Теоретическая математика 10 класс

КУРС

Теоретическая математика

10 класс

Здравствуйте! Я предлагаю Вам совершенствовать знания школьного курса математики, изучить избранные вопросы более тщательно, углубленно. А первая тема для такого изучения

Алгебраические неравенства.

Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Неудивительно поэтому, что тема эта пользуется большой популярностью у экзаменаторов. Редко можно встретить учащегося, студента, которому на вступительных экзаменах в ВУЗ, на ЕГЭ по математике не пришлось бы иметь дело с тем или иным неравенством. Совершенно очевидно, что не научившись грамотно и уверенно решать алгебраические неравенства, трудно рассчитывать на успех при решении тригонометрических, показательных, логарифмических неравенств, которые во многих случаях сводятся к неравенствам алгебраическим. Желаю Вам успехов!

Занятие 1

Понятие равносильности неравенств.

Пусть на некоторых множествах заданы соответственно функции f(x) и g(x) Неравенство вида f(x) < g(x) называют неравенством с одной переменной. Функцию f(x) называют левой, а функцию g(x) - правой частями неравенства.

Областью допустимых значений (ОДЗ) указанного неравенства называют пересечение множеств . Таким образом, ОДЗ неравенства – это множество всех значений переменной х, при которых одновременно определены (имеют смысл) и левая, и правая части неравенства.

Например, ОДЗ неравенства является отрезок [1;2], т. к. этот отрезок есть пересечение множества [1;+¥), на котором определена левая часть неравенства и множества (-¥; 2], на котором определена его правая часть.

Число а называют решением неравенства f(x) < g(x), если при подстановке его вместо переменной х получается верное числовое неравенство f(a) < g(a).

Ясно, что число а может оказаться решением неравенства только тогда, когда оно принадлежит ОДЗ. Отсюда следует важный практический вывод: искать решения неравенства следует только в области допустимых значений этого неравенства.

Совокупность всех решений неравенства называют множеством решений неравенства.

Решить неравенство – это значит найти его множество решений.

Например, множеством решений неравенства является интервал (-1; 1), так как этот интервал содержит все числа, квадрат которых меньше единицы и не содержит никаких других чисел. Множество решений неравенства пусто (Æ), т. к. наименьшее значение функции в левой части этого неравенства равно 5.

Наряду со строгими неравенствами (знаки <, >) приходится иметь дело с нестрогими неравенствами (знаки ≤, ³). Все определения, данные выше для строгих неравенств, переносятся и на нестрогие неравенства. Например, множеством решений неравенства является отрезок [-1; 1].

При решении неравенств фундаментальное значение имеет понятие равносильности неравенств.

Два неравенства называются равносильными на множестве Х, если каждое решение первого неравенства, принадлежащее множеству Х, является решением второго неравенства и, наоборот, каждое решение второго неравенства, принадлежащее множеству Х, является решением первого неравенства. Кратко: два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают.

Равносильными на множестве считают также неравенства, которые на этом множестве не имеют ни одного решения. Знак равносильности неравенств - Û.

Из определения равносильности следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство, можно решать любое другое неравенство, равносильное данному.

Замену одного неравенства другим, равносильным ему на множестве Х, называют равносильным переходом на множестве Х исходного неравенства к другому.

Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств, как правило, нет необходимости решать каждое из этих неравенств и затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают. Достаточно указать одно решение одного неравенства, не удовлетворяющее другому неравенству.

Например, неравенства и неравносильны на любом множестве, содержащем точку х=0, т. к. х=0 является решением второго неравенства, но не удовлетворяет первому.

При решении неравенств используют следующие основные свойства неравенств.

Св-во 1. Если функции f(x), g(x), h(x) определены на множестве Х, то неравенства f(x)<g(x) и f(x)+h(x)<g(x)+h(x) равносильны на этом множестве.

Св-во 2. Если функция h(x) положительна на множестве Х, то неравенства f(x)<g(x) и f(x)h(x)<g(x)h(x) равносильны на множестве Х.

Св-во 3. Если функция h(x) отрицательна на множестве Х, то неравенства f(x)<g(x) и f(x)h(x)>g(x)h(x) равносильны на этом множестве.

Св-во 4. Если функции f(x) и g(x) неотрицательны на множестве Х, то неравенства f(x)<g(x) и f(x)<g(x) равносильны на этом множестве. То есть, если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в чётную степень обеих частей неравенства не нарушает равносильности.

Аналогичные утверждения верны для неравенств со знаком > и для нестрогих неравенств.

Часто приходится иметь дело не с одним неравенством, а с несколькими. При этом важно чётко различать две задачи. 1) решить систему неравенств; 2) найти решения совокупности неравенств.

Число а называют решением системы неравенств, если оно является решением каждого неравенства системы.

Число а называют решением совокупности неравенств, если оно является решением хотя бы одного из неравенств совокупности.

Все решения системы (совокупности) неравенств называют множеством решений системы (совокупности). Решить систему (совокупность) неравенств – значит найти её множество решений.

Например, множеством решений системы неравенств

является интервал (-3;2), а множеством решений совокупности неравенств

является множество всех действительных чисел.

Системы (совокупности) неравенств называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Например, неравенство и система неравносильны, т. к., например, х=0 не является решением неравенства, но удовлетворяет системе.

Задание.

Тщательно изучите теорию.

Ответьте на вопросы (с обоснованием).

№1. Равносильны ли неравенства на множестве действительных чисел:

1) x < x и < x; 2) < 1 и 1 < x; 3) x+ 5 < 0 и < 0?

№2. Равносильны ли неравенство > x + 4 и система ?