”Изучение фильтрация сигналов в среде Micro-Cap 6/7” (стр. 1 )

Институт цветных металлов и золота СФУ

Кафедра автоматизации производственных процессов

ЦМ	Дисциплина “Применение ЭВМ в СУ” Красноярск 2007 г.

çТипы фильтров çФНЧ Баттерворта çФНЧ Чебышева I типа ç Минимальный порядок фильтра çФНЧ с МОС ç

ç ФНЧ на ИНУН çБиквадратные ФНЧ ç Настройка фильтров 2 порядка çФНЧ нечетного порядка ç

ç ФНЧ Чебышева II типа çЭллиптические ФНЧ çЭллиптические ФНЧ на ИНУН çç Эллиптические ФНЧ на 3 конденсаторах çБиквадратные эллиптические ФНЧ çç Настройка ФНЧ Чебышева II типа и эллиптических ç

ç Настройка фильтров 2 порядка ççВсепропускающие фильтры çМоделирование ФНЧ çСоздание схем ç

ç Расчет переходных х-к çРасчет частотных х-к çВыполнение работы çКонтрольные вопросы ç

Лабораторная работа № 1

”Изучение фильтрация сигналов в среде Micro-Cap 6/7”

Цель работы

1. Изучить основные типы и характеристики фильтров

2. Исследовать моделирование фильтров в среде Micro-Cap 6.

3. Исследовать характеристики активных фильтров в среде Micro-Cap 6

Теоретические сведения

1. Типы и характеристики фильтров

Фильтрация сигналов играет важную роль в цифровых системах управления. В них фильтры используются для устранения случайных ошибок измерения (наложения сигналов помех, шумов) (рис. 1.1). Различают аппаратную (схемную) и цифровую (программную) фильтрацию. В первом случае используют электронные фильтры из пассивных и активных элементов, во втором случае применяют различные программные методы выделения и устранения помех. Аппаратная фильтрация применяется в модулях УСО (устройств связи с объектом) контроллеров и распределенных систем сбора данных и управления.

Цифровая фильтрация используется в УВМ верхнего уровня АСУ ТП. В данной работе подробно рассматриваются вопросы аппаратной фильтрации.

Рис.1.1. Фильтрация зашумленного сигнала

Различают следующие типы фильтров:

·  фильтры нижних частот - ФНЧ (пропускают низкие частоты и задерживают высокие частоты);

·  фильтры верхних частот (пропускают высокие частоты и задерживают низкие частоты);

·  полосно-пропускающие фильтры (пропускают полосу частот и задерживают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы);

·  полосно-заграждающие фильтры (которые задерживают полосу частот и пропускают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы).

Рис. 1.2. АЧХ фильтра низких частот	Рис. 1.3. АЧХ фильтра высоких частот

Рис. 1.4. АЧХ полосно-пропускающего фильтра	Рис. 1.5. АЧХ полосно-заграждающего фильтра

Передаточная функция (ПФ) фильтра имеет вид:

,

(1.1)

где V1 и V2 - входное и выходное напряжения фильтра.

Для s = jw можно записать

,

(1.2)

где ½Н( jw)½- модуль ПФ или АЧХ; j (w) - ФЧХ; w - угловая частота (рад/с), связанная с частотой f (Гц) соотношением w = 2p f.

ПФ реализуемого фильтра имеет вид

(1.3)

где а и b - постоянные величины, а т , n = 1, 2, 3 ... (m £ n).

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Чем он выше, тем лучше АЧХ, но сложнее схема, а стоимость выше.

Диапазоны или полосы частот, в которых сигналы проходят, - это полосы пропускания и в них значение АЧХ ½Н(jw)½ велико, а в идеальном случае постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, - это полосы задерживания и в них значение АЧХ мало, а в идеальном случае равно нулю.

Рис.1.6. Реальная и идеальная АЧХ ФНЧ

АЧХ реальных фильтров отличаются от теоретических АЧХ. Для ФНЧ идеальная и реальная АЧХ приведены на рис. 1.6.

В реальных фильтрах полоса пропускания - это диапазон частот (0 - wc), где значение АЧХ больше заданной величины А1. Полоса задерживания - это диапазон частот (w1 -∞), в котором АЧХ меньше значения - A2. Интервал частот перехода от полосы пропускания к полосе задержания, (wc - w1) называют переходной областью.

Зачастую для характеристики фильтров вместо амплитуды используют затухание. Затухание в децибелах (дБ) определяют по формуле

a = –20 log10½Н(jw)½.

(1.4)

Значению амплитуды А = 1 соответствует затухание a = 0. Если A1 = A/ = 1/ = 0,707, то затухание на частоте wc:

а1 = –20 log10 (1/) = 10 log10 2 = 3 дБ.

