Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости (стр. 3 )

Между молекулами в-ва существ силы взаимодействия

Осн. У-ние МКТ: P=mn<v2>/3; n=N/l3- концентрация молекул

P=(2/3)nm<v2>/2 = (2/3)n<Ek>

42,43. Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости. Характерные скорости молекул: средняя и средняя квадратичная, наиболее вероятная. Их вычисления. Экспериментальная проверка закона

распределения Максвелла.

Распределение Максвелла (функция распределения молекул идеального газа по скоростям).

Максвелл исходил из естественного предположения о том, что число молекул dNu, скорости которых попадают в интервал от u до u + du, пропорционально общему числу N молекул и ширине интервала du скоростей, зависит от значения скорости u, вблизи которой берется интервал du, то есть: dNu = f(u)×N×du, где f(u) - коэффициент пропорциональности, зависящий от значения скорости и называемый функцией распределения вероятностей молекул по значениям скорости. Он имеет смысл вероятности, отнесённой к ширине интервала значений величины (в данном случае – скорости): f(u) = dNu/Ndu = dР/du, где: dР = dNu/N - вероятность того, что скорость молекулы находится в интервале значений от u до u + du. Функция же распределения f(u) = dР/du есть плотность вероятности, т. е. удельная
(в расчёте на единичный интервал значений величины) вероятность, уже не зависящая от ширины интервала, и являющаяся функцией только значений самой величины (скорости, применительно к распределению Максвелла). В состоянии термодинамического равновесия функция распределения не зависит от времени и выражает устойчивое распределение вероятностей тех или иных значений статистической величины, характеристики макросистемы.

Для функции распределения справедливо условие нормировки, формально заключающееся в равенстве единице интеграла от неё по всей области задания её аргумента:

Это условие выражает собой вероятность достоверного события, а именно того, что соответствующая величина (в распределении Максвелла это скорость) хотя бы каким то значением обладает. Естественно, что вероятность такого события равна 100 %, т. е. единице.

Так как наглядный геометрический смысл интеграла от функции - площадь фигуры между графиком функции и осью ее аргумента, то условие нормировки требует, чтобы эта площадь при всех изменениях, происходящих с функцией распределения, оставалась неизменной.

Максвеллом были получены следующие выражения для функций распределения молекул идеального газа по скоростям их теплового /хаотического/ движения:

а/ по проекции скорости: f(uх) = (mо/2pkТ)1/2×

б/ по модулю скорости: f(u) = (mо/2pkТ)3/2×××4pu2

где: mо - масса молекулы, k = 1,38×10-23 Дж/К - постоянная Больцмана.

Абсолютная температура Т играет роль параметра функции распределения.

Для разных температур кривые функции распределения Максвелла по проекции и по модулю скорости имеют следующий вид:

В силу равноправия положительного и отрицательного направлений движения вдоль
любой оси функция распределения Максвелла, по проекции скорости оказывается симметричной относительно нулевого значения проекции (у нас – uх), на которое и приходится её максимум. Это объясняется вкладом, большого числа молекул, движущихся вдоль двух других осей (Z и U), т. е. перпендикулярно оси Х, c uх = 0.

Максимум функции распределения Максвелла по модулю скорости приходится на значение, называемое наивероятнейшей скоростью uнв, которое можно определить исходя из условия экстремума функции распределения: при u = uнв, df/du = 0 Þ uнв = Ö(2kТ/mо) = Ö(2RТ/М).

Наивероятнейшая скорость однозначно определяется температурой, будучи пропорциональной ей. Температура здесь выступает в роли параметра, определяющего характерные черты функции статистического распределения молекул идеального газа по скоростям их теплового движения. Интуитивное представление о температуре как мере "нагретости" тела приобретает здесь следующую конкретизацию: температура и "нагретость" тела определяются наиболее вероятными значениями скоростей внутреннего хаотического движения молекул, будучи пропорциональными им. Более нагретое тело обладает в среднем более быстро движущимися молекулами. График функции распределения вероятностей скоростей теплового движения у более нагретого тела сдвинут вправо, в область больших скоростей.

В целом рост температуры приводит к понижению обеих функций распределения (по проекции и по модулю скорости) по максимуму (высоте) и одновременному расширению, расплыванию максимума, так что площади под кривыми для разных температур должны оставаться неизменными (в силу условия нормировки). Температура, таким образом, выступает здесь и мерой разброса (дисперсии) значений скорости во всё большем интервале значений. При нулевой температуре, согласно классической статистике Максвелла, тепловое движение прекращается, функция распределения стягивается в вертикальную линию с единственно допустимым нулевым значением скорости: uх = 0 и u = 0 [f(u) = d(u) = 0, при u ¹ 0].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Функция статистического распределения важна тем, что с её помощью можно

вычислять средние (статистически усредненные) значения любых величин, являющихся функциями её аргумента. Так, распределение Максвелла по модулю скорости позволяет определять такие важные статистические (усреднённые) характеристики теплового движения молекул, как среднюю арифметическую и среднюю квадратичную uкв скорости молекул:

= (u1 + u2 + … + uN)¤N = (1¤N)= (1¤N)= = Ö(8kТ¤pmо) = Ö(8RТ¤pМ),

uкв2 = (u12 + u22 + … + uN2)¤N = (1¤N)= (1¤N)= = (3kТ¤mо) = (3RТ¤М) Þ uкв = Ö<u2> = Ö(3kТ¤mо) = Ö(3RТ¤М).

