”Изучение фильтрация сигналов в среде Micro-Cap 6/7” (стр. 2 )

Эта схема реализует функцию ФНЧ второго порядка (1.29) с параметрами:

.

(1.33)

Величина μ ≥ 1 представляет собой коэффициент усиления ИНУН, а также и коэффициент усиления фильтра. Удовлетворяющие уравнению (1.33) значения сопротивлений определяются следующим образом

(1.34)

где значения C1 и C2 выбираются. Сопротивления R3 и R4 задаются таким образом, чтобы минимизировать смещение по постоянному току ОУ. (В идеальном случае напряжение смещения между входными выводами должно быть равно нулю).

Если требуется К = 1, то значения R1 и R2 также определяются из (1.34), но в этом случае получаем R3 = ∞ (разомкнутая цепь) и R4 =0 (короткозамкнутая цепь). Для минимизации смещения по постоянному току должно выполняться условие R4 = R1 + R2, но в большинстве некритических применений будет достаточна короткозамкнутая цепь. В этом случае ИНУН работает как повторитель напряжения, т. е. его выходное напряжение равно входному или повторяет его.

Расчет фильтра на ИНУН производится так же, как и расчет для фильтра с МОС. Номинальное значение емкости С2 выбирается близким к значению 10/fc мкФ, а номинальное значение емкости С1, удовлетворяющим неравенству

.

(1.35)

Это гарантирует вещественное значение R1. Значения сопротивлений находятся затем из (1.34) с приведенной выше модификацией при К = 1.

Фильтр на ИНУН позволяет добиться неинвертирующего коэффициента усиления при минимальном числе элементов. Для него требуется только на один резистор больше, чем для фильтра с МОС. Он обладает низким полным выходным сопротивлением, небольшим разбросом значений элементов и возможностью получения относительно высоких значений коэффициента усиления. Кроме того, этот фильтр относительно прост в настройке. Точная установка коэффициента усиления осуществляется, например, с помощью подстройки сопротивлений R3 и R4 потенциометром. Однако подобно фильтру с МОС фильтр на ИНУН должен использоваться для значений добротности Q ≤ 10.

1.4. БИКВАДРАТНЫЕ ФНЧ

Рис. 1.14. Биквадратный ФНЧ второго порядка

Рассмотрим ФНЧ второго порядка, реализующий ПФ (1.29) на основе изображенной на рис. 1.14 биквадратной схемы. Хотя эта схема содержит больше элементов, чем схемы с МОС и на ИНУН, по характеристикам она лучше и имеет преимущества за счет простоты настройки и лучшей стабильности. Сравнительно просто реализуются значения добротности Q вплоть до 100, и относительно легко формируются фильтры высокого порядка на основе каскадного соединения нескольких биквадратных звеньев.

Эта схема реализует уравнение (1.29) при неинвертирующем коэффициенте усиления К и

.

(1.36)

Значения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

.

(1.37)

где C1 и R4 выбираются. Если значение C1 выбрано близким к 10/fc мкФ, то приемлемое значение R4 равно

.

(1.38)

В этом случае получаем

(1.39)

Из (1.39) следует, что биквадратная схема относительно легко настраивается. Для выбранного значения R4 изменение R2 приводит к изменению коэффициента В, а изменение R3 - коэффициента С. Затем при правильно установленном значении коэффициента С с помощью изменения R1 задается коэффициент усиления К.

Если же требуется инвертирующий коэффициент усиления, то выходной сигнал V2 можно снимать с узла а, сохраняя значения элементов такими же, как и раньше.

1.5. НАСТРОЙКА ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Настройку фильтра второго порядка или звена второго порядка фильтра более высокого порядка можно осуществить намного проще, если известен общий вид характеристики. Для функции ФНЧ второго порядка (1.29) АЧХ будет иметь максимальное значение Aт, расположенное на частоте fm при условии, что В2/С < 2. Вид такой характеристики изображен на рис. 1.15, а значения Aт и fm определяются следующим образом:

	;	(1.40)
	.	(1.41)

Рис. 1.15. АЧХ ФНЧ при Q > 0,707.	Рис. 1.16. АЧХ ФНЧ при Q < 0,707.

Подъем АЧХ происходит при выполнении условия Q > = 0,707. Если же Q < 0,707 (или > 2), то подъем отсутствует и вид характеристики показан на рис. 1.16. На обоих рисунках fc – частота среза фильтра, а соответствующее ей значение АЧХ равно

.

(1.42)

В качестве примера рассмотрим фильтр Баттерворта четвертого порядка с частотой среза 1000 Гц и коэффициентом усиления каждого звена, равного 2. Из приложения А [1] найдем для первого звена: В = 0,765367 и С = 1. Следовательно, из уравнения (1.40) получаем

,

а из (1.41)

.

На частоте fc из (1.42) находим значение АЧХ

,

что соответствует затуханию 3 дБ.

Вследствие этого АЧХ должна быть подобна характеристике, приведенной на рис. 1.15 (поскольку Q = 1/0,765367= 1,31). Максимальное значение на частоте 841 Гц равно 2,8284, а на частоте 1000 Гц – 2,6131. При этом на постоянном токе значение АЧХ равно 2.

Для второго звена находим, что В= 1,847759 и С = 1. Следовательно, Q = 1/В = 0,54 и сама характеристика будет иметь вид, подобный характеристике на рис. 1.16, при К.=2 значение АЧХ на частоте 1000 Гц равно

.

В качестве проверки заметим, что при каскадном соединении двух звеньев значение АЧХ на частоте 0 равно 2∙2 = 4, а на частоте 1000 Гц составит 2,6131∙1,0824 = 2,828. Последнее значение равно 0,707-4.

1.6. ФИЛЬТРЫ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

Для фильтров Баттерворта и Чебышева нечетного порядка одно звено должно обладать ПФ первого порядка вида первого сомножителя в (1.12). Для обобщенной частоты среза ωс = 2πfc (рад/с) этот сомножитель первого порядка определяется следующим образом:

.

(1.43)

где К - коэффициент усиления звена, а С задается как коэффициент звена 1 в приложении А [1].

Схема, с помощью которой осуществляется реализация функции (1.43) при K > 1, приведена на рис. 1.12. Значение емкости С1 должно выбираться близким к значению 10/fc , мкФ, при этом значения сопротивлений

.

(1.44)

Если желательно получить коэффициент усиления К = 1, то в качестве звена первого порядка можно использовать схему, приведенную на рис. 1.12 при R2 = ∞ и R3 = 0. В этом случае R1 находится из (1.44), a С1 снова выбирается.

В качестве примера предположим, что необходимо реализовать фильтр Баттерворта третьего порядка с частотой fc = 1000 Гц и коэффициентом усиления К = 2. Из приложения А [1] находим, что для звена первого порядка в (1.44) C = 1, а для звена второго порядка в (1.29) В = С = 1. Выберем коэффициенты усиления для звена первого порядка К = 1, а для звена второго порядка К = 2. Следовательно, звено первого порядка реализуется схемой, показанной на рис. 2.16. Выбирая номинальное значение емкости, С1 = 0,01 мкФ, из первого соотношения уравнения (1.44) получаем

кОм.

1.7. ИНВЕРСНЫЕ ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА

АЧХ инверсного фильтра Чебышева нижних частот определяется следующим образом:

.

(1.45)

где e - положительное постоянное число, а Сп представляет собой полином Чебышева, на основе которого построена ПФ фильтра Чебышева. Постоянная w1 определяет начальную частоту полосы задерживания, как показано на рис. 1.17 для случая n = 6.

Точка среза wc по уровню 3 дБ также обозначена на рис. 1.17 и находится из соотношения

.

(1.46)

Характеристика монотонна в полосе пропускания 0 < w < wc и обладает пульсациями в полосе задерживания w > w1 , которые равны по значению и составляют . Ширина переходной области равна

TW = w1 – wc.

(1.47)

Если a2 = – 20 log10 A2 представляет собой минимальное затухание в полосе задерживания (дБ),то

.

(1.48)

Следовательно, для заданного порядка п, минимального допустимого затухания в полосе задерживания a2 и частоты w1 (начала полосы задерживания, содержащей пульсации) можно из (1.48) найти значение e, а из (1.45) требуемую АЧХ. Тогда частоту среза wс и ширину переходной области можно определить из (1.46) и (1.47). Наоборот, можно точно установить частоту wс (легче, чем w1) и из (1.46) найти частоту w1.

Рис. 1.17. АЧХ фильтра инверсного Чебышева при n = 6

Для заданных допустимых отклонений в полосах пропускания и задерживания и частот wс и TW фильтры Чебышева и инверсный Чебышева имеют одинаковый порядок, который, в свою очередь, меньше требуемого порядка фильтра Баттерворта. Таким образом, если требуется монотонная характеристика в полосе пропускания, то инверсный фильтр Чебышева по параметрам превосходит фильтр Баттерворта того же порядка. Если же можно допустить пульсации в полосе пропускания, то лучше фильтр Чебышева, поскольку, его ПФ проще, чем у инверсного фильтра Чебышева. Однако, если желательна монотонная характеристика, хорошие результаты дает часто и фильтр Баттерворта, поскольку его ПФ также проще, чем инверсного фильтра Чебышева.

ПФ инверсного фильтра Чебышева имеет вид, описываемый общим уравнением (1.3). Следовательно, этот фильтр в общем случае более сложен в реализации, чем полиномиальные фильтры, такие, как фильтры Баттерворта и Чебышева. В виде произведения сомножителей функция инверсного фильтра Чебышева нижних частот четного порядка п записывается следующим образом:

(1.49)

а нечетного порядка п

(1.50)

где А0, с0, Аi , аi , bi и сi – заданные постоянные числа.

Для удобства в справочных таблицах приводят ПФ инверсного фильтра Чебышева нижних частот для нормированного случая (wc = 1 рад/с).

1.8. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ

Эллиптический фильтр имеет АЧХ, которая содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, и является лучшим среди всех ФНЧ в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений характеристики в полосах пропускания и задерживания обладают самой узкой шириной переходной области. Пример АЧХ эллиптического фильтра пятого порядка изображен на рис. 1.18.

Рис. 1.18. АЧХ эллиптического фильтра

Пульсации в полосе пропускания равны по значению и могут характеризоваться максимальным допустимым затуханием в полосе задерживания. Эта величина, которую мы также будем называть неравномерностью передачи в полосе пропускания PRW (Rp), дБ, согласно рис. 1.18 равна

Rp = – 20 log A1.

(1.51)

Пульсации в полосе пропускания также равны по значению (хотя не обязательно равны размаху пульсаций в полосе пропускания) и характеризуются MSL - минимальным затуханием в полосе задерживания Rs, дБ, следующим образом:

Rs = – 20 log A2.

(1.52)

Ширина переходной области TW, как и для других типов фильтров, составляет

TW = w1 – wc.

(1.53)

Для заданных значений PRW и MSL (Rp и Rs ) повышение порядка приводит к увеличению числа пульсаций в полосах пропускания и задерживания и уменьшению TW. Следовательно, можно задать обозначенные на рис. 1.18 параметры A1, А2 и wс и, увеличивая порядок, достичь любого требуемого значения w1 > wс.

Для иллюстрации преимуществ эллиптического фильтра рассмотрим рис. 1.19. На нем изображены две кривые, показывающие зависимость порядка фильтров Чебышева и эллиптических от ширины переходной области. Рассмотрен случай с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,1 дБ и минимальным затуханием в полосе задерживания 60 дБ при частоте среза 1 рад/с. Другие случаи дают аналогичные результаты.

В качестве примера применения рис. 1.19 предположим, что необходимо обеспечить ширину нормированной переходной области не более 0,1. Другими словами, если иметь в виду рис. 1.19 с wс = 1, то необходимо, чтобы w1 была меньше или равна 1,1. Из рис. 1.19 следует, что подходит эллиптический фильтр с порядком 10. (Для обеспечения ширины 0,1 требуется значение п между 9 и 10, и следовательно, выбирают п = 10.) Однако для фильтра Чебышева потребуется минимальный порядок, равный 22. Преимущество эллиптического фильтра над фильтром Чебышева еще более заметно при узкой ширине переходных областей. Например, если ширина не превосходит 0,03, то достаточно использовать эллиптический фильтр 12-го порядка, а минимальный порядок фильтра Чебышева будет 39.

ПФ эллиптического фильтра по форме идентична передаточной функции инверсного фильтра Чебышева, определенной ранее уравнениями (1.49) и (1.50). Постоянные параметры аi , bi и сi, которые отличаются от параметров инверсного фильтра Чебышева, вычисляются крайне сложно. Этот процесс требует знания эллиптических функций Якоби (эллиптических интегралов, эллиптических синуса и косинуса, дельта-амплитуды). Поэтому обычно расчет ведут с помощью табулированных функций или специальных программ ЭВМ (MATLAB, Mathcad).

Рис. 1.19. Зависимость порядка фильтров Чебышева (2) и эллиптических (1) от ширины переходных областей при Rp = 0,1 Rs = 60 дБ

Для удобства вычислений передаточные функции в виде произведения сомножителей приведены в специальных таблицах [1] для нормированного случая wс=1 рад/с) и порядков n = 2, 3, ..., 10. Они даны для пульсаций в полосе пропускания PRW 0,1, 0,5, 1; 2 и 3 дБ и для большинства случаев приведены минимальные пульсации в полосе задерживания MSL от 30 до 100 дБ с шагом 5 дБ. Для каждого случая указана соответствующая ширина переходной области, а именно ее нормированное значение w1 – 1.