Обычно а1 = 0,1; 0,5; 1; 2 или 3 дБ, а типовое значение затухания в полосе задерживания a2 больше и находится в пределах от 20 до 100 дБ. (0,1 ³ A2 ³ 0,00001).

Рис. 1.7. Идеальная и реальная АЧХ фильтра

Идеальная и реальная характеристики ФНЧ с использованием затухания приведены на рис. 1.7.

Рис. 1.8. ФНЧ (а) и его АЧХ (б)

Пассивные фильтры (рис. 1.8, 1.9) создаются на основе пассивных R, L, C элементов.

На низких частотах (ниже 0,5 МГц), параметры катушек индуктивности неудовлетворительны: большие размеры и отклонения характеристик от идеальных. Катушки индуктивности плохо приспособлены для интегрального исполнения. Простейший фильтр низких частот (ФНЧ) и его АЧХ показаны на рис. 1.8.

Активные фильтры создаются на основе R, C элементов и активных элементов - операционных усилителей (ОУ). ОУ должны иметь: высокий коэффициент усиления (в 50 раз больше, чем у фильтра); высокую скорость нарастания выходного напряжения (до В/мкс).

Рис. 1.9. Т - и П-образные ФНЧ

Активные ФНЧ первого и второго порядков приведены на рис. 1Построение фильтров n-го порядка осуществляется каскадным соединением звеньев N1, N2, ... , Nm с ПФ Н1(s), H2(s), ..., Нm(s).

Фильтр четного порядка с п > 2 содержит n/2 звеньев второго порядка, соединенных каскадно. Фильтр нечетного порядка с п > 2 содержит (п – 1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого порядка.

Для фильтров первого порядка ПФ

,

(1.8)

где С - постоянное число; P(s) - полином первой или нулевой степени.

Для фильтров второго порядка ПФ

.

(1.8)

где В и С - постоянные числа; P(s) - полином второй или меньшей степени.

У ФНЧ максимальное затухание в полосе пропускания a1 не превышает 3 дБ, а затухания в полосе задерживания a2 находится в пределах от 20 до 100 дБ. Коэффициент усиления ФНЧ это значение его передаточной функции при s = 0 или значение его АЧХ при w = 0 , т. е. равен А.

Рис. 1.10. Активный ФНЧ 1 порядка	Рис. 1.11. Активный ФНЧ 2 порядка

Различают следующие типы ФНЧ:

Баттерворта - обладают монотонной АЧХ (рис. 1.12);

Чебышева (типа I) - АЧХ содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания (рис. 1.13);

инверсные Чебышева (типа II) - АЧХ монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания (рис. 1.14);

эллиптические - АЧХ имеет пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 1.15).

Рис. 1.12. АЧХ фильтра Баттерворта	Рис. 1.13. АЧХ фильтра Чебышева I типа

Рис. 1.14. АЧХ фильтра Чебышева II типа	Рис. 1.15. АЧХ ‘эллиптического фильтра

Фильтр Баттерворта НЧ n-го порядка имеет АЧХ следующего вида

,

(1.9)

где n = 1, 2, 3, … .

АЧХ фильтра Баттерворта монотонно спадает при росте частоты. Увеличение порядка n ведет к улучшению характеристики (рис. 1.16).

Рис. 1.12. АЧХ фильтров Баттерворта n–го порядка

ПФ фильтра Баттерворта как полиномиального фильтра равна

,

(1.10)

где К - постоянное число.

Для нормированного фильтра Баттерворта, т. е. при wс = 1 рад/с ПФ для п = 2, 4, 6 в виде произведения сомножителей равна

,

(1.11)

Для п = 3, 5, 7 ПФ нормированного фильтра Баттерворта равна

,

(1.12)

Коэффициенты ak и bk задаются при b0 = 1 и k =1, 2 ... выражениями:

.

(1.13)

Коэффициент усиления К фильтра в (1.10) равен произведению коэффициентов усиления звеньев Аk и/или А0 в (1.11) или (1.12).

Фильтры Чебышева I типа имеют АЧХ такого вида:

,

(1.14)

где параметры e и К - постоянные числа, а Сп - полином Чебышева первого рода степени п , равный

(1.15)

Здесь x – аргумент функции Cn, равный отношению частот ω/ωс .

Фильтр Чебышева называют равноволновым, т. к. все пульсации равны по значению. Для К = 1 размах пульсаций в полосе пропускания (ripple passband)

(1.16)

Размах Rр можно уменьшить, выбрав значение параметра e достаточно малым.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания - постоянный размах пульсаций - выражается в децибелах как

.

