe-dt - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону.
Коэффициент затухания d определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.
Помимо убывания амплитуды колебаний, сопротивление среды приводит к понижению циклической частоты w затухающих колебаний w = Ö(wо2 – d2) в сравнении с частотой wо свободных колебаний. Это можно объяснить тем, что сила сопротивления, будучи направленной против скорости (перемещения) груза, замедляет его движение, увеличивая длительность цикла (период), уменьшая частоту w.
При достаточно большом затухании (удельном сопротивлении d = r/2m) b ³ wо колебательный характер процесса возвращения к положению равновесия системы, выведенной из него, исчезает, превращаясь в монотонно убывающий процесс, называемый апериодическим. В этом случае трение, диссипация преобладают над упругостью. Такой режим реализуется, например, для движения рамки электроизмерительных приборов.
Коэффициент затухания d может быть осмыслен через обратную ему величину - время
релаксации t = 1/d, за которое, как нетрудно видеть, амплитуда колебаний убывает в е = 2,72 раз. Действительно, за время t = t = 1/d, A = Aо×e-dt = Aо×e-d×1/d = Aо×e-1 = Aо/e.
Коэффициент d недостаточно полно характеризует быстроту затухания колебаний, ибо
из него неясно, сколько периодов колебаний (естественных масштабов времени) совершается
за время релаксации. Коэффициент затухания d характеризует быстроту спадания лишь огибающей колебаний. Поэтому вводят такую характеристику затухания колебаний, как декремент затухания D, равный отношению значений двух соседних амплитуд (амплитуд, разделённых периодом):
D = А(t)/А(t + Т) = Aо×e-dt/Aо×e-d(t + Т) = e-dt/e-dt e-dТ = edТ - изменение амплитуды за время, равное периоду Т.
На практике удобнее пользоваться логарифмическим декрементом q (или l) затухания колебаний: q = ln D = ln [А(t)/А(t + Т)] = ln edТ = dТ; q = dТ = T/t. Его наглядный смысл может быть представлен через величину Nе - число колебаний,
совершающихся за время релаксации t, обратным которому и является q: q = T/t = 1/(t/Т) = 1/Nе, где Nе = t/Т.
Затухание колебаний фактически приводит к нарушению не только гармонического характера, но и периодического, ибо нет строгой повторяемости значений изменяющихся величин по причине их убывания. Отсюда следует, что периодические и гармонические колебания возникают при условии малого затухания (малого сопротивления среды, малой диссипации механической энергии колебаний).
39,40,41. Понятие идеального газа. Основные газовые законы. Уравнение состояния идеального газа. Универсальная газовая постоянная.
Идеальный газ – газ размерами молекул к-рого можно пренебреч; между молекулами отсутствуют силы взаимодействия; столкновение молекул друг с другом и со стенками сосуда считаются абс. упругими.
Основными величинами, характеризующими поведение и свойства газа, являются объём V, давление Р и температура Т. Первые две характеристики переходят в физику теплового движения из механики. Например, механический смысл давления - удельная (на единицу площади) сила нормального давления: Р = F^/S [Н/м2 = Па; Паскаль]. Последняя же величина - температура Т является новой для механики и специфической характеристикой именно теплового движения. В эмпирическом подходе температура является мерой некоторого интуитивно представляемого свойства нагретости тел. Существует две наиболее распространённые шкалы температуры - термодинамическая /шкала Кельвина/ и Цельсия. Связь между ними выражается соотношением: Т = t° + 273 /К/.
Эмпирически было установлено, что названные выше три характеристики многочастичной системы, её теплового движения являются взаимосвязанными. Их связь, называемая уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева - Клапейрона, имеет следующий вид: РV = (m/М)RT, где m - масса газа, М - молярная масса газа и
R = 8,31Дж/(моль×К) - молярная газовая постоянная. Так как она постоянна для всех газов,
ее еще называют универсальной газовой постоянной.
Молярной массой называют массу одного моля, т. е. единицы количества вещества. Моль любого вещества содержит число частиц /структурных или просто, каким либо образом выделенных, специфицированных единиц вещества/, равное числу Авогадро NА = 6,02×1023 моль-1.
Отношение массы m газа к его молярной массе М равно числу n молей, т. е. количеству вещества: m/М = n. Единица количества вещества - моль, относится к основным единицам в СИ, наряду с секундой, метром, килограммом.
Количество вещества n является аддитивной характеристикой, то есть nS = n1 + n2 + … + nk = (m/М)1 + (m/М)2 + … + (m/М)k Из РV = (m/М) RT следует, что при одинаковых давлениях и температурах молярные (m/М = 1) объемы Vм различных газов одинаковы и, в частности, при нормальных условиях: Vм = RТ/Р = Vм о = RТо/Ро = 22,4 л – закон Авогадро. На практике употребляется ещё одна форма уравнения состояния идеального газа, выражаемая для давления и использующая другую константу, называемую постоянной Больцмана: Р = (m/МV)×RT = NmоRТ/VNАmо = NRТ/VNА = nkТ,
где mо - масса одной молекулы газа; N - полное число молекул газа; n =N/V - концентрация молекул газа /их число в единице объёма/; k = R/NА - постоянная Больцмана: k = 1,38×10-23 Дж/К. Согласно опытному закону Дальтона, если газ включает в себя смесь из k различных газов, давление, которое он оказывает на стенки сосуда, равно сумме давлений, оказываемых отдельными газами (сумме так называемых парциальных давлений): Р = Р1 + Р2 + . .+ Рk
Молекулярно-кинетический и термодинамический подходы в молекулярной физике. Основные положения молекулярно-кинетической теории строения вещества и их опытное подтверждение. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории.
Основные положения МКТ:
Все тела состоят из мельчайших частиц
Молекулы в-ва находятся в непрерывном хаотическом движении называемым тепловым
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