Как видно из выражений для наивероятнейшей, средней арифметической и среднеквадратической скоростей молекул идеального газа: uнв = Ö(2kТ/mо), = Ö(8kТ¤pmо) и uкв = Ö(3kТ¤mо) их значения соотносятся как uнв : : uкв = 2 : 8/p : 3 = 1 : 1,13 : 1,22. Несовпадение максимума распределения с его средним значением говорит о несимметричности функции распределения. Тот факт, что среднее значение скорости смещено вправо (в область больших значений) по сравнению с наиболее вероятным (приходящимся на максимум функции распределения), говорит о том, что больше молекул движутся со скоростями превышающими наивероятнейшую, то есть площадь под функцией распределения справа от максимума больше, чем слева.

Полученное выражение для квадрата среднеквадратичной скорости uкв2 = (3kТ¤mо) позволяет дать температуре трактовку меры средней кинетической энергии молекул идеального газа. Действительно, из него следует, что mо<u2>/2 = 3kТ/2 – средняя кинетическая энергия молекулы (её поступательного движения), зависит только от температуры газа.

С приведённым выше соотношением можно связать и такой важный закон классической статистики, как закон равномерного распределения энергии по степеням свободы движения (ЗРРЭСС). Т. к. в поступательном движении имеется 3 степени свободы движения (под степенями свободы здесь понимаются элементарные, то есть простейшие, неразложимые далее движения) - вдоль трёх взаимно-перпендикулярных осей, то на одну степень свободы приходится энергия равная kТ/2.

В общем случае не одноатомной молекулы она может обладать ещё и степенями свободы вращательного движения как целого и колебательного, если её атомы связаны упругими, нежёсткими силами. И тогда её полная кинетическая энергия, согласно ЗРРЭСС, выразится формулой: Ек = ikТ/2, где i - полное число степеней свободы движения молекулы. Для одного моля: ЕкМ = iRТ/2.

Для одноатомной молекулы (материальной точки) i = 3 - три степени свободы поступательного движения молекулы вдоль осей Х, U, Z.

Для двухатомной молекулы с жёстко связанными атомами к трём степеням свободы поступательного движения добавляются ещё две степени свободы вращательного движения -
вокруг осей перпендикулярных оси молекулы. Относительно оси молекулы - направления,
соединяющего её атомы, её момент инерции равен нулю, ибо атомы считаем точечными, и она не запасает кинетической энергии Ек = Jw2/2. Соответственно у жесткой трёхатомной молекулы имеют место по 3 степени свободы как поступательного, так и вращательного движений. Если же связи между атомами молекулы носят нежёсткий, упругий характер, то нужно дополнительно учитывать ещё и степени колебательного движения атомов относительно её центра масс.

В отличие от молекул идеального газа, молекулы реальных газов запасают наряду с кинетической энергией еще и потенциальную энергию.

В 1920 г. Штерн осуществил экспериментальную проверку распределения Максвелла
по модулю скорости. В качестве объекта исследования он взял пары атомов серебра, излучаемые нагреваемой электрическим током платиновой посеребренной проволочкой L, расположенной на оси двух коаксиальных цилиндров А и В. При синхронном вращении цилиндров на внутренней поверхности наружного цилиндра В изображение щели а, вырезанной во внутреннем цилиндре А и создаваемое пучком летящих атомов серебра размывалось, что говорило о наличии в пучке атомов, летящих с разными скоростями. Пока атом серебра, летящий со скоростью u, проходит зазор между цилиндрами, равный R – r, они успевают повернуться на угол j = wt = w(R – r)/u. Смещение отпечатка-полоски серебра на поверхности наружного цилиндра на расстояние l = Rj = wR(R – r)/u оказывается зависящим от скорости атомов серебра.

По степени размытости отпечатка щели и толщине осаждаемого слоя атомов Штерн оценил распределение молекул /атомов/ по скоростям и получил хорошее согласие с распределением Максвелла.

В настоящее время вскрыт ограниченный характер справедливости выводов классической статистики Максвелла и, в частности, закона равномерного распределения энергии по степеням свободы движения молекул и прекращения движения молекул при охлаждении тела до нулевой абсолютной температуры Т = 0 К. Обобщение классической статистики на эту и другие ситуации будет проведено в рамках квантовой механики. В ней вскрывается статистическая природа закономерностей движения не только макро коллективов, но и отдельных микрочастиц.