(1.17)

Откуда

.

(1.18)

Рис. 1.17. АЧХ фильтров Чебышева n–го порядка

ПФ фильтров НЧ Чебышева и Баттерворта идентичны по форме и описываются выражениями (1.АЧХ фильтра Чебышева лучше АЧХ фильтра Баттерворта такого же порядка, т. к. у первого уже ширина переходной области. Однако у фильтра Чебышева ФЧХ хуже (более нелинейна) чем ФЧХ у фильтра Баттерворта.

Рис. 1.18. ФЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта n–го порядка

АЧХ фильтра Чебышева данного порядка лучше АЧХ Баттерворта, так как у фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако ФЧХ фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с ФЧХ фильтра Баттерворта.

ФЧХ фильтра Чебышева для 2-7-го порядков приведены на рис. 1.18. Для сравнения на рис. 1.18 штриховой линией изображена ФЧХ фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что ФЧХ фильтров Чебышева высокого порядка хуже ФЧХ фильтров более низкого порядка. Это согласуется с тем фактом, что АЧХ фильтра Чебышева высокого порядка лучше АЧХ фильтра более низкого порядка.

1.1. ВЫБОР МИНИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА ФИЛЬТРА

На основе рис. 1.8 и 1.9 можно сделать вывод, что чем выше порядок фильтров Баттерворта и Чебышева, тем лучше их АЧХ. Однако более высокий порядок усложняет схемную реализацию и вследствие этого повышает стоимость. Таким образом, важен выбор минимально необходимого порядка фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям.

Пусть в изображенной на рис. 1.2 общей характеристике заданы максимально допустимое затухание в полосе пропускания a1 (дБ), минимально допустимое затухание в полосе задерживания a2 (дБ), частота среза wс (рад/с) или fc (Гц) и максимальная допустимая ширина переходной области TW, которая определяется следующим образом:

TW = w1 – wс

(1.24)

(Следовательно, полоса задерживания должна начинаться с некоторой частоты w2 < w1.) Задача состоит в нахождении минимального порядка n, который будет удовлетворять всем этим условиям.

Для фильтра Баттерворта с a1 = 3 дБ минимальный порядок можно определить, подставив приведенные выше условия в (1.18) и решив его относительно порядка п. В результате получаем

.

(1.25)

где логарифмы могут быть или натуральными, или десятичными.

Уравнение (1.24) можно записать в виде

wс/w1 = (TW / wс) + 1

(1.26)

и полученное соотношение подставить в (1.25) для нахождения зависимости порядка п от ширины переходной области, а не от частоты w1. Параметр TW / wс называется нормированной шириной переходной области и является безразмерной величиной. Следовательно, TW и wс можно задавать и в радианах на секунду, и в герцах.

Подобным же образом на основе (1.18) для К = 1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева

.

(1.27)

Уравнение (1.25) снова можно использовать для исключения частоты w1.

В качестве примера предположим, что заданы a1 = 3 дБ, a2 = 20 дБ, fc = 1000 Гц, а ширина переходной области TW не должна превышать 300 Гц. Из (1.26) получаем

wс/w1 = (300/1000) + 1 =1,3

(1.28)

а из (1.25) следует, что удовлетворяющий этим требованиям фильтр Баттерворта должен иметь следующий минимальный порядок:

.

Поскольку порядок должен быть целым числом, то берем ближайшее большее целое число: n = 9.

Минимальный порядок фильтра Чебышева, удовлетворяющего этим требованиям, находится из (1.27):

.

Снова находя ближайшее большее целое число, получаем п = 4.

Этот пример наглядно иллюстрирует преимущество фильтра Чебышева над фильтром Баттерворта, если основным параметром является АЧХ. В рассмотренном случае фильтр Чебышева обеспечивает ту же самую крутизну передаточной функции, что и фильтр Баттерворта удвоенной сложности.

1.2. ФНЧ С МНОГОПЕТЛЕВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

И БЕСКОНЕЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ

Рис. 1.11. ФНЧ с МОС второго порядка

Существует много способов построения активных ФНЧ Баттерворта и Чебышева. Далее будут рассмотрены некоторые из наиболее применяемых в настоящее время общих схем, начиная с простых (с точки зрения числа необходимых схемных элементов) и переходя к наиболее сложным.

Для фильтров более высокого порядка уравнение (1.29) описывает ПФ типового звена второго порядка, где К – коэффициент его усиления; В и С – коэффициенты звена, приведенные в справочной литературе [1]. Одна из наиболее простых схем активных фильтров, реализующих ПФ нижних частот согласно (1.29), приведена на рис. 1.11.

Рис. 1.12. ФНЧ первого порядка

Она иногда называется схемой с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления из-за наличия двух путей прохождения сигнала обратной связи через элементы C1 и R2, а также вследствие того, что ОУ в этом случае работает как прибор с бесконечным коэффициентом усиления. Схема ФНЧ первого порядка приведена на рис. 1.12.

.

(1.30)

Эта схема реализует уравнение (1.29) с инвертирующим коэффициентом усиления – К ( К> 0) и

Сопротивления, удовлетворяющие уравнению (1.30), равны

.

(1.31)

где значения C1 и C2 выбираются произвольно. Сопротивления задаются в омах, а емкости – в фарадах.

Следовательно, по заданным К, В, С и wс можно выбрать значения C1 и C2 и вычислить требуемые значения сопротивлений. Емкости должны иметь номинальные значения, которые в результате расчета дают реальное значение сопротивления R2 ;. Это условие выполняется, если

.

(1.32)

Целесообразный подход состоит в том, чтобы задать номинальное значение емкости C2, близкое к значению 10/fc мкФ и выбрать наибольшее имеющееся номинальное значение емкости C1, удовлетворяющее уравнению (1.31). Сопротивления должны быть близки к значениям, вычисленным по (1.31). Чем выше порядок фильтра, тем более критичными являются эти требования. Если в наличии отсутствуют вычисленные номинальные значения сопротивлений, то следует отметить, что все значения сопротивлений можно домножить на общий коэффициент при условии, что значения емкостей делятся на тот же самый коэффициент.

В качестве примера предположим, что необходимо разработать фильтр Чебышева с МОС второго порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ, полосой пропускания 1000 Гц и коэффициентом усиления равным 2. В этом случае К = 2, wс = 2π (1000), а из приложения А [1] находим, что В = 1,425625 и С=1,516203. Выбирая номинальное значение C2 = 10/fc = 10/1000=0,01 мкФ = 10-8 Ф, из (1.32) получаем

мкФ.

Выберем номинальное значение емкости C1 = 0,001 мкФ = 1 нФ и вычислим по-(1.31) значения сопротивлений. В результате

Теперь предположим, что необходимо разработать фильтр Баттерворта шестого порядка с МОС, частотой среза fc = 1000 Гц и коэффициентом усиления K = 8. Он будет состоять из трех звеньев второго порядка, каждое с ПФ, определяемой уравнением (2.1). Выберем коэффициент усиления каждого звена K = 2, что обеспечивает требуемый коэффициент усиления самого фильтра 2∙2∙2=8. Из приложения А для первого звена находим В = 0,517638 и С = 1. Снова выберем номинальное значение емкости С2 = 0,01 мкФ и в этом случае из (2.21) найдем С1 = 0,00022 мкФ. Зададим номинальное значение емкости С1 = 200 пФ и из (2.20) найдем значения сопротивлений R2 =139,4 кОм; R1 =69,7 кОм; R3 = 90,9 кОм. Два других звена рассчитываются аналогичным способом, а затем звенья соединяются каскадно для реализации фильтра Баттерворта шестого порядка.

Из-за своей относительной простоты фильтр с МОС является одним из наиболее популярных типов фильтров с инвертирующим коэффициентом усиления. Он обладает также определенными преимуществами, а именно хорошей стабильностью характеристик и низким выходным полным сопротивлением; таким образом, его можно сразу соединять каскадно с другими звеньями для реализации фильтра более высокого порядка. Недостаток схемы состоит в том, что невозможно достичь высокого значения добротности Q без значительного разброса значений элементов и высокой чувствительности к их изменению. Для достижения хороших результатов коэффициент усиления К и добротность Q должны быть ограничены значением, приблизительно равным 10. Коэффициент усиления может быть больше, если значение добротности выбрано меньшим и выполняется ограничение, например: КQ = 100 при Q ≤ 10.

Из (1.11) можно установить, что добротность Q определяется соотношением . В фильтре Баттерворта нижних частот шестого порядка первое звено имеет наибольшее значение добротности Q = 1/0,517638 = 1,93. Следовательно, в этом примере можно обоснованно применять фильтр с МОС, получая достаточно хорошие результаты.

1.3. ФНЧ НА ИНУН

Рис. 1.13. ФНЧ на ИНУН второго порядка

На рис. 1.13 приведена широко распространенная схема ФНЧ второго порядка, реализующая неинвертирующий (положительный) коэффициент усиления. Эта схема иногда называется фильтром на ИНУН, поскольку ОУ и два подсоединенных к нему резистора R3 и R4 образуют источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН).