Федеральное агентство по образованию Российской федерации
ГОУ ВПО «Новосибирский государственный педагогический университет»
Математический факультет
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА КУРСА
«Математический анализ»
по специальности 061800 «Математические методы в экономике»
Код стандарта: ЕН. Ф.01
Кафедра: | 18 |
Курс | 1-2 |
семестр: | 1-3 |
Распределение часов: | |
Лекции: | 102 |
Практические занятия | 34 |
Лабораторные занятия | 68 |
Самостоятельная работа | 176 |
Зачетные мероприятия | |
Зачет | 1 |
Экзамен | 1, 2, 3 |
Курсовая работа | 4 |
Всего часов по уч. плану | 312 |
Разработчик: к. п. н., доцент
Утверждено на заседании кафедры
от «23» апреля 2007 г.
Протокол № 6
Зав. кафедрой _________
Новосибирск 2007 г.
1. Выписка из ГОС
ЕН. Ф.01 | Математический анализ Множества. Окрестность точки. Функциональная зависимость. Предел числовой последовательности. Предел функции. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке. Числовые множества и последовательности. Непрерывные функции. Производная и дифференциал. Дифференцируемые функции. Выпуклость функции. Неопределенный, определенный и несобственные интегралы. Функции нескольких переменных. Приложения к общей экономической теории. Кратные интегралы. Неявная функция. Выпуклые функции. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Дифференциальные уравнения. Обыкновенные разностные уравнения. | 312 |
2. Пояснительная записка
В соответствии с государственным образовательным стандартом математическая подготовка будущего математика-экономиста в течение первых 3-х семестров обучения состоит из изучения базовых математических дисциплин. Наибольшую нагрузку из этих дисциплин несет курс математического анализа, поскольку он содержит в себе основы многих теоретических вопросов других дисциплин, а также обоснование теоретических вопросов, возникающих в дисциплинах, связанных с применениями математических методов в экономике. Приложения математического анализа применяются в ряде экономических дисциплин.
Будущий математик-экономист должен обладать достаточно высокой математической культурой, иметь развитое математическое мышление, владеть математическим языком, уметь корректно выражать, и аргументированно обосновывать положения предметной области знания. Курс математического анализа имеет общеобразовательное и прикладное значение, содержит богатый материал для формирования диалектического мышления студентов.
Все вышесказанное обосновывает необходимость глубокого изучения курса математического анализа для формирования математического образование будущего математика-экономиста
Настоящая программа определяет объем знаний по разделам математического анализа, необходимый для математиков-экономистов. Программа реализуется в соответствии с государственным стандартом Министерства образования Российской Федерации в рамках объема часов, отведенных на лекции, практические занятия и самостоятельную работу. Контрольные мероприятия (контрольные работы, индивидуальные задания, коллоквиумы, зачеты, экзамены и т. д.) проводятся согласно графику учебного процесса.
Цели дисциплины
Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет цели:
‑ сформировать у студентов знания разделов математического анализа, а также умения и навыки решения задач и проведения простейших доказательств, необходимые для изучения таких математических курсов, как теория вероятностей, математические методы исследования операций, а также ряда экономико-математических дисциплин; для написания курсовых и дипломных работ;
‑ ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач экономики;
‑ привить студентам умение самостоятельно работать с математической литературой;
‑ развить логическое и алгоритмическое мышление;
‑ воспитать умение строго излагать свои мысли;
‑ выработать у студентов навыки к математическому исследованию прикладных вопросов: умение перевести прикладную (экономическую) задачу на математический язык; с помощью математических методов решить ее; дать экономическую трактовку полученных результатов.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Общие требования
Специалист должен:
- владеть культурой мышления, уметь в письменной и устной речи кратко, последовательно и логично оформлять и излагать изучаемый учебный материал по математическому анализу;
- уметь анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации;
- уметь использовать математический аппарат и математические методы при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, в том числе экономических;
- иметь целостное представление о математике как науке, ее месте в современном мире и системе наук, о ее взаимосвязях с экономическими науками.
Частные требования
Студент, изучивший курс математического анализа, должен:
- владеть основными идеями и понятиями математического анализа;
- владеть понятием функции, уметь находить области определения функций;
- уметь представлять функцию в виде композиции функций, находить области определения композиции функций;
- уметь исследовать функции на четность, нечетность, периодичность, монотонность;
- уметь исследовать функции на возрастание, убывание;
- уметь исследовать функции на выпуклость, вогнутость;
- знать понятие предела функции, предела числовой последовательности;
- уметь находить пределы функций, пределы числовых последовательностей, используя алгебраические свойства предела функции, предела последовательности;
- уметь использовать порядковые свойства предела функции, предела последовательности;
- знать определение точек разрыва функции, определение односторонних пределов функции, связь существования односторонних пределов с существованием предела функций;
- уметь исследовать функции на непрерывность;
- знать роль и место замечательных пределов в процедуре нахождения пределов функций;
- знать свойства функций, непрерывных на отрезке;
- знать определение дифференцируемости функции в точке и связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в точке;
- знать определение дифференциала функции в точке; уметь применять понятие дифференциала к приближенным вычислениям;
- знать определение производной функции в точке, ее геометрический смысл, уметь составлять уравнения касательных к кривой в точке.
- уметь находить производные элементарных функций;
- знать правило Лопиталя и уметь его применять к нахождению пределов функций;
- знать формулу Тейлора и ее приложения: разложение функций по формуле Тейлора, исследование рядов на сходимость, исследование функций на минимум, максимум, нахождение пределов функций;
- знать определение и свойства показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических и обратных тригонометрических функций, уметь строить их графики;
- знать схему исследования функции и построения графиков и уметь ее применять при построении графиков функций;
- уметь строить графики кривых в полярной системе координат;
- знать понятие неопределенного интеграла, основные приемы и методы вычисления интегралов: табличный, способ подстановки, интегрирование по частям;
- знать определение и свойства определенного интеграла, основные способы вычисления определенных интегралов;
- уметь применять аппарат интегрального исчисления к вычислению различных физических и механических величин;
- знать определения понятий ряда, суммы ряда; сходящегося и расходящегося ряда;
- знать основные признаки сходимости числовых рядов;
- знать понятие условной и абсолютной сходимости ряда и связь между ними;
- знать основные сведения о степенных рядах, формулу для нахождения радиуса сходимости степенного ряда;
- знать теоремы о почленной дифференцируемости и почленной интегрируемости степенного ряда, теорему о единственности разложения функции в степенной ряд;
- знать разложение функций e x, sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x) a в степенные ряды, уметь применять эти разложения для нахождения разложения функций в степенные ряды;
- знать определение функции нескольких переменных; уметь находить ее область определения;
- знать определение непрерывности и дифференцируемости функции нескольких переменных и основные правила дифференцирования;
- знать теорему о дифференцируемости сложной функции;
- знать определение понятия частной производной, связь между существованием частных производных и дифференцируемостью функции в точке;
- знать достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных, условия независимости частных производных от порядка дифференцирования;
- уметь исследовать функции нескольких переменных на экстремум и уметь обосновывать характер точек экстремума;
- знать определение, основные свойства двойного и тройного интегралов;
- уметь сводить кратный интеграл к повторным для вычисления кратных интегралов;
- уметь применять кратные интегралы к вычислению площадей фигур, объемов тел, площадей поверхностей, вычислению физических и механических величин;
- знать определение обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, их решений.
- уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах;
- уметь решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
4. Объем и виды учебной работы
Виды учебной работы | Всего часов | Семестры | ||
I 18 | II 17 | III 18 | ||
Общая трудоемкость курса | 380 | 128 | 128 | 124 |
Аудиторные занятия | 204 | 68 | 68 | 68 |
Лекции | 102 | 34 | 34 | 34 |
Практические занятия | 34 | - | - | 34 |
Лабораторные занятия | 68 | 34 | 34 | - |
Самостоятельная работа | 176 | 60 | 60 | 56 |
I семестр
1. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий
Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.
Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных заданий, а также при проведении аудиторных контрольных работ. Итоговый контроль предполагает зачет и экзамен в конце семестра.
2. Содержание дисциплины
Курс математического анализа первого семестра включает небольшую вводную часть (сведения о множествах и свойства основных числовых множеств), подробное освещение элементарных функций, их свойств и графиков, а также классические разделы математического анализа: теорию пределов, дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Тематический план
№ | Тема | Лекции | Лабор. зан. | Сам. раб. |
1 | Множества и операции над ними, их свойства. Основные числовые множества: N, Z, Q, I, R. | 3 | 2 | 4 |
2 | Понятия отображения, области определения и множества значений отображения. Мощность множества, счетные и несчетные множества | 2 | 2 | 3 |
3 | Геометрическая интерпретация множества R. Расширенная числовая прямая. Ограниченность числовых множеств, понятия верней и нижней граней множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Окрестности точек расширенной числовой прямой. | 2 | 2 | 3 |
4 | Понятие числовой функции. Область определения, множество значений функции. Ограниченность функции, четность, нечетность, периодичность, монотонность. Обратимая, обратная и сложная функции. Элементарные функции и их графики. | 2 | 3 | 6 |
5 | Числовая последовательность, операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность последовательности. Теорема о вложенных отрезках. Предел числовой последовательности, бесконечно малые (б. м.) и бесконечно большие (б. б.) последовательности. Свойства б. м. и б. б. последовательностей. | 3 | 3 | 4 |
6 | Сходящиеся и расходящиеся последовательности, основные свойства пределов сходящихся последовательностей. | 2 | 2 | 4 |
7 | Подпоследовательности, частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Число е. | 2 | 2 | 2 |
8 | Предел функции по Коши и по Гейне. Понятия бесконечно малой, бесконечно большой функции в точке. Свойства функций, имеющих предел. Предельный переход в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной функции. Односторонние пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Два замечательных предела. Эквивалентные бесконечно малые. | 4 | 4 | 4 |
9 | Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции, непрерывность элементарных функций. | 3 | 3 | 6 |
10 | Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Теорема о неподвижной точке. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. | 2 | 1 | 4 |
11 | Производная функции в точке, ее геометрический и механический смыслы. Дифференцируемые в точке функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Таблица простейших производных. | 2 | 2 | 3 |
12 | Производные параметрически заданной функции и неявной функции. Дифференциал первого порядка, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Примеры функций в экономике: функции издержек, спроса, производственные функции одной переменной. | 2 | 2 | 3 |
13 | Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Формула Тейлора (Маклорена). Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. | 2 | 2 | 4 |
14 | Признаки возрастания и убывания функции. Понятия локального и глобального экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Направления выпуклости вверх (вниз) графика функции. Точка перегиба. Достаточные условия выпуклости и точки перегиба. Простейшие экстремальные задачи. Асимптоты графика функции. Исследование и построение графиков функций. | 3 | 4 | 6 |
Итого | 34 | 34 | 60 | |
Требования к уровню усвоения дисциплины
Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса: функция и ее основные свойства; последовательность и ее свойства; предел числовой последовательности, предел функции в точке, производная и дифференциал функции в точке. Студент должен знать графики базисных элементарных функций, владеть техникой вычисления пределов последовательностей и функций, техникой дифференцирования, уметь применять основные теоремы дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков функций, решения экстремальных задач.
Основные виды задач.
1. Элементарное исследование функций (область определения, множество значений, четность-нечетность, периодичность)
2. Вычисление пределов функций и последовательностей.
3. Исследование функций на непрерывность, нахождение асимптот графика функции.
4. Вычисление производных и дифференциалов функции одной переменной.
5. Нахождение производных и дифференциалов высших порядков.
6. Нахождение приближенных значений функции в точке с помощью дифференциала, с помощью формулы Тейлора.
7. Исследование функции на монотонность и ограниченность с помощью производной.
8. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба с помощью второй производной.
9. Полное исследование и построение графика функции.
10. Решение экстремальных задач.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в следующей таблице.