44,45. Функция распределения молекул по координатам. Функция

распределения Больцмана. Барометрическая формула.

Полное статистическое описание теплового движения требует знания функции распределения частиц (молекул) не только по скоростям, но и по координатам. В состоянии равновесия, т. е. в отсутствие внешних возмущающих воздействий, хаотически движущиеся молекулы идеального газа распределены по предоставленному им пространству равномерно, т. е. равновероятны любые их местоположения, любые значения координат молекул. Фактически, однако, молекулы всегда находятся в возмущающем поле силы тяжести, нарушающем их равномерное пространственное распределение. Больцманом было установлено, что для произвольного поля потенциальных сил, задаваемого потенциальной энергией Еп (х, у, z) распределение концентрации частиц подчиняется следующему экспоненциальному закону:

n = nо×е-Еп/kТ - распределение Больцмана,

где nо - равновесная концентрация молекул, соответствующая отсутствию возмущающего внешнего поля, то есть Еп (х, у, z) = 0.

Концентрация молекул экспоненциально убывает с ростом их потенциальной энергии; молекулы «стремятся» занимать места с наименьшей потенциальной энергией.

При Т ® ¥, n ® nо – высокая температура равномерно разбрасывает молекулы.

Согласно экспоненциальному распределению Больцмана, молекулы идеального газа распределяются с большей плотностью там, где их потенциальная энергия меньше. Тепловое же движение стремится "разбросать" молекулы равномерно по всему пространству, выровнять их концентрацию во всём доступном им объёме. Распределение Больцмана позволяет, в частности, дать интерпретацию устойчивости земной атмосферы и получить известную из опыта барометрическую формулу. Т. к. в поле земного тяготения Eп = mоgh, то для молекул воздушного (атмосферного) столба распределение по высоте будет экспоненциально убывающим:

n = nо×е-m gh/kТ, где nо - концентрация молекул воздуха на уровне моря, при h = 0 и Еп (h) = 0.

Поле силы тяжести и тепловое движение – два конкурирующих фактора, обусловливающих в своём противодействии динамически уравновешенное устойчивое состояние нашей атмосферы. Поле силы тяжести препятствует выбросу под действием теплового движения молекул в космос. Тепловое же движение не позволяет силе тяжести собрать все молекулы
на "дне воздушного океана". В итоге и создаётся некоторое неравномерное (экспоненциальное) распределение молекул по высоте.

Барометрическая формула Р = Рое-mgh/kТ, эмпирически описывающая экспоненциальный характер убывания атмосферного давления по мере увеличения высоты h от уровня моря, легко получается из распределения Больцмана, если вспомнить уравнение состояния идеального газа Р = nkТ. Для изотермических условий, т. е. при Т = const, законы изменения Р и n должны быть одинаковыми. Таким образом, из распределения Больцмана n = nо×е-Еп/kТ - следует барометрическая формула Р = Рое-mgh/kТ.

Экспериментальная проверка распределения Больцмана была проведена в опыте Перрена (1909 г), который исследовал распределение по высоте сосуда мельчайших частиц (размер ~ 0,3 мкм) смолы гуммигута, взвешенных в воде /эмульсии/.

Фотографируя картины распределения частиц и подсчитывая по снимкам их концентрацию на разных высотах, Перрен получил: n = nо×е-ah, где a = 1/Т. Он вычислил исходя из распределения n = nо×е-mgh/(RТ/N) число Авогадро NА = RТ/m - и получил NА = 6,8×10-23 моль, т. е. достаточно довлетворительное согласие с истинным значением.

46,47. Явления переноса в газах. Диффузия. Коэффициент диффузии.

Общая характеристика явлений переноса. Коэффициенты явлений переноса.

При выведении макросистемы из состояния термодинамического равновесия, т. е. при
нарушении однородности в пространственном распределении параметров макросистемы - концентрации n, давления Р, температуры Т, в ней возникают направленные потоки, соответственно - вещества /массы/, импульса и теплоты, стремящиеся выровнять распределение параметров по объёму макросистемы, вернуть её в состояние термодинамического равновесия. Можно
назвать три наиболее характерных явления переноса в термодинамически неравновесных системах:

1. Диффузия - перенос массы под действием градиента концентрации /плотности/.

2. Теплопроводность - перенос теплоты (внутренней энергии) под действием градиента температуры.

3. Вязкость /внутреннее трение/ - перенос импульса под действием градиента скорости направленного движения

При малых отклонениях от состояния равновесия возникающие потоки переносимых величин прямо пропорциональны соответствующим градиентам и описываются феноменологическими уравнениями следующего вида: j = - К×grad X, где: j - плотность потока переносимой величины /теплоты - в теплопроводности, импульса
в вязкости, массы в диффузии/, т. е. вектор, численно равный количеству величины, переносимой за единицу времени через единичную нормальную к направлению переноса площадку;

Х - величина (температура - в теплопроводности, давление (скорость) - в вязкости, концентрация - в диффузии), пространственная неоднородность которой и обусловливает неравновесность состояния макросистемы;

К - коэффициент пропорциональности, мера интенсивности того или иного явления переноса.

