Математика

Содержание.

Предисловие.

1.  Алгебраические преобразования.

2.  Неравенства.

3.  Функции и графики.

4.  Преобразование степенных и иррациональных выражений.

5.  Иррациональные уравнения.

6.  Основные методы решения алгебраических уравнений.

7.  Уравнения, содержащие модуль.

8.  Геометрические задачи.

9.  Примерное контрольное задание.

10.  Основные формулы.

Литература.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Во все времена математика лежала в основе так называемого точного естествознания, была мощным рабочим аппаратом физики, астрономии, техники. Абстрактные математические понятия и теоремы позволяли наиболее полно и точно описывать объективные законы природы.

В последние десятилетия значение математики в общей системе человеческих знаний возросло неизмеримо, ибо усилился интенсивный процесс математизации многих наук. Эти слова следует понимать в том смысле, что только обладая точной математической формой исследования, данная отрасль знаний может получить исчерпывающие количественные результаты. Вот почему математические методы широко применяются в механике, геофизике, геологии, экономике, управлении производством.

На вступительном экзамене надо уметь решать примеры, задачи и при этом решать их правильно, т. е. давать исчерпывающее, логически верное и математически грамотно изложенное решение. Предлагаются не какие-то сложные проблемы, а задачи в пределах обычного школьного курса, которые решаются с помощью изучаемых в школе теорем, правил и приемов.

Как следует выполнять письменную работу по математике на экзамене?

Решение задач, предлагаемых на письменном экзамене должны быть приведены подробно, четко и аккуратно; объяснять выкладки, провести проверку( если это необходимо), указать все ограничения (возникающие как из условия, так и в ходе выкладок): чертежи следует выполнять аккуратно (можно и от руки), все обозначения на чертеже должны быть объяснены и должны совпадать с обозначениями, используемыми в тексте решения.

Поступающие часто допускают в решении арифметические ошибки, путают простейшие формулы. Поэтому следует тщательно контролировать себя, внимательно проверять выкладки.

При выполнении письменной работы полезно учесть несколько «тактических» советов. Целесообразно сначала решать ту задачу, которая кажется более простой, довести ее решение до конца, переписать его начисто, а уже после этого приниматься за решение следующей задачи. Никогда не следует решать одну и ту же задачу несколько часов подряд, если она не получается - в результате может не хватить времени на остальные задачи. Лучше отложить эту задачу и заняться другими, а потом, решив их, вернуться к ней снова. Такая система позволяет наиболее рационально использовать предоставляемое для экзамена время.

На экзамене необходимо проявить определенную выдержку и самообладание, не отвлекаться, не обращаться к справочникам, книгам и т. п.

При подготовке к вступительному экзамену следует обстоятельно изучить материал школьных учебников, всерьез потренироваться в решении примеров и задач.

1. Алгебраические преобразования

Пример: Найти числовые значения выражения:

при .

Решение. О т в е т: 4.

Упростить выражение:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  ; Ответ: .

8)  ; Ответ: .

; Ответ: .

2. Неравенства

Пример 1: .

Решение. и

и

Пример 2: .

Решение. ;

+

+

-

-

-2

О т в е т: .

Решить неравенства.

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  ;

8)  ;

Найдите область определения функции:

1); 4) ;

2) ; 5) ;

3) ;

3. Функции и графики

Пример: Построить график функции .

Решение.

1) Находим координаты вершины параболы ; ; (-1;2)

2) Точки пересечения параболы с осями координат ;

D= 4 – 12= - 8 < 0

3) Строим график.

3

2

1

-1

1)  Построить график функции

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

2)  Решить графически систему уравнений

a)  e)

b)  f)

c)  g)

d)  h)

3)  Решить графически уравнения:

a)  d)

b)  e)

c)  f)

4. Преобразования степенных и иррациональных выражений

Пример 1. Найдите значение выражения .

1) 14; 2); 3); 4)-11.

Решение. Учитывая, что , а , и используя формулу , получим:

.

Такой ответ среди приведенных ответов стоит под номером 3.

О т в е т: 3.

Пример 2. Выполните действия: .

1); 2); 3); 4).

Решение. .

О т в е т: 4.

Пример 3. Упростите выражение .

1) ; 2) 0; 3); 4) .

Решение. Используя определение степени с дробным показателем , где , , и свойство степени , получаем:

.

Обозначив буквой , полученное выражение можно записать так: .

Разложив числитель на множители, сократим дробь и приведем подобные члены полученного многочлена: .

Следовательно, .

О т в е т: 4.

Пример 4. Упростите выражение .

1); 2); 3); 4).

Решение. .

Пусть ,. Далее получаем: , то есть .

О т в е т: 2.

Пример 5. Упростите выражение .

1); 2); 3); 4).

Решение. Используя определение степени с дробным показателем и свойства степеней, получаем: .

Пусть , тогда .

Итак, .

О т в е т: 4.

Пример 6. Упростите выражение .

1); 2); 3); 4).

Решение.

.

О т в е т:1

Решите самостоятельно.

1.  Упростите выражение .

1) ; 2) ; 3)19; 4).

2.Упростите выражение .

1) ; 2) ; 3) ; 4);

3.Упростите выражение .

1) ; 2); 3); 4) .

4.Упростите выражение .

1) ; 2) ; 3); 4) .

5.Упростите выражение .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5. Иррациональные уравнения.

Пример 1. Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: .

После преобразований получим . Проверим, является ли –1 корнем исходного уравнения: , .

Последнее равенство верно, следовательно, -1 - искомый корень. Так как , то верный ответ №4.

О т в е т: 4.

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение ?

1) ни одного; 2) один; 3) два; 4)четыре;

Решение. ; ; ;

; .

Проверка. - равенство неверно, значит, 2 – не корень.

- равенство неверно, значит, -2 – не корень.

О т в е т: 1.

Пример 3. Найдите решение системы уравнений и вычислите значение суммы .

1) 7; 2) 5; 3) 3; 4) 2.

Решение. Введем обозначения: . Получим:

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым: .

Отсюда получаем: . Подставив 2 в первое уравнение, получим: .

Итак, , следовательно, , значит, . Итак, пара - искомое решение системы уравнений: .

О т в е т:2.

Решите самостоятельно.

1.  Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1) (-6;-3);;0); 3) (0;3); 4) (3;6).

2.  Сколько корней имеет уравнение ?

1) четыре; 2) два; 3) один; 4) ни одного.

3.  Найдите сумму корней уравнения .

1) –1; 2) 1; 3) 4; 4) 5.

4.  Найдите решение системы уравнений и вычислите значение суммы .

1) 4; 2) 5; 3) 7;

6. Основные методы решения алгебраических уравнений.

I.  Линейные уравнения . Такое уравнение имеет один корень, нахождение которого не вызывает затруднений: .

II.  Квадратное уравнение . Квадратные уравнения решаются по готовой формуле ; используется теорема Виета: .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Предложенное уравнение не является алгебраическим. Более того, не любые значения неизвестной могут выступать в качестве корней этого уравнения. Начинать решение таких уравнений необходимо с указания области определения переменной .

(1)

Теперь приводим уравнение к виду и раскрываем скобки: .

Приводим подобные слагаемые и получаем:

.

Найденные значения удовлетворяют соотношениям (1).

О т в е т:

З а д а ч и. Решить уравнения.

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

III.  Уравнения степени большей чем 2.

А. Метод группировки. Путём группировки слагаемых, применения формул сокращенного умножения привести (если удается) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа – ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

Пример 2. Найти корни уравнения .

Решение: , группируем:

,

О т в е т:

Замечание: корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения: если , то

В нашем случае

З а д а ч и. Решить уравнения.

1)

2)

3) (положить )

Б. Метод подстановки. Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что обозначить. Например, уравнение легко решается с помощью подстановки , получаем . Или . Здесь можно сделать подстановку . Тогда и т. д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после преобразований. Например, дано уравнение . Переписав его иначе, а именно , сразу увидим подстановку . Имеем , . Осталось решить и .

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать заранее.

Например:

1)  Уравнение сводится к биквадратному, если сделать подстановку .

2)  Симметрическое уравнение (коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки , если - четное; если - нечетное, то уравнение имеет корень .

3)  Уравнение вида сводится к квадратному, если и т. д.

Пример 3. Найти корни уравнения .

Решение. Перепишем уравнение в виде , т. е. . Обозначим , тогда . Поэтому

или

О т в е т: .

З а д а ч и. Решить уравнения.

1)

2)

4) 

В. Метод подбора: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения ищем в виде ,где -делитель , - делитель , и взаимно просты, .

Пример 4. Найти корни уравнения .

Решение. Здесь . Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6:,,, . Проверкой убеждаемся, что , т. к. .

Делим на .

Тогда , т. е. данное уравнение можно представить в виде .

Отсюда находим, что - решение, найденное подбором, - из уравнения .

О т в е т: , .

З а д а ч и. Решить уравнения.

1) 

2) 

3) 

Г. Нестандартный подход. Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высоких степеней нет и поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т. д.

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение. Область определения переменной - все действительные числа, кроме корней знаменателей, т. е. Разделим числитель и знаменатель дробей на : , обозначим . Получаем , т. е. , т. е. , т. е. , , . Следовательно, или

О т в е т: .

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения : , т. е. . Пусть , тогда , , . Возвращаясь к старой переменной, получаем

или

О т в е т: .

З а д а ч и. Решить уравнения.

1) 

2) 

3)

7. Уравнения, содержащие модуль.

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что , если .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:

а) если , то и уравнение переписывается так: , т. е. , ;

б) если , то , , и поэтому имеем , и т. к. , то в промежутке корней нет;

в) если , то получаем , т. е. , ; наконец,

г) если , то , , .

О т в е т: , .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

а) , тогда , , ;

б) , тогда , , - любое из ;

в) , тогда , , .

О т в е т: .

Пример 3. Найти корни уравнения .

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение , т. е.

, т. е.

, , .

О т в е т: , .

Пример 4. решить уравнение .

Решение. Это уравнение эквивалентно совокупности систем

и

Отсюда находим, что , .

О т в е т: , .

Пример 5. Указать все корни уравнения .

Решение. Это уравнение с параметром а. Оно эквивалентно совокупности систем и .

Находим, что , , но должно выполняться условие , т. е. . Стало быть, , т. е. и , т. е. .

При имеем .

О т в е т: если , то ; если , то .

З а д а ч и. Решить уравнения.

1) 

2) 

3)

8. Геометрические задачи

1.  Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 3:7.

2.  Величины углов треугольника относятся как 1:2:3. Большая сторона имеет длину 8 м. Найти длины меньшей стороны и медианы большей стороны.

Ответ: 4 м,4 м.

3.  Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. Найти длины сторон треугольника, если его периметр равен 32 см.

4.  Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 3 см и 5 см. Найти их длины.

5.  В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60 градусов. Найти меньше основание.

Ответ: 1,7 м.

6.  Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 30 см, а средняя линия равна 9 см. Найти длину каждой из боковых сторон трапеции.

Ответ: 6 см.

7.  Сторона треугольника равна 20 см, а противолежащий ей угол 150 градусов. Найти радиус описанной окружности.

Ответ: 20 см.

8.  Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 м и 5 м. Найти катеты треугольника.

Ответ: 6 м и 8 м.

9.  Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если a=55, b=21, c=38.

10.  Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две стороны, если c=14, , .

11.  Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым углом С, если известно, что

a) a=6,4; b=50

b) b=65; c=69

c) ,

d) a=114,

e) a=18,

f) ,

12.  Найдите площадь параллелограмма, если его большая диагональ 5 м, а высота 2 м и 3 м.

13.  Найдите площадь трапеции у которой основания 69 см и 20 см, а боковые стороны 13 см и 37 см.

14.  Найти стороны ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна .

15.  Найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 50 дм, а основание меньше боковой стороны на 1 дм.

16.  Найти площадь круга, если длина окружности равна 8 м.

9. Примерное контрольное задание.

1.  Решить уравнение

2.  Решить задачу

С туристической базы вышел пешеход, его скорость 4 км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы автомобиль догонит пешехода?

3. Постройте график функции , записав аналитическое задание функции у:

Вершиной графика является точка М (2;4), и график проходит через точку А (1;5).

4. Решить задачу

Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 2 см. Сумма трех сторон равна 12 см. Найдите её стороны.

5.  Решить графически уравнение:

10. Основные формулы

1.  Свойства степени с рациональным показателем:

; ;

; ;

; ;

; .

2.  Действия с корнями:

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

Если , .

Если , то .

натуральное).

3.  Формулы сокращенного умножения:

2 = a2 + 2ab + b2;

(a - b) 2 = a2 – 2ab + b2 ;

3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ;

(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 ;

(a + b)(a - b)= a2 - b2;

(a + b)( a2 – ab + b2)= a3 + b3 ;

(a - b)( a2 + ab + b2)= a3 - b3 ;

(a – b + c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc;

a2 + b2 = (a + b) 2 – 2ab;

a2 + b2 = (a - b) 2 + 2ab;

4.  Квадратное уравнение:

ax2 + bc + c = 0 (a 0), x1,2 = ;

ax2 + 2kx + c = 0 (a 0) x1,2 = (k2 – ac 0);

x2 + px + q = 0, x1,2 = .

Формулы Виета: , .

Формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) .

5.  Прогрессии:

формула общего члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n - 1)d;

формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

;

формула общего члена геометрической прогрессии:

;

формула суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q 1: ;

формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

6.  Площади многоугольников:

площадь прямоугольника с основанием a и высотой b: S = ab;

площадь параллелограмма с основанием a и высотой h: S = ah;

площадь треугольника с основанием a и высотой h: ;

площадь треугольника со сторонами a, b, c : sin , где - угол между сторонами b и c;

, где , r – радиус вписанной в треугольник окружности;

, где R – радиус описанной около треугольника окружности;

формула Герона: , где ;

площадь трапеции с основаниями a, b и высотой h: ;

площадь правильного многоугольника: , где P – периметр многоугольника, r – радиус вписанной в него окружности;

площадь правильного n-угольника: sin , где R – радиус описанной окружности.

Сторона правильного n-угольника:

sin ; cos;

sin; sin; sin.

7. Окружность, круг:

длина окружности: C = pD = 2pR;

длина дуги окружности, отвечающая центральному углу в : ;

площадь круга: S =pR2;

площадь кругового сектора: ;

площадь сегмента с радианной мерой центрального угла a:.

Литература

1. и др. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990

2. и др. Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, 1989.

3. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. – М.: Наука, 1989.

4. и др. Задачи вступительных экзаменов по математике. – М.: Наука, 1983

5. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под редакцией – М.: Высшая школа, 1980.

6. Цыпкин по математике. – М.: Наука, 1983.