Список требований
№ | Тема | Основные требования Студент должен: |
1 | Множества и операции над ними, их свойства. Основные числовые множества: N, Z, Q, I, R. | Знать определения основных операций над множествами, основных числовых множеств. Уметь доказывать принадлежность числа соответствующему числовому множеству; доказывать равенства или включения числовых множеств; находить объединение, пересечение, разность, дополнение числовых множеств. |
2 | Понятие отображения, область определения и множество значений отображения. Мощность множества, счетные и несчетные множества | Знать определения равномощных множеств, счетных и несчетных множеств. Уметь находить область определения и множество значений для заданных отображений; устанавливать равномощность множеств в простейших случаях. |
3 | Геометрическая интерпретация множества R. Расширенная числовая прямая. Ограниченность числовых множеств, понятие верней и нижней граней множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Окрестности точек расширенной числовой прямой. | Знать определения основных числовых промежутков на числовой прямой; точной верхней (нижней) грани; ограниченного множества. Уметь записывать окрестности любой точки произвольного радиуса; исследовать числовые множества на ограниченность. |
4 | Понятие числовой функции. Область определения, множество значений функции. Ограниченность функции, четность, нечетность, периодичность, монотонность. Обратимая, обратная и сложная функции. Элементарные функции и их графики. | Знать определения функции, равных функций, основных свойств функций, обратимой и обратной функций, сложной функции; знать графики и свойства базисных элементарных функций. Уметь находить область определения элементарной функции, исследовать функции на четность-нечетность, периодичность, ограниченность; составлять композиции функций, находить обратную к заданной функции, если она существует. |
5 | Числовая последовательность, операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность последовательности. Теорема о вложенных отрезках. Предел числовой последовательности, бесконечно малые (б. м.) и бесконечно большие (б. б.) последовательности. Свойства б. м. и б. б. последовательностей. | Знать определения числовой последовательности, ее основных свойств, бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей; предела числовой последовательности. Уметь исследовать последовательность на монотонность и ограниченность, доказывать, что последовательность является б. м. или б. б. по определению и с использованием основных теорем. |
6 | Сходящиеся и расходящиеся последовательности, основные свойства пределов сходящихся последовательностей. | Знать определения сходящейся и расходящейся последовательностей, основные свойства пределов сходящихся последовательностей. Уметь находить пределы последовательностей, применяя основные свойства пределов. |
7 | Подпоследовательности, частичный предел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Число е. | Знать определения фундаментальной последовательности; подпоследовательности, частичного предела; теоремы о связи предела последовательности с ее частичными пределами, второй замечательный предел. Уметь выделять из последовательности различные подпоследовательности, применять второй замечательный предел при вычислении пределов последовательностей. |
8 | Предел функции по Коши и по Гейне. Понятия бесконечно малой, бесконечно большой функции в точке. Свойства функций, имеющих предел. Предельный переход в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной функции. Односторонние пределы. Сравнение бесконечно малых. Два замечательных предела. | Знать определения предела функции по Коши и по Гейне; односторонних пределов; свойства функций, имеющих предел. Уметь вычислять пределы функций, используя свойства пределов, замечательные пределы, и свойства эквивалентных бесконечно малых функций. |
9 | Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва. Арифметические действия над непрерывными функциями*. Непрерывность сложной функции, непрерывность элементарных функций. | Знать определения непрерывности справа слева в точке, непрерывности в точке; классификацию точек разрыва. Уметь исследовать функции на непрерывность. |
10 | Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Теорема о неподвижной точке. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. | Знать формулировки теорем о функциях, непрерывных на отрезке; определение равномерно непрерывной на множестве функции. Уметь применять теоремы о непрерывных функциях к доказательству существования корней уравнения, находить этот корень приближенно с заданной точностью. |
11 | Производная функции в точке, ее геометрический и механический смыслы. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Таблица простейших производных. | Знать определения производной и дифференциала, их геометрический смысл; Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, сложной и обратной функции; таблицу простейших производных. Уметь находить производную и дифференциал любой элементарной функции; решать простейшие задачи на геометрический и механический смысл производной. |
12 | Производные параметрически заданной функции и неявной функции. Дифференциал первого порядка, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Примеры функций в экономике: функции издержек, спроса, производственные функции одной переменной. | Знать определение дифференциала первого порядка, определение производной и дифференциала высших порядков. Уметь находить производные первого и второго порядков параметрически заданной функции и неявно заданной функции. Уметь находить по формуле Лейбница производные высших порядков произведения двух функций. |
13 | Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя. Формула Тейлора* (Маклорена). Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. | Знать формулировки теорем Ролля, Лагранжа и Коши; правила Лопиталя; формулу Тейлора; разложения по формуле Маклорена основных пяти функций. Уметь раскрывать неопределенности, применяя правило Лопиталя; находить разложения по формуле Тейлора, используя известные разложения и теорему Тейлора; применять формулу Тейлора для приближенных вычислений. |
14 | Признаки возрастания и убывания функции. Понятия локального и глобального экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Направления выпуклости вверх (вниз) графика функции. Тока перегиба. Достаточные условия выпуклости и точки перегиба. Простейшие экстремальные задачи. Асимптоты графика функции. Исследование и построение графиков функций. | Знать определения локального и глобального экстремумов; выпуклости вверх (вниз) графика функции; точки перегиба; асимптоты графика функции; формулировки достаточных условий монотонности, точки экстремума; выпуклости; точки перегиба. Уметь проводить полное исследование функции и выполнять по нему эскизирование графика функции. |
3. Список литературы
Основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.
2. и др. Математика. Общий курс. – CПб.: Лань, 2002.
3. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1986.
4. Зорич анализ т.1; М: Наука, 1984г.
5. Кудрявцев курс математического анализа. Т.1. ‑ Висагинас, «Alfa», 1998.
6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В. И.. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001.
7. Осипов анализ. Ч 1.Введение в анализ. Предел и непрерывность вещественных функций вещественной переменной. Изд-во НГПУ, 2003г.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2002.
9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1/ , и др. – Минск: Выш. Шк., 1991.
10. Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
11. Шипачев высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.
12. Ярахмедов анализ. Введение в математический анализ.- Новосибирск, 1992г.
13. Ярахмедов анализ. Одномерное дифференциальное исчисление. – Новосибирск, 1992г.
Дополнительная литература:
1. , , Чубариков по математическому анализу, М: Высшая школа, 1999г.
2. , , Садовничий и упражнения по математическому анализу. М: ,Высшая школа т.1, 2 2000г.
3. Демидович задач и упражнений по математическому анализу, М:Наука, 1969г.
4. , Позняк математического анализа ч.1, М: Наука, 1980г.
5. , , Сендов анализ т.1, Изд-во МГУ, 1977г.
6. Решетняк математического анализа ч.1,книга 1, Новосибирск, Изд-во института математики, 1999г.
7. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления т.1, М: Наука, 2004г.
4. Контрольно-измерительные материалы
В первом семестре предусмотрены следующие контрольные мероприятия: контрольная работа №1 (четвертая неделя октября); коллоквиум (середина ноября); вторая контрольная работа (третья неделя декабря); зачет; экзамен. По желанию преподавателя студентам могут быть предложены индивидуальные домашние задания (ИДЗ 6.1 ‑ ИДЗ 6.4) по пособию (9) из списка обязательной литературы.
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Исследовать множество А на ограниченность
2. Найти область определения функции 
3. Выяснить, обратима ли функция 
. Если да, то найти обратную к ней функцию.
4. Исследовать функции на периодичность: 
5. Cоставить композиции 
, если 
6*. Найти образ и прообраз множества 
относительно отображения f.
Вариант 2
1. Исследовать множество А на ограниченность
2. Найти область определения функции 
3. Выяснить, обратима ли функция . Если да, то найти обратную к ней функцию.
4. Исследовать функции на периодичность 
5. Cоставить композиции , если 
6*. Найти образ и прообраз множества 
относительно отображения .
Критерии оценивания работ. За любые пять правильно решенных задач ставится отметка «5». За четыре правильно решенных – «4», за три – «3». Если решено менее трех задач, то ставится отметка «2».
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу
1. Понятие множества и его элемента. Отношения «
» и «=», их свойства. Пустое и универсальное множества. Способы задания множеств.
2. Операции над множествами их свойства.
3. Основные числовые множества. Аксиоматика множества R.
4. Понятие отображения. Способы задания отображений. Область определения и множество значений отображения. Виды отображений. Образы и прообразы точек при отображении.
5. Мощность множества. Счетные множества. Несчетные множества. Несчетность множеств R, 
.
6. Понятия верхней и нижней граней числового множества, наименьшего и наибольшего элемента множества. Ограниченность множеств, примеры.
7. Точные верхняя и нижняя грани множеств, их характеристические свойства. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани непустого ограниченного сверху множества.
8. Расширенная числовая прямая, операции и отношения в 
. Понятие окрестности точки в . Проколотые окрестности.
9. Числовая функция. Равенство функций. График функции. Способы задания функций. Примеры. Нестандартные функции и их графики.
10. Образы и прообразы точек и множеств относительно заданных числовых функций. Графический и аналитический способы отыскания образов и прообразов точек и множеств.
11. Четные и нечетные функции, их графики. Периодические функции, основной период. Построить отрицания определений, привести примеры.
12. Определения обратимой и обратной функций. Примеры. Алгоритм отыскания обратной функции. Достаточное условие обратимости функции.
13. Композиция функций. Некоммутативность, ассоциативность операции композиции. Примеры.
14. Монотонные функции. Разные типы монотонности. Связь монотонности и обратимости.
15. Класс элементарных функций. Графики и основные свойства базисных элементарных функций. Элементарные функции в экономике.
16. Ограниченные и неограниченные функции, их графики. Примеры.
17. Числовая последовательность(ч. п.) График ч. п. Операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность ч. п. Построить отрицание этих определений. Теорема о вложенных отрезках.
18. Предел ч. п., его геометрическая интерпретация. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Примеры.
19. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
20. Сходящиеся ч. п., их свойства. Арифметические операции над пределами.
21. Свойства пределов ч. п., связанные с неравенствами.
22. Необходимое и достаточное условие сходимости монотонной последовательности.
23. Число e.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Исследовать функцию на непрерывность:
2. Вычислить пределы.
a) 
3. Найдите на графике функции 
все точки, в которых касательные, проведенные к графику, параллельны прямой y=0,5x-6.
Вариант 2
1. Исследовать функцию на непрерывность:
2. Вычислить пределы.
a) 
3. Найдите на графике функции 
все точки, в которых касательные, проведенные к графику, параллельны прямой y=-0,5x-6.
Примерный список вопросов к экзамену
1. Понятие множества и его элемента. Отношения «» и «=», их свойства. Пустое и универсальное множества. Способы задания множеств.
2. Операции над множествами, их свойства.
3. Основные числовые множества. Аксиоматика множества R.
4. Расширенная числовая прямая, операции и отношения в . Понятие окрестности точки в . Проколотые окрестности.
5. Понятия верхней и нижней граней числового множества, наименьшего и наибольшего элемента множества. Ограниченность множеств, примеры. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани непустого ограниченного сверху (снизу) множества.
6. Понятие отображения. Числовая функция. Равенство функций. График функции. Способы задания функций. Примеры. Нестандартные функции и их графики. Образы и прообразы точек и множеств относительно заданных числовых функций. Графический и аналитический способы отыскания образов и прообразов точек и множеств. Виды отображений.
7. Монотонные функции. Разные типы монотонности. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные функции, их графики. Примеры. Четные и нечетные функции, их графики. Периодические функции, основной период. Построить отрицания определений, привести примеры.
8. Композиция функций. Некоммутативность, ассоциативность операции композиции. Примеры. Определения обратимой и обратной функций. Примеры. Алгоритм отыскания обратной функции. Достаточное условие обратимости функции.
9. Класс элементарных функций. Графики и основные свойства базисных элементарных функций. Элементарные функции в экономике.
10. Числовая последовательность. График числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями. Монотонность и ограниченность последовательности. Построить отрицания этих определений. Теорема о вложенных отрезках.
11. Предел числовой последовательности, его геометрическая интерпретация. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Примеры. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.
12. Сходящиеся числовые последовательности, их свойства. Арифметические операции над пределами.
13. Свойства пределов числовых последовательностей, связанные с неравенствами.
14. Необходимое и достаточное условие сходимости монотонной последовательности.
15. Число e.
16. Предел функции в точке по Гейне и по Коши. Геометрический смысл предела. Понятия левого и правого пределов функции в точке. Связь односторонних пределов с пределом функции в точке.
17. Основные теоремы о пределах функций. Доказать одну из них с помощью определения по Гейне.
18. Первый замечательный предел, его следствия.
19. Второй замечательный предел, его следствия.
20. Бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке. Сравнение бесконечно малых функций.
21. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного, композиции непрерывных функций. Теорема о непрерывности обратной функции.
22. Точки разрыва функции, их классификация.
23. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Доказать, что функция, непрерывная в точке х=а, ограничена в некоторой окрестности этой точки.
24. Функции, непрерывные на отрезке. Доказать, что функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем и достигает своих крайних значений (первая и вторая теоремы Вейерштрасса).
25. Функции, непрерывные на отрезке. Доказать теоремы о промежуточных значениях. (Первая и вторая теоремы Больцано-Коши).
26. Производная функции в точке, ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали.
27. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
28. Понятия правой и левой производных функции в точке. Связь непрерывности и дифференцируемости.
29. Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
30. Правила дифференцирования.
31. Производная обратной функции. Производная сложной функции.
32. Таблица простейших производных. Доказать, что 
33. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Вывести формулу для 
. Найти производную 15-го порядка функции 
.
34. Основные теоремы дифференциального исчисления. Доказать теоремы Ферма и Ролля.
35. Основные теоремы дифференциального исчисления. Доказать теоремы Лагранжа и Коши.
36. Раскрытие неопределенностей. Доказать правило Лопиталя для случая 
Показать, что остальные неопределенности могут быть сведены к двум основным.
37. Формула Тейлора.
38. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций. Применения формул Тейлора для приближенных вычислений, для нахождения пределов.
39. Применение производной для исследования функций. Достаточное условие монотонности функции.
40. Применение производной для исследования функций. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
41. Применение производной для исследования функций. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
42. Общая схема исследования функции.
II семестр
1. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий
Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.
Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных заданий, а также при проведении аудиторных контрольных работ. Итоговый контроль предполагает экзамен в конце семестра.
2. Содержание дисциплины
Во втором семестре излагается интегральное исчисление функции одной переменной, теория рядов, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Тематический план
№ | Тема | Лекции | Лабор. зан. | Сам. раб. |
1 | Неопределенный интеграл. Определение и простейшие свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. | 2 | 2 | 6 |
2 | Интегрирование дробно-рациональных функций. | 2 | 2 | 4 |
3 | Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций. | 2 | 2 | 2 |
4 | Определение определенного интеграла от ограниченной функции. Критерий интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций. | 2 | 2 | 2 |
5 | Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. | 2 | 2 | 4 |
6 | Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление площади криволинейного сектора, Вычисление объема тела вращения и длины дуги кривой. | 2 | 2 | 6 |
7 | Несобственный интеграл. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Признак сравнения для несобственных интегралов. | 2 | 2 | 3 |
8 | Определения числового ряда, сходящегося и расходящегося ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. | 2 | 2 | 4 |
9 | Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана. | 2 | 2 | 2 |
10 | Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимости рядов. Теорема Вейершрасса о равномерной и абсолютной сходимости ряда. Степенной ряд, его радиус и интервал сходимости. | 2 | 2 | 4 |
11 | Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды | 2 | 2 | 3 |
12 | Пространство | 2 | 2 | 3 |
13 | Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность ф. н.п. в точке и на множестве. Теоремы о свойствах функций, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве. | 2 | 2 | 3 |
14 | Частные производные ф. н.п. Дифференциал первого порядка ф. н.п. Дифференцируемость ф. н.п. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. | 2 | 2 | 4 |
15 | Частные производные высших порядков. Дифференциалы ф. н.п. высших порядков. Формула Тейлора для ф. н.п. с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. | 2 | 2 | 3 |
16 | Локальный экстремум ф. н.п.. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф. н.п. в заданной замкнутой области. | 2 | 2 | 4 |
17 | Неявная функция. Теорема о неявной функции. Условный локальный экстремум: необходимое условие локального экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа. | 2 | 2 | 3 |
Итого | 34 | 34 | 60 |
. Окрестность точки в Требования к уровню усвоения дисциплины
Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса: первообразная, неопределенный интеграл; определенный интеграл, несобственный интеграл; сумма числового ряда, сходимость (расходимость) числового ряда; абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов; равномерная и поточечная сходимости функционального ряда; степенной ряд, его область сходимости; предельная точка множества А
, предел ф. н.п. в предельной точке; частная производная ф. н.п. в точке; дифференциалы первого и высших порядков функции нескольких переменных; производная по направлению; локальный экстремум функции нескольких переменных; и точка локального экстремума; наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области.
Основные виды задач.
1. Нахождение неопределенных интегралов с использованием таблицы первообразных и замены переменной.
2. Интегрирование с помощью метода интегрирования по частям.
3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
4. Интегрирование некоторые иррациональностей и функций, рациональных относительно cosx и sinx.
5. Вычисление определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница и навыков нахождения первообразных, перечисленных в 1. ‑ 4.
6. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенных интегралов.
7. Вычисление объемов тел вращения и длин кривых с помощью определенного интеграла.
8. Вычисление несобственных интегралов по определению.
9. Исследование сходимости несобственных интегралов с помощью признака сравнения.
10. Исследование на сходимость знакопостоянные рядов с помощью признаков сравнения, Даламбера, Коши, интегрального.
11. Исследование на сходимость знакочередующихся рядов с помощью признака Лейбница.
12. Разложение функций, дифференцируемых бесконечно много раз в точке х=а, в ряд Тейлора по степеням (х-а) с помощью: а) определения ряда Тейлора; б) известных разложений в ряд Тейлора; в)формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
13. Определение радиуса и интервала сходимости заданного степенного ряда; исследование его на сходимость на концах интервала.
14. Определение и изображение на плоскости и в пространстве областей определения функций двух и трех переменных.
15. Исследование на непрерывность функции двух переменных.
16. Вычисление частных производных первого и второго порядков и дифференциалов первого и второго порядков функций двух и трех переменных.
17. Составление уравнений касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в заданной точке.
18. Вычисление производной функции в заданном направлении.
19. Разложение по формуле Тейлора в окрестности точки функции двух переменных.
20. Исследование на экстремум функции двух и трех переменных.
21. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции двух переменных в заданной замкнутой области.
22. Нахождение точек условного экстремума с помощью метода Лагранжа.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в следующей таблице.
Список требований
№ | Тема | Основные требования Студент должен: |
1 | Неопределенный интеграл. Определение и простейшие свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. | Знать определения первообразной, неопределенного интеграла; простейшие свойства интеграла, таблицу основных интегралов, формулы замены переменной и интегрирования по частям. Уметь находить первообразные, используя простейшие свойства, таблицу интегралов, замену переменной и интегрирование по частям. |
2 | Интегрирование дробно-рациональных функций. | Знать определение дробно-рациональной функции. Уметь раскладывать многочлен на множители, рациональную дробь в сумму простейших дробей, интегрировать простейшие дроби. |
3 | Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций | Знать формулы замен переменной, приводящие к рационализации подинтегрального выражения. Уметь интегрировать некоторые виды иррациональностей и функции вида |
4 | Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. | Знать формулу Ньютона-Лейбница, основные свойства определенного интеграла, особенности применения замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Уметь вычислять определенные интегралы, используя нахождение первообразных и формулу Ньютона-Лейбница. |
5 | Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление площади криволинейного сектора, Вычисление объема тела вращения и длины дуги кривой. | Знать формулы для вычисления площадей криволинейных трапеций и криволинейных секторов, объемов тел вращения, длины кривой через определенный интеграл. Уметь находить площади плоских фигур, разбивая их на криволинейные трапеции или сектора, объемы тел вращения, длины кривых с помощью определенного интеграла. |
6 | Несобственный интеграл. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Признак сравнения для несобственных интегралов. | Знать определения несобственных интегралов первого и второго рода, формулировку признака сравнения сходимости несобственных интегралов. Уметь вычислять несобственные интегралы по определению; исследовать их на сходимость с помощью признака сравнения. |
7 | Определения числового ряда, сходящегося и расходящегося ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. | Знать определения понятий: частичная сумма ряда, сумма числового ряда, сходящийся числовой ряд, расходящийся числовой ряд. Знать формулировки критерия Коши сходимости ряда, необходимого условия сходимости, признаков сравнения, Коши, Даламбера, интегральный. Уметь исследовать на сходимость знакопостоянные числовые ряды. |
8 | Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана. | Знать определения знакопеременного и знакочередующегося рядов; абсолютной и условной сходимости, формулировки признаков Лейбница, Абеля и Дирихле. Уметь исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды. |
9 | Понятие о функциональном ряде. Поточечная и равномерная сходимости рядов. Теорема Вейершрасса о равномерной и абсолютной сходимости ряда. Степенной ряд, его радиус и интервал сходимости.. | Знать определения функционального ряда, степенного ряда, поточечной и равномерной сходимости рядов, области сходимости ряда; формулировки теорем о радиусе и области сходимости степенного ряда, формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Уметь находить радиус и интервал сходимости степенных рядов, исследовать их на сходимость на границах интервала сходимости. |
10 | Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды | Знать разложения в степенной ряд основных элементарных функций, формулировки теорем о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Уметь раскладывать в степенной ряд элементарные функции, используя определение ряда Тейлора, основные разложения, почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов. |
11 | Пространство | Знать определения окрестности точки в Уметь находить области определения функции двух и трех переменных, изображать их. |
12 | Предел функции нескольких переменных в точке. Непрерывность ф. н.п. в точке и на множестве. Теоремы о свойствах функций, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве. | Знать определения предела функции н. п. в точке, непрерывности ф. н.п. в точке, свойства функций, непрерывных на замкнутом, ограниченном множестве. Уметь находить пределы ф. н.п. в точке, доказывать, что предел не существует (зависит от направления); исследовать ф. н.п. на непрерывность. |
13 | Частные производные ф. н.п. Дифференциал первого порядка ф. н.п. Дифференцируемость ф. н.п. | Знать определения частных производных, дифференциала первого порядка, дифференцируемости ф. н.п. в точке; необходимое и достаточное условие дифференцируемости ф. н.п. в точке. Уметь находить частные производные ф. н.п. первого и второго порядков, дифференциалы первого и второго порядков; исследовать ф. н.п. на дифференцируемость. |
14 | Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. | Знать определения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности; производной по направлению; формулу для производных сложной функции. Уметь составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности; находить производную по заданному направлению. |
15 | Частные производные высших порядков. Дифференциалы ф. н.п. высших порядков. Формула Тейлора для ф. н.п. с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. | Знать формулу Тейлора для ф. н.п. с остаточными членами в виде Пеано или Лагранжа. Уметь разложить функцию двух переменных по формуле Тейлора; применить формулу Тейлора для вычисления приближенных значений функции двух переменных. |
16 | Локальный экстремум ф. н.п. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф. н.п. в заданной замкнутой области. | Знать определения точек локального и глобального экстремумов ф. н.п.; формулировку необходимых и достаточных условий локального экстремума. Уметь исследовать ф. н.п. на локальный экстремум; находить наибольшее и наименьшее значения ф. н.п. в замкнутой области. |
17 | Неявная функция. Теорема о неявной функции. Условный локальный экстремум: необходимое условие локального экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа | Знать определения неявно заданной функции, формулировку теоремы о неявном задании функции; определение точек условного экстремума; необходимое условие точки условного экстремума. Уметь применять метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания точек условного экстремума ф. н.п. |
3. Список литературы
Основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.
2. и др. Математика. Общий курс. – CПб.: Лань, 2002.
3. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть II. – М.: Высшая школа, 1986.
4. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977.
5. Кудрявцев задач по математическому анализу. Интегралы и ряды. М: Наука т.2, 1987г.
6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. . – М.: ИНФРА
7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2002.
8. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Части 2, 3/ , и др. – Минск: Выш. Шк., 1991.
9. Шипачев высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.
10. Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
11. Ярахмедов анализ. Определенный интеграл.-Новосибирск, 1992г.
Дополнительная литература.
1. Зорич анализ т.1,2 М: Наука,1984г.
2. , Позняк математического анализа, ч.2, М: Наука,1980г.
3. Кудрявцев курс математического анализа. Т.2. ‑ Висагинас, «Alfa», 1998.
4. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления т. 2,3, М: Наука, 2004г.
5. Кудрявцев задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М: Наука, 1986г., т.2.
4. Контрольно-измерительные материалы
Во втором семестре предусмотрены следующие контрольные мероприятия: контрольная работа №1 (четвертая неделя марта); коллоквиум (середина апреля), контрольная работа №2 (третья неделя мая)); экзамен. По желанию преподавателя студентам могут быть предложены индивидуальные домашние задания (ИДЗ-9.1; ИДЗ-9.2; ИДЗ-10.1; ИДЗ-10.2 из части 2 пособия (5); ИДЗ 12.1-12.2 из части 3 пособия (5) из списка обязательной литературы).
Контрольная работа №1
Вариант 1
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Вычислить интеграл 
4. Исследовать на сходимость ряды
5. Разложить в ряд Маклорена функцию 
Вариант 2
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
3. Вычислить интеграл 
4. Исследовать на сходимость ряды
5. Разложить в ряд Маклорена функцию 
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу
1. Неопределенный интеграл, его свойства.
2. Интегрирование по частям и с помощью замены переменной.
3. Определенный интеграл, определение и геометрический смысл.
4. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами.
5. Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами.
6. Определенный интеграл как функция переменного верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
7. Приложения определенного интеграла.
8. Несобственные интегралы первого рода, определение примеры.
9. Несобственные интегралы второго рода, определение примеры.
10. Числовой ряд. Сходимость числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
11. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения.
12. Знакопостоянные ряды. Признак Даламбера.
13. Знакопостоянные ряды. Признак Коши.
14. Знакопостоянные ряды. Интегральный признак Коши.
14. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
15. Знакочередующиеся ряды. Признак условной сходимости Лейбница.
16. Степенные ряды. Теорема об интервале сходимости степенного ряда.
17. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Изобразить на плоскости область определения функции 
2. Найти предел или доказать, что предел не существует
а) 
б)
3. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в заданной точке
4. Найти все точки экстремума функции 
5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной области D: 
Вариант 2
1. Изобразить на плоскости область определения функции 
2. Найти предел или доказать, что предел не существует
а) 
б)
3. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в заданной точке
4. Найти все точки экстремума функции 
5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной области D: 
Примерный список вопросов к экзамену
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
2. Таблица простейших интегралов.
3. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.
4. Основные методы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле.
5. Интегрирование рациональных функций.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
7. Интегрирование некоторых иррациональностей.
8. Определенный интеграл: определение и геометрический смысл. Необходимое и достаточные условия существования определенного интеграла.
9. Свойства определенного интеграла.
10. Свойства определенного интеграла.
11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
12. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
13. Геометрические приложения определенного интеграла: Площадь плоской фигуры.
14. Геометрические приложения определенного интеграла: объем тела вращения.
15. Геометрические приложения определенного интеграла: длина дуги кривой. Площадь поверхности тела вращения.
16. Несобственные интегралы первого рода: определение сходимости, примеры.
17. Несобственные интегралы второго рода: определение сходимости, примеры.
18. Признаки сходимости несобственных интегралов.
19. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Примеры.
20. Свойства сходящихся рядов.
21. Необходимое условие сходимости числового ряда.
22. Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости. Признак сравнения.
23. Ряды с неотрицательными членами. Предельная форма признака сравнения.
24. Ряды с неотрицательными членами. Признак Даламбера.
25. Ряды с неотрицательными членами. Признак Коши.
26. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак.
27.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости, связь между ними.
28. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Достаточное условие сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).
29. Свойства сходящихся знакопеременных рядов.
30. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня.
31. Предел функции нескольких переменных в точке. Предел по направлению. Основные свойства предела.
32. Непрерывность функции в точке. Непрерывность по направлению.
33. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Связь непрерывности и дифференцируемости.
34. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции нескольких переменных в точке.
35. Дифференциал функции нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Уравнения касательной плоскости нормали.
36. Производная функции нескольких переменных по направлению Градиент.
37. Дифференцирование сложной функции.
38. Частные производные второго порядка. Достаточные условия равенства смешанных производных. Дифференциал второго порядка. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
39. Формула Тейлора.
40. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
41. Условный экстремум. Метод Лагранжа нахождения точек условного экстремума.
III семестр
1. Формы проведения занятий и контрольных мероприятий
Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа студентов.
Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных заданий, а также при проведении аудиторных контрольных работ. Итоговый контроль предполагает зачет и экзамен в конце семестра.
2. Содержание дисциплины
В третьем семестре излагается интегральное исчисление функции нескольких переменных, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории разностных уравнений.
Тематический план
№ | Тема | Лекции | Практ. зан. | Сам. раб. |
1 | Двойные интегралы. Геометрический смысл. Свойства двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл: его свойства, сведение к повторному. | 2 | 2 | 6 |
2 | Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Приложения двойных и тройных интегралов. | 3 | 3 | 6 |
3 | Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Понятия общего и частного решений, начальных условий, задачи Коши. Геометрическая интерпретация задачи Коши для уравнений первого и второго порядков. Метод изоклин приближенного решения д. у. первого порядка. | 2 | 2 | 4 |
4 | Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные д. у. первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. | 3 | 3 | 4 |
5 | Линейные д. у. первого порядка и уравнения Бернулли. Метод вариации произвольной постоянной и метод Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. | 4 | 4 | 6 |
6 | Задачи прикладного характера, сводящиеся к решению дифференциального уравнения. | 3 | 3 | 6 |
7 | Линейные однородные д. у. n-го порядка. Линейная зависимость и независимость системы функций на множестве. Определитель Вронского. Свойства решений л. о.д. у., вид общего решения. | 2 | 2 | 4 |
8 | Линейные неоднородные д. у. n-го порядка, их общее решение. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения л. н.д. у. n-го порядка (на примере уравнения второго порядка). | 3 | 3 | 4 |
9 | Линейные однородные д. у. с постоянными коэффициентами, общее решение. Линейные неоднородные д. у. с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. | 4 | 4 | 4 |
10 | Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Некоторые приближенные методы решения д. у. (метод Эйлера, метод трапеций). | 3 | 3 | 6 |
11 | Функциональные уравнения, их типы и некоторые методы решения. Обыкновенные разностные уравнения. Линейный разностный оператор. Свойства решений однородного линейного разностного уравнения. | 2 | 2 | 3 |
12 | Решение линейных однородных и неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами первого и второго порядков. | 3 | 3 | 3 |
Итого | 34 | 34 | 56 |
Требования к уровню усвоения дисциплины
Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса: двойной интеграл; полярные координаты; сферические и цилиндрические координаты; дифференциальное уравнение n-го порядка; решение д. у.; общее и частное решения д. у.; разностное уравнение, его решение. Студент должен знать формулировку задачи Коши для д. у. n-го порядка, основные методы интегрирования д. у. первого порядка и линейных д. у. с постоянными коэффициентами высших порядков.
Основные виды задач.
1. Расстановка пределов интегрирование в двойном интеграле. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.
2. Вычисление двойных интегралов, переход к полярным координатам.
3. Вычисление тройных интегралов, переход к цилиндрическим, сферическим координатам.
4. Вычисление объемов цилиндроидов с помощью двойных интегралов.
5. Вычисление объемов тел с помощью тройных интегралов.
6. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
7. Решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.
8. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
9. Решение уравнений Бернулли.
10. Решение однородных дифференциальных уравнений.
11. Решение д. уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.
12. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков.
13. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков методом вариации произвольных постоянных.
14. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
15. Приближенное решение д. у. с помощью рядов, методом трапеций,
методом Эйлера.
16. Решение простейших разностных уравнений.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в следующей таблице.
Список требований
№ | Тема | Основные требования Студент должен: |
1 | Двойные интегралы. Геометрический смысл. Свойства двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл: его свойства, сведение к повторному. | Знать определение и свойства кратных интегралов. Уметь расставлять пределы интегрирования для заданной области из |
2 | Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Приложения двойных и тройных интегралов. | Знать формулу замены переменных в кратных интегралах в общем виде, а также для случаев перехода к полярным, сферическим или цилиндрическим координатам. Уметь применять двойные и тройные интегралы для вычисления объемов тел |
3 | Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения n-го порядка. Понятия общего и частного решений, начальных условий, задачи Коши. Геометрическая интерпретация задачи Коши для уравнений первого и второго порядков. Метод изоклин приближенного решения д. у. первого порядка. | Знать определения д. у., его общего и частного решений; формулировку задачи и теоремы Коши. Уметь приближенно строить интегральные кривые для д. у. первого порядка методом изоклин. |
4 | Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные д. у. первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. | Уметь распознавать д. у. с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, а также находить их общее и частные решения. |
5 | Линейные д. у. первого порядка и уравнения Бернулли. Метод вариации произвольной постоянной и метод Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. | Уметь интегрировать л. д.у. и уравнения Бернулли. Уметь понижать порядок д. у. для трех стандартных типов уравнений высших порядков. |
6 | Задачи прикладного характера, сводящиеся к решению дифференциального уравнения. | Уметь для простейших геометрических и физических задач составлять их математическую модель в виде д. у. одного из известных типов. |
7 | Линейные однородные д. у. n-го порядка. Линейная зависимость и независимость системы функций на множестве. Определитель Вронского. Свойства решений л. о.д. у., вид общего решения. | Знать вид общего решения однородного и неоднородного линейного д. у.; определение линейно зависимых и линейно независимых на множестве функций. Уметь определять линейную зависимость (независимость) функций по определению и с помощью определителя Вронского. |
8 | Линейные неоднородные д. у. n-го порядка, их общее решение. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения л. н.д. у. n-го порядка (на примере уравнения второго порядка). | Уметь находить частное решение неоднородного л. д.у. методом вариации произвольных постоянных (на примере уравнения второго порядка) |
9 | Линейные однородные д. у. с постоянными коэффициентами, общее решение. Линейные неоднородные д. у. с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. | Уметь решать л. о.д. у. и н. л.д. у. с постоянными коэффициентами второго порядка. |
10 | Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Некоторые приближенные методы решения д. у. (метод Эйлера, метод трапеций). | Уметь находить приближенные решения д. у. методом Эйлера, методом трапеций. |
11 | Функциональные уравнения, их типы и некоторые методы решения. Обыкновенные разностные уравнения. Линейный разностный оператор. Свойства решений однородного линейного разностного уравнения | Знать определение функционального уравнения, разностного уравнения, линейного разностного уравнения; общий вид однородного л. р.у. |
12 | Решение линейных однородных и неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами первого и второго порядков. | Уметь решать линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядков. |
; вычислять двойные и тройные интегралы, сводя их к повторным.3. Список литературы
Основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.
2. , Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989.
3. и др. Математика. Общий курс. – CПб.: Лань, 2002.
4. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Части II и III. – М.: Высшая школа, 1986.
5. Лихтарников введение в функциональные уравнения. – СПб.: Лань, 1997.
6. Матвеев уравнения. – М.:Просвещение, 1988.
7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2/ , и др. – Минск: Выш. Шк., 1991.
8. Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. – М.:Наука, 1973.
Дополнительная литература:
1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. . – М.: ИНФРА
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2002.
3. Шипачев высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, ПРОСПЕКТ, 2004.
4. Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
5. Конспект лекций по высшей математике. Часть 2. – М.: Рольф, 2000.
4. Контрольно-измерительные материалы
В третьем семестре предусмотрены следующие контрольные мероприятия: контрольная работа №1 (вторая неделя октября) по теме «Кратные интегралы»; вторая контрольная работа (третья неделя декабря) по теме «Дифференциальные уравнения»; экзамен. По желанию преподавателя студентам могут быть предложены индивидуальные домашние задания ИДЗ 11.1+ИДЗ 11.2.+ИДЗ 11.3 по пособию (7) из списка обязательной литературы.
Контрольная работа №1
Вариант 1
1. Расставить двумя способами пределы интегрирования в двойном интеграле от функции f(x, y) по заданной области G, ограниченной линиями
.
2. Вычислить двойной интеграл по заданной области
3. Найти с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (можно, если необходимо, переходить к полярным координатам):
4. Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
.
Вариант 2
1. Расставить двумя способами пределы интегрирования в двойном интеграле от функции f(x, y) по заданной области G, ограниченной линиями
2. Вычислить двойной интеграл по заданной области
3. Найти с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (можно, если необходимо, переходить к полярным координатам):
4. Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Найти общее решение д. у. 
.
2. Найти решение д. у. 
, удовлетворяющее условию y(0)=-1.
3. Найти общее решение д. у. второго порядка 
4. Найти уравнение линии касательные к которой отсекают на осях координат отрезки, сумма которых равна 2а.
5. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения 
Ограничиться шестью первыми членами.
Вариант 2
1. Найти общее решение д. у. 
.
2. Найти решение д. у. 
, удовлетворяющее условию y(1)=1.
3. Найти общее решение д. у. второго порядка 
4. Найти линию, для которой произведение расстояний любой касательной до двух данных точек постоянно.
5. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения 
Ограничиться шестью первыми членами.
Примерный список вопросов к экзамену
1. Определение и свойства двойного интеграла.
2. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области.
3. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай криволинейной области.
4 Замена переменных в двойном интеграле. Формулы замены переменных при переходе к полярным координатам.
5. Замена переменных в тройных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.
6. Приложения двойных интегралов.
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения. Уравнения с разделяющимися переменными.
8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
9. Однородные уравнения.
10. Уравнения в полных дифференциалах.
11. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
12. Однородные линейные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения.
13. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
14. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
15. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
16. Функциональные уравнения. Линейный разностный оператор. Свойства решений однородного линейного разностного уравнения.
17. Решение линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
18. Решение линейных разностных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
IV семестр
В четвертом семестре предусмотрена курсовая работа по курсу математического анализа.
Примерные темы курсовых работ
1. Элементарное исследование функций. Функциональные зависимости в экономике.
2. Обратные функции. Теорема об обратной функции. Обратные тригонометрические функции.
3. Преобразования графиков элементарных функций.
4. Функциональные зависимости в экономике.
5. Числовые последовательности и их свойства. Числовые последовательности в экономических задачах.
6. Предел числовой последовательности.
7. Предельный анализ в экономике.
8. Различные способы введения понятия действительного числа.
9. Приложения производной функции одной действительной переменной.
10. Исследование функций и построение графиков функций.
11. Исследование и построение кривых, заданных параметрически или в полярной системе координат.
12. Задачи прикладного характера на наибольшее и наименьшее значения.
13. Интегрирование иррациональностей. (Подстановки Эйлера, их геометрическая трактовка; биномиальные дифференциалы)
14. Различные способы введения определенного интеграла.
15. Математические приложения определенных интегралов (В том числе формула Валлиса, трансцендентность числа е и др.)
16. Физические приложения определенного интеграла.
17. Производная и интеграл в производственных задачах.
18. Приближенные вычисления определенных интегралов.
19. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Применения в экономике.
20. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
21. Бесконечные произведения.
22. Степенные ряды. Приближенные вычисления с помощью рядов.
23. Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды, их свойства.
24. Несобственные интегралы первого и второго родов. Признаки сходимости.
25. Несобственные интегралы, их свойства.
26. Простейшие дифференциальные уравнения, методы их интегрирования. Прикладные задачи, сводящиеся к д. у.
27. Исследование функций нескольких переменных на наибольшее и наименьшее значения. Примеры прикладных задач.
28. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
29. Непрерывность и дифференцируемость функций нескольких переменных.
30. Метод наименьших квадратов, его обоснование.
31. Условный экстремум функции нескольких переменных, его применения в экономике.
32. Комплексные числа, их свойства. Простейшие функции комплексной переменной.
33. Криволинейные интегралы первого типа, их свойства.
34. Криволинейные интегралы второго типа, условие независимости интеграла от пути интегрирования.
35. Двойные и тройные интегралы. Замена переменных в кратном интеграле.
36. Метрические пространства.
37. Задачи линейного программирования.
38. Метод математической индукции и его применения.
39. Треугольник Паскаля и его свойства.
40. Метод последовательных приближений решения уравнений.
41. Замечательные кривые третьего и четвертого порядков.
42. Трансцендентные кривые.
43. Неравенство Коши и его применения.
44. Рекуррентные последовательности.
45. Числа Фибоначчи, их применение.
46. «Золотое сечение» в математике, экономике, природе и искусстве.
47. Элементы теории графов. Экономические приложения.
48. Задача четырех красок.
49. Задачи на экстремум в планиметрии.
50. Пример и контрпример в математике.
51. Различные способы введения тригонометрических функций.
52. Различные способы введения показательной и логарифмической функций.
53. Принцип Кавальери и определенный интеграл.
54. Различные способы доказательства неравенств.
55. Олимпиадные задачи по одному из разделов математического анализа или алгебры (тема на выбор).