Задачей статистического подхода является вскрытие микроскопической природы соответствующих явлений переноса и получение выражений для коэффициентов /диффузии, теплопроводности и вязкости/, через микроскопические характеристики, такие как средняя длина свободного пробега молекул, средняя скорость их теплового движения и др.

Проанализируем с помощью статистического подхода одно из явлений переноса - диффузию. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Неравновесность состояния здесь задаётся наличием градиента концентрации dn/dх.

Выберем при некоторой координате х нормальную к ней площадку dS.

Слева направо и справа налево будет перемещаться по 1/6 от общего числа молекул. Соответственно за время dt площадку dS пересечёт 1/6 часть молекул, содержащихся в объёме цилиндра высотой dt, где - средняя тепловая скорость молекул.

Слева направо: dN1 = n1dt dS/6Справа налево: dN2 = n2dt dS/6

В итоге за время dt через площадку dS будет
направленно перенесено число молекул dN, равное:

N = dN1 - dN2 = (n1 – n2)dt×dS/6.

Разность концентраций n1 – n2 можно выразить через градиент концентрации: n1 – n2 = - (dn/dх)2l, где l - длина свободного пробега молекулы. Поверхности dS беспрепятственно достигают молекулы, отстоящие от неё не более чем на расстояние, равное длине свободного пробега l. Знак "минус" отражает тот факт, что dn/dх < 0, а n1 > n2.

Для dN получаем: dN = -(1/3)l (dn/dх) dS dt. Учтя, что n = r/mо, имеем:

dN = - (1/3mо)l (dr/dх) dS dt, или, т. к. mоN = m - полная масса газа, окончательно
получаем: dm/dt = - (1/3)l (dr/dх) dS - закон Фика. Выражая из него плотность потока переноса массы:

jm = dm/(dS×dt) = - (1/3)l×(dr/dх) = - D×grad rх, где D = (1/3)l - коэффициент диффузии.

Диффузия /выравнивание концентрации/ происходит тем интенсивнее, чем выше средняя тепловая скорость молекул = Ö(8kТ/pmо) и длина l их свободного пробега.

Вязкость - внутреннее трение - нагляднее воспринимается на примере неоднородного распределения скоростей u направленного движения молекул в газе, т. е. наличия в нём слоев, перемещающихся с различной скоростью. Так, например, в газопроводе слои, примыкающие к трубе, движутся с меньшей скоростью, чем слои, удалённые от неё. Межмолекулярное взаимодействие и тепловое движение приводят к переходу молекул из слоя в слой, т. е. к обмену молекулами между слоями, движущимися с разной скоростью. В результате происходит некоторое выравнивание скоростей движения разных слоев. Механически это интерпретируется как наличие трения между соседними слоями газа, направленно движущимися с различными скоростями u.

Плотность потока импульса jр, переносимого при переходах молекул из слоя в слой,
записывается в общем виде: jр = - h grad u, где h = Dr = (1/3)l r - коэффициент вязкости (динамическая вязкость) или коэффициент внутреннего трения.

49,50,51,. Первое начало термодинамики. Количество теплоты. Работа и теплота. Внутренняя энергия системы.

Основной энергетической характеристикой и однозначной функцией состояния теплового движения макросистемы является её внутренняя энергия Внутренняя энергия совпадает с полной энергией для неподвижного тела, не подверженного действию внешних полей. Для идеального газа внутренняя энергия есть кинетическая энергия U = Ек. Для одноатомного газа, в соответствии с законом равномерного распределения энергии по степеням свободы движения молекул: U = Ек = 3RТn/2 = 3РV/2.

В общем случае многоатомного идеального газа U = i3RТn/2 = iРV/2.

Изотермический процесс есть процесс без изменения внутренней энергии.

В механике единственным способом и одновременно мерой изменения состояния движения тела /и его функции - кинетической энергии/ служила работа силы. В термодинамике
добавляется специфический "тепловой" канал неупорядоченного изменения состояния теплового движения – теплообмен и его количественная мера – теплота (количество теплоты).

Работа совершается при изменении внешних параметров системы (в отсутствии внешних силовых полей – при изменении объема и формы системы). Теплообмен происходит между разнонагретыми телами или их частями (с разной температурой). Работа и теплообмен являются двумя содержательно различными, но количественно эквивалентными способами изменения внутренней энергии макросистем. Их количественные меры - работа и количество теплоты измеряются в одних и тех же - энергетических единицах - джоулях.

Известное из механики выражение для работы А, как произведение силы на перемещение, в термодинамике заменяется произведением давления на изменение объёма. Например, для поршня, действующего на газ в сосуде, элементарная работа dА = Fdr = рS×dr = р×dV;
dА = р×dV Þ А = òр dV.

В основу термодинамики как феноменологической физической теории теплового движения положены два закона, называемых началами термодинамики и являющихся результатами творческих обобщений опыта.

Первое начало термодинамики представляет собой обобщённый (Майер 1842 г и Джоуль 1843 г) на тепловое движение закон сохранения энергии в механике. Оно устанавливает количественную эквивалентность работы и теплоты как двух способов изменения внутренней энергии макросистем. Второе же начало термодинамики вскрывает их качественное различие,
заключающееся в возможности необратимых тепловых процессов, в отличие от всегда обратимых механических процессов.

Первое начало термодинамики в дифференциальной форме имеет следующий вид и трактовку: dU = dА¢ + dQ – элементарное приращение внутренней энергии U макросистемы равно сумме совершённой над ней внешними телами работы dА¢ и сообщённого ей количества
теплоты d Q.

Полные работа А и количество теплоты Q, в отличие от внутренней энергии U, не являются однозначными функциями термодинамического состояния макросистемы, а представляют собой функции процесса. Это значит, что:

1) значения работы А и теплоты Q зависят от вида, характера процесса между начальным и конечным состояниями системы;

2) не имеют смысла понятия "запас работы А или теплоты Q" в макросистеме, в каком-либо её состоянии. Они представляют собой изменения внутренней энергии, соответственно,
в упорядоченном (механическом) и массово-хаотическом (тепловом) способах, процессах воздействия на макросистему и имеют смысл только в связи с процессом изменения состояния системы.

52. Работа, совершаемая газом в различных изопроцессах.

1Изохорный процесс: V = const; dV=0; dA = РdV = 0.
В изохорном процессе газ не совершает работы (условие механической изоляции).

dQ = dU = (m/М)СмVdT и СмV = dUм/dT = d/dT(iRТ/2) = iR/2
Q12 = DU = U2 – U1 = (m/М)СмV(Т2 – Т1) = (m/М)iRТ/2

Вся сообщаемая в изохорном процессе теплота идёт на изменение внутренней энергии газа. Изохорный - механически изолированный процесс. Первое начало термодинамики можно записать через молярную теплоемкость при постоянном объеме: dQ = (m/М)СмVdT + РdV

2Изобарный процесс: Р = const; dQ = (m/М)СмРdT;
Q12 = (m/М)СмР(Т2 – Т1)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона РV = (m/М)RT следует: dA = РdV = (m/М)RdT. Отсюда, в частности, вытекает трактовка молярной постоянной R = dА/(m/М)dT - как работы изобарного расширения одного моля идеального газа при единичном изменении его температуры. Для полной работы А12 газа в изобарном процессе получаем: А12 = òРdV = Р(V2 – V1) или А12 = (m/М)R(T2 – Т1)

Подставляя dA = РdV = (m/М)RdT в первое начало термодинамики, получаем:

m/М)СмРdT = (m/М)СмVdT + (m/М)RdT Þ СмР = СмV + R =iR/2+R=(i + 2)R/2–уравнение Майера.

Молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении больше чем при постоянном
объёме на величину молярной газовой постоянной R. При постоянном объёме газ не совершает работы, и вся подводимая к нему теплота полностью расходуется на изменение его внутренней энергии, на изменение температуры. При изобарном же процессе часть подводимой теплоты уходит на совершение работы, и для того же изменения температуры тела к нему нужно подвести больше теплоты, чем в изохорном процессе.

3Изотермический процесс: Т = const, dU = (m/М)СмVdT = const, dQ = dA - вся

сообщаемая газу теплота в изотермическом процессе расходуется на совершение работы против внешних сил.

Q12 = A12 = ò РdV = (m/М)×RT òdV/V = (m/М)RT ln(V2/V1), где подставлено Р = (m/М)RT/V из уравнения Менделеева – Клапейрона. Изотермичными являются процессы кипения, плавления, кристаллизации.

При изотермическом расширении газа V2 > V1 Þ А12 > 0 и Q12 > 0, т. е. к газу нужно подводить теплоту, а при сжатии V3 < V1 и Q13 < 0 - от газа нужно отводить теплоту. Изотермическая теплоёмкость СТ = dQ/dТ формально равна бесконечности, поэтому она практически не используется как характеристика системы.

Изотермические процессы всегда связаны с передачей теплоты, то есть с массово-хаотическим способом изменения внутренней энергии системы, и потому они являются медленными, инерционными. Теплота должна иметь время на "миграцию", распространение по системе теплового (массово-хаотичного) возбуждения.

4Адиабатный (теплоизолированный) процесс: dQ = 0, dU = - dА Þ А12 = - DU = U1 – U2 = (m/М)СмV(Т1 – Т2) - работа совершается газом за

счёт убыли его внутренней энергии или - вся работа газа расходуется на изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость в адиабатном процессе Сад = dQ/dТ = 0 и её, как и изотермическую теплоемкость CТ, не используют в качестве характеристики газа.

В отличие от изотермических - медленных процессов, адиабатные процессы являются быстро протекающими процессами. Условия тепловой изоляции проще осуществить на малых временах.

В переменных V-Т и Р-Т уравнение адиабаты, как нетрудно убедиться, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) имеет следующий вид: V×Т1/(g - 1) = Т×Vg - 1 = const и Р×Тg / (g - 1) = const. Адиабата на графике в координатах P-V идёт круче изотермы, ибо показатель адиабаты g = СMP/СMV больше 1, т. е. больше, чем у изотермы. Увеличение (изменение) давления здесь обусловлено не только уменьшением объёма газа, но ещё и увеличением его температуры.

Выражая из уравнения Майера молярную теплоемкость при постоянном объеме:
СМV = СМР – R и подставляя её в выражение для работы и изменения внутренней энергии,
получим: А12 = - DU = (m/М)СмV(Т1 – Т2) = (m/М)iR(Т1 – Т2)/2.

53.Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона. Работа газа при адиабатическом процессе.

Адиабатный (теплоизолированный) процесс: dQ = 0, dU = - dАÞ А12 = - DU = U1 – U2 = (m/М)СмV(Т1 – Т2) - работа совершается газом за

Получим уравнение адиабатного процесса, т. е. свяжем параметры состояния для этого процесса, например, параметры Р и V. В соотношении dA = РdV = - (m/М)СМVdT избавимся от dТ с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона: из PV= (m/М)RT Þ(m/М)RdT = PdV + VdP и РdV =- (m/М)СМVdT = - СМV(PdV + VdP)/ R Þ РRdV = - СМVРdV - СМVVdР Þ РRdV = - СМРРdV + RРdV – СМVVdР Þ СМР РdV + СМVVdР = 0 Þ (СМР/СМV)(dV/V) + dР/Р = 0 - дифференциальное уравнение адиабаты. Проинтегрируем его: СМР/СМV = g; g òdV/V + òdР/Р = 0 Þ g×lnV + lnР = const Þ
Р×Vg = const - уравнение адиабаты, называемое ещё уравнением Пуассона В переменных V-Т и Р-Т уравнение адиабаты, как нетрудно убедиться, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) имеет следующий вид: V×Т1/(g - 1) = Т×Vg - 1 = const и Р×Тg / (g - 1) = const. Адиабата на графике в координатах P-V идёт круче изотермы, ибо показатель адиабаты g = СMP/СMV больше 1, т. е. больше, чем у изотермы. Увеличение (изменение) давления здесь обусловлено не только уменьшением объёма газа, но ещё и увеличением его температуры.

Выражая из уравнения Майера молярную теплоемкость при постоянном объеме: СМV = СМР – R и подставляя её в выражение для работы и изменения внутренней энергии, получим: А12 = - DU = (m/М)СмV(Т1 – Т2) = (m/М)iR(Т1 – Т2)/2.

54,55.Графическое изображение термодинамических процессов и работы. Равновесные и неравновесные процессы, обратимые и необратимые

процессы. Циклы. Цикл Карно. КПД тепловой машины.

Одним из характернейших отличий тепловой формы движения от механической является наличие в ней необратимых явлений и процессов. Отличие обратимых процессов от необратимых заключается в том, что они могут быть обращены, т. е. проведены в обратном направлении без компенсации - без того, чтобы в окружающих телах произошли какие-либо изменения.
На практике обратимые процессы - это обычно достаточно медленные, так называемые квазистатические процессы, при которых в изолированной макросистеме в каждый момент успевает
устанавливаться равновесное состояние.

Примером необратимых процессов являются процессы переноса: теплопроводность, диффузия, вязкость, а также расширение газа в пустоту, движение с трением и др. Перенос
теплоты самопроизвольно всегда осуществляется от областей с более высокой температурой
к областям с более низкой температурой, перенос массы - от областей с повышенной концентрацией частиц к областям с пониженной концентрацией и т. д. Такая однонаправленность протекания процессов природы требует в научном плане отражения её в особом фундаментальном законе, каковым является второе начало термодинамики. Оно имеет несколько качественных формулировок, например, в виде утверждения о самопроизвольном характере переноса теплоты только от более нагретых тел к менее нагретым, но не наоборот /Клаузиус, 1850 г/, или о невозможности таких тепловых процессов, единственным конечным результатом которых было бы отнятие от некоторого тела определённого количества теплоты и полное превращение её в работу /Томсон 1851 г/, или о невозможности построения вечного двигателя второго рода.

Циклом или круговым /замкнутым/ процессом называется такая совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние,
и изменение ее внутренней энергии DU = 0. Тело, совершающее круговой процесс и обменивающееся энергией с другими телами, называется рабочим телом. Обычно им является газ.

Одним из идеализированных модельных циклов является цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат.

Такой цикл может быть осуществлён как в прямом (), так и в

() направлениях.

В первом случае газ за цикл совершает за счет подводимой теплоты положительную работу пропорциональную площади S цикла. Во втором случае эта работа оказывается отрицательной (теплота отводится). По прямому циклу изменяется состояние рабочего тела в тепловом двигателе, где теплота от внешнего источника (нагревателя) поступает к рабочему телу, и часть её отдаётся в форме работы другим тела. По обратному циклу изменяется состояние рабочего тела в холодильной машине, где рабочее тело отнимает и передаёт теплоту от холодного тела к более нагретому телу за счёт затраты положительной работы внешних сил (двигателя, мотора).

Рассчитаем КПД тепловой машины (двигателя), работающей по циклу Карно.

Тепловая - машина (двигатель) предназначена

для преобразования тепловой энергии в механическую НАГРЕВАТЕЛЬ

энергию (работу), и в простейшем варианте содержит три Q1 (> 0)

основные части: нагреватель, рабочее тело, холодильник.

Рабочее тело (обычно газ) получает от нагревателя РАБОЧЕЕ ТЕЛО А=Q1 –|Q2|

теплоту Q1, часть ïQ2ï которой отдаётся холодильнику Q2 (< 0)

(для обеспечения замкнутости цикла), а другая часть Q1 - ïQ2ïпревращается в полезную работу Ао = Qо = Q1 -ïQ2ï.

ХОЛОДИЛЬНИК

Таким образом, КПД тепловой машины:

h = Ао/Q1 = (Q1 -ïQ2ï)/Q1 = 1 - ïQ2ï/Q1.

Получим более конкретное выражение для КПД через температуры Т1 нагревателя и Т2 - холодильника. Применим термодинамический подход для анализа цикла Карно, т. е. для двух изотермических и двух адиабатных процессов с идеальным газом.

В процессе 1-2 газ, приводится в контакт с нагревателем и, изотермически расширяясь
за счёт поглощения теплоты Q1, совершает работу А12 = Q1 = (m/М)RT1ln(V2/V1).

В процессе 2-3 газ тепло изолируют, и он, адиабатно расширяясь, совершает работу А23
за счёт уменьшения его внутренней энергии: А23 = - DU23, охлаждаясь до температуры T2: A23 = (m/М)СМV (Т1 – Т2)

В процессе 3-4 газ изотермически сжимается внешними силами, приводясь в контакт
с холодильником Т2, и для поддержания постоянной температуры T2 = const от него отводится теплота Q2, равная работе А23 газа: Q2 = А23 = (m/М)RT2ln(V4/V3); (A23 < 0 - работа совершается над газом).

В процессе 4-1 внешние силы тепло изолированно (адиабатно) сжимают газ, увеличивая его внутреннюю энергию, повышая его температуру до Т1:
А41 = - DU41 = (m/М)СМV(Т2 - Т1) = - А23.

Полная работа за весь цикл равна сумме работ:

А = А12 + А23 + А34 + А41 = А12 + А34 = Q1 - |Q2|.

А = (m/М)R[T1ln(V2/V1 + T2ln(V4/V3)].

Поделив уравнения адиабат: Т1V2g - 1 = Т2V3g - 1 и Т1V1g - 1 = Т2V4g - 1 друг на друга, получаем: V2/V1 = V3/V4. Тогда А = (m/М)Rln(V2/V1)(Т1 - Т2) и h = А/Q1 = (Т1 - Т2)/Т1

КПД идеальной тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно не равен 100% (Т ¹ 0) и не зависит от рода, особенностей рабочего тела (теорема Карно).

Для тепловых машин работающих по необратимому циклу:
h = (Q1 - ïQ2ï)/Q1 < (Т1 - Т2)/Т1.

Цикл Карно наиболее экономичный из всех обратимых циклов.

Для обратимого цикла Карно сумма приведённых теплот (теплот, отнесенных к температуре) равна нулю: Q1/Т1 + Q2/Т2 = 0. Этот результат является общим для любого обратимого цикла (ибо его можно представить в виде совокупности бесконечно малых циклов Карно), и его можно записать в виде: òdQ/Т = 0.

Величину, стоящую под интегралом, можно представить в виде полного дифференциала некоторой другой величины, являющейся функцией состояния системы, ибо её изменение
в замкнутом процессе равно нулю /подобно внутренней энергии системы/. Эта функция термодинамического состояния называется энтропией. Её дифференциал равен элементарной приведённой теплоте: dS = dQ/Т. Температура играет роль интегрирующего делителя, обращающего функцию процесса - элементарную теплоту dQ в функцию состояния – энтропию dS.

dQ и dS имеют одинаковый знак. При нагревании тела dQ > 0 и его энтропия возрастает /dS > 0/, при охлаждении dQ < 0 и энтропия тела убывает (dS < 0). В обратимом адиабатном процессе dQ = TdS = 0, так что dS = 0 и S = const. Таким образом, обратимый адиабатный процесс представляет собой изоэнтропийный процесс. Как и внутренняя энергия U, энтропия S является аддитивной функцией состояния макросистемы.