Примечание.

Эллиптические функции использовались для решения задачи о колебаниях математического маятника в вертикальной плоскости. Эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода имеют вид:

Величина, обратная эллиптическому интегралу первого рода, определяющему длину дуги эллипса, называется эллиптическим синусом sn. При замене t на sin a в интеграле первого рода получим

.

Функция, обратная x, называется амплитудой и обозначается j = am x. (Она не эллиптическая.) Тогда sn x = sin j = sin am x. Эллиптические косинус cn x и дельта-амплитуда dn x равны:

	cn x = cos j = cos am x;

Функции sn x, cn x и dn x связаны соотношениями

где модуль 0 < k < 1. Эллиптические функции двоякопериодические с периодами

.

где - дополнительный модуль. Функции sn x, cn x и dn x имеют разные периоды, а именно: 4Тm + 2in; 4Тm + (2Т + 2i)n; 2Тm + 4in, соответственно.

1.9. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ НА ИНУН

Инверсные Чебышева и эллиптические ФНЧ имеют идентичные по форме ПФ. Для фильтра второго порядка или звена второго порядка фильтра более высокого порядка с частотой среза ωс = 2πfc (рад/с) и коэффициентом усиления К ПФ определяется следующим образом:

.

(1.54)

Коэффициенты А, В и С можно найти в приложении [1] для инверсного фильтра Чебышева и эллиптического фильтра. Они зависят от порядка n, минимального затухания в полосе задерживания MSL, а для эллиптического фильтра и от неравномерности пере­дачи в полосе пропускания PRW.

Уравнение (1.54) имеет общую форму

,

(1.55)

где

ρ = КС/А, α = А, β = В, γ = С.

(1.56)

Рис. 1.20. Эллиптический ФНЧ второго порядка на повторителе напряжения

Уравнение (1.55) описывает также общий вид ПФ эллиптических и инверсных Чебышева фильтров второго порядка верхних частот и полосно-заграждающих типов. Одна из наиболее простых схем, реализующих ПФ второго порядка вида (1.55) приведена на рис. 1.20. Для этой схемы значения коэффициентов определяются выражениями

(1.57)

Используя (1.56), получим

.

(1.58)

где R5, C1 и С2 имеют произвольные значения. Инвертирующий коэффициент уси­ления равен – K (К > 0). Чтобы отличать, эту схему от рассматриваемых в дальней­шем схем, ее называют схемой на повторителе напряжения, поскольку один из ОУ работает как повторитель напряжения.

Если C1 = С2 выбираются как номинальное значение, близкое к значению 10/fc мкФ, то приемлемое значение сопротивления R5 составляет

.

(1.59)

тогда значения других сопротивлений равны:

(1.60)

На рис. 1.21 приведена разновидность, изображенной на рис. 1.20 схемы. Ее называют схемой на ИНУН из-за способа работы одного из ОУ.

Для этой схемы значения сопротивлений находят из формул

(1.61)

где C1, С2, μ > 1 (μ = 1 + R7/R6) и R5 имеют произвольные значения. При | μ = 1 эта схема принимает вид, показанный на рис. 1.20.

Если выбрать значения емкости C1 = С2, близкие к значению 10/fc мкФ, то приемлемое значение сопротивления R5 составит

,

(1.62)

тогда значения других сопротивлений равны:

(1.63)

Рис. 1.21. Эллиптический ФНЧ второго порядка на ИНУН

Если К и добротность Q (определяемая как ) имеют небольшие значения, то сопротивления в (1.59) и (1.60) для схемы на рис. 1.20 и в (1.62) и (1.63) для схемы на рис. 1.21 будут иметь приемлемые значения. Однако если Q и/или К велики, допустим, более 10, то получается нежелательный разброс значений сопротивлений. В этом случае можно выбирать C1, С2, и R5 таким образом, чтобы сохранялся небольшой разброс значений сопротивлений. Для (1.63) μ также представляет собой переменный параметр. Например, если Q велико (В - мало), то можно выбрать значение емкости С2 относительно большим, по сравнению с C1, для того, чтобы значение сопротивления R2 входило в диапазон значений сопротивлений R1 и R3.

1.10. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ НА ТРЕХ КОНДЕНСАТОРАХ

Другим примером ФНЧ второго порядка является схема на трех конденсаторах, изображенная на рис. 1.22, которая реализует уравнение (1.55) при

(1.64)

Отсюда

.

(1.65)

где C1, С2 и R4 имеют произвольные значения. Инвертирующий коэффициент усиления равен –К (К>0).