Равенство нулю изменения энтропии оказывается справедливым для любых обратимых процессов. В общем же случае через изменение энтропии формулируется II начало термодинамики, которое в современной трактовке звучит как закон не убывания энтропии замкнутой
термодинамической системы, или: энтропия замкнутой (адиабатной) системы не может
убывать при любых происходящих в ней процессах: dS ³ 0, где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак больше - к необратимым процессам.

Обратимые процессы – равновесные; необратимые процессы ведут к равновесию, в котором максимальна энтропия системы.

56,57. Энтропия и ее свойства. Физический смысл. Вычисление изме-

нения энтропии. Теорема Нернста.

58,59. Второе начало термодинамики. Различные формулировки. Ста-

тистический смысл второго начала термодинамики. Энтропия и вероят-

ность. Формула Больцмана для энтропии.

Перенос теплоты самопроизвольно всегда осуществляется от областей с более высокой температурой к областям с более низкой температурой, перенос массы - от областей с повышенной концентрацией частиц к областям с пониженной концентрацией и т. д. Такая однонаправленность протекания процессов природы требует в научном плане отражения её в особом фундаментальном законе, каковым является второе начало термодинамики. Оно имеет несколько качественных формулировок, например, в виде утверждения о самопроизвольном характере переноса теплоты только от более нагретых тел к менее нагретым, но не наоборот /Клаузиус, 1850 г/, или о невозможности таких тепловых процессов, единственным конечным результатом которых было бы отнятие от некоторого тела определённого количества теплоты и полное превращение её в работу /Томсон 1851 г/, или о невозможности построения вечного двигателя второго рода.

Современная аналитическая /формульная, количественная математическая/ формулировка второго начала термодинамики осуществляется с помощью специфической величины, называемой энтропией.

При статистическом подходе к анализу состояния макросистемы оно задаётся микроскопически, как микросостояние, путём задания положений и скоростей /или импульсов/ всех
составляющих макросистему микрочастиц. По сравнению с таким - детальным описанием, термодинамический подход является "сокращённым", ибо в нём, состояние макросистемы
задаётся очень ограниченным числом параметров: давления, температуры, объема и некоторых других.

При сопоставлении этих подходов к описанию одних и тех же процессов в одних и тех же системах выявляется, что каждому отдельному макро состоянию, отвечающему конкретному набору значений P, T, V соответствует огромное число микросостояний, различающихся,
например перестановками местами микрочастиц, при которых, очевидно параметры P, T, V
не изменяются. Число микросостояний, соответствующих данному микросостоянию, называется термодинамической вероятностью W или статистическим весом данного микросостояния.
В отличие от обычной вероятности, термодинамическая вероятность обычно выражается значениями, много большими единицы. Так как отдельные микросостояния являются равновероятными, то обычная вероятность микросостояния оказывается пропорциональной его статистическому весу, то есть числу микросостояний, которыми реализуется данное макро состояние. Более вероятным, таким образом, оказывается состояние, наиболее разнообразно реализующее себя. Или, иначе говоря, более вероятно наиболее хаотичное, наименее упорядоченное состояние. Таким является равновесное состояние. В него всегда возвращается изолированная макросистема, выведенная из него.

Согласно формуле Больцмана (1872 г), статистический вес макросостояния связан с его
энтропией простым соотношением: S = k×ln W, где k = 1,38×10-23 Дж/k - постоянная Больцмана.

Таким образом, постулируемая вторым началом термодинамики одно направленность,
необратимость тепловых процессов, или, что, то же самое, не убывание, возрастание энтропии, означает в статистической интерпретации стремление макросистемы к самопроизвольным
переходам в более вероятное, т. е. менее упорядоченное состояние, каким является равновесное состояние. В него всегда приходит («сваливается») изолированная макросистема. Стремление макросистем к переходам в равновесное состояние представляет своего рода тепловую упругость.

Энтропия выступает мерой беспорядка, хаотичности, разупорядоченности макросистемы
и её движения /внутреннего/. Таким образом, второе начало термодинамики является статистическим законом.

Механическое движение, будучи максимально упорядоченным, может

само по себе полностью перейти в хаотичное тепловое движение («работа может полностью превратиться в теплоту»). Обратный же переход является маловероятным, хотя и не отрицается полностью, абсолютно. Работа представляет собой процесс направленного внешне упорядоченного механического воздействия, в результате которого изменяется объём, т. е. изменяются средние расстояния между молекулами. Теплообмен есть процесс массово-хаотичного молекулярно-теплового воздействия, в результате которого изменяется энтропия системы.

Статистическое, вероятностное толкование, понимание второго начала термодинамики
допускает возможность существования в изолированной макросистеме флуктуаций – процессов отклонения, удаления от равновесного состояния происходящих с убыванием энтропии.
Но они оказываются менее вероятными по сравнению с противоположно направленными,
обратными переходами изолированной макросистемы в равновесное состояние.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости (стр. 3 )

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы