Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. »
магистерская программа
по направлению 010300 «Математика. Компьютерные науки»
010304 – Математическая кибернетика
АННОТАЦИЯ ПРОГРАММЫ
Магистерская программа будет реализовываться кафедрой прикладной математики (КПМ) с привлечением курсов других кафедр математико-механического факультета: вычислительной математики (КВМ), математического анализа и теории функций (КМАиТФ).
ХАРАКТЕРИСТИКА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ЗАЯВЛЕННОЙ МАГИСТЕРСКОЙ ПРОГРАММЕ
Программа будет реализовываться на базе научных исследований, проводимых на кафедре в сотрудничестве с тремя отделами Института математики и механики УрО РАН: динамических систем; оптимального управления; управляемых систем, а также на ряде кафедр математико-механического факультета.
ТЕМАТИКА НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Развитие математической теории динамических систем, управляемых по принципу обратной связи в условиях помех; исследования обобщенных решений уравнений с частными производными первого порядка; разработка математического аппарата и вычислительных алгоритмов для решения задач управления с гарантированным результатом (член-корреспондент РАН , доктор ф.-м. н. , к. ф.-м. н. , к. ф.-м. н ).
Теория наблюдения, фильтрации и идентификации для обыкновенных и распределенных систем с неопределенными и статистически неопределенными возмущениями; развитие теории дифференциальных включений и многозначного анализа и их приложений к описанию эволюции, выживаемости и управления для динамических систем с неопределенными параметрами; исследование вопросов адаптивного управления; исследование обратных задач динамики управляемых систем; исследования в области расширений нелинейных дифференциальных уравнений и нерегулярных задач динамической оптимизации на обобщенные функции; разработка вычислительных методов для задач оценивания динамики управляемых процессов, в том числе, методов параллельных вычислений и методов гарантированного оценивания точности вычислений (доктор ф.-м. н. ).
Релаксация задач управления (в том числе с использование методов топологии и конечно-аддитивгной теории меры), задачи оптимизации маршрутов, метод программных итераций для игровых задач управления. (член-корреспондент РАН , к. ф.-м. н. )
На математико-механическом факультете в этой области работают также член-корреспондент РАН , профессора , , .
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ СЕМИНАРЫ
Научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН .
Научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН в Институте математики и механики УрО РАН.
РОДСТВЕННЫЕ НАУЧНЫЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ АСПИРАНТУРЫ УРГУ
01.01.02 – дифференциальные уравнения
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика
СОВЕТЫ ПО ЗАЩИТАМ ДИССЕРТАЦИЙ
1. В Институте математики и механики УрО РАН имеются докторские советы по специальностям 01.01.02 – дифференциальные уравнения, 01.01.09 «Дискретная математика и математическая кибернетика»
2. В Уральском государственном университете имеется совет по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».
РУКОВОДИТЕЛЬ МАГИСТЕРСКОЙ ПРОГРАММЫ
, член-корреспондент РАН, д. ф.-м. наук, профессор кафедры прикладной математики.
Ченцов А. Г. окончил радиотехнический факультет Уральского политехнического института (1970). С 1972 г. работает в Институте математики и механики УрО РАН. Доктор физико-математических наук (1978), профессор (1987), член-корреспондент РАН (1997).
– ученик . Основная научная специализация – теория управления. Он предложил метод программных итераций для решения дифференциальных игр; этот метод использован затем для решения других задач. имеет также работы в области теории меры и ее приложений, а также в области экстремальных задач, связанных с маршрутизацией и распределением заданий. Им построены новые конструкции расширений экстремальных задач в классе конечно-аддитивных мер. Автор более 500 научных трудов. Подготовил одного доктора наук, тринадцать кандидатов наук.
С 1995 г. профессор кафедры прикладной математики Уральского университета. На протяжении ряда лет он читает спецкурсы «Неустойчивые задачи управления», «Маршрутизация.
лауреат Государственной премии СССР (1985), действительный член Академии инженерных наук России (1995).
ПРОГРАММА КУРСА
«ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МАРШРУТИЗАЦИИ»
автор – член-корреспондент РАН
1. Задачи маршрутизации как раздел дискретной оптимизации. Обсуждение подходов. Простейшие примеры
2. Прикладные задачи, связанные с маршрутизацией. Влияние ограничений
3. Задача коммивояжера; обсуждение постановки и методов решения. Динамическое программирование в задаче коммивояжера
4. Некоторые постановки задач маршрутизации, возникающие в атомной энергетике (оптимизация дозовой нагрузки ремонтного персонала АЭС; проблема демонтажа оборудования энергоблока, выведенного из эксплуатации)
5. Ограничения в виде условий предшествования в задаче последовательного обхода целевых множеств (обобщенная задача курьера)
6. Решение по методу динамического программирования в случае аддитивного критерия и в случае задачи на « на узкие места».
7. Задача последовательного обхода мегаполисов с ограничениями в виде условий предшествования. Динамическое программирование и итерационные процедуры.
8. Иерархические задачи маршрутизации с ограничениями: вопросы согласования внешних перемещений и внутренних работ (работ на целевых множествах)
9. Маршрутные задачи с абстрактной функцией агрегирования затрат
10. Некоторые приближенные методы решения задач маршрутизации
Литература
1. , , Сигал коммивояжера // Автоматика и телемеханика. 1989, №9-11
2. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи М.: Мир, 1982
3. Ченцов задачи маршрутизации и распределения заданий: вопросы теории. М.-Ижевск, РХД, 2008
4. , Ченцов динамического программирования в задаче коммивояжера / Учебное пособие. Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 2006
ПРОГРАММА КУРСА
«МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ»
автор – д. ф.-м. н., профессор
Введение. Общее описание проблемы принятия решений. Формализация задач принятия решений, их классификация.
1. Многокритериальные задачи оптимизации.
1.1 Постановка задачи многокpитеpиальной оптимизации. Отношения предпочтения, задаваемые выпуклыми конусами, их свойства. Эффективные и слабо эффективные оценки и решения. Топологические свойства множества эффективных оценок. Внешняя устойчивость эффективных множеств.
1.2.Условия оптимальности в гладких и выпуклых задачах многокpитеpиальной оптимизации. Свеpтки кpитеpиев, их свойства. Стpуктуpа множеств эффективных оценок в выпуклых и линейных задачах ногокpитеpиальной оптимизации.
1.3 .Численные методы нахождения эффективных множеств в задачах линейного пpогpаммиpования.
1.4 .Устойчивость pешений многокpитеpиальных задач относительно возмущений исходных данных. Вектоpные функции Лагpанжа и теоpемы двойственности для много-кpитеpиальных задач.
1.5 Динамические задачи вектоpной оптимизации. Пpинцип максимума и метод динамического пpогpаммиpования в многокpитеpиальных задачах оптимального управления.
1.6 Функции ценности ЛПР. Локальные коэффициенты замещения. Свойства
функции ценности, вытекающие из поведения локальных коэффициентов замещения.
1.7 Человеко-машинные процедуры принятия решений в задачах многокритериальной оптимизации.
1.8 Решение задач многокритериальной оптимизации методами целевого программирования.
2. Принятие решений в условиях неопределенности.
2.1 Классификация задач принятия решений, способы описания неопределенности.
2.2 Функции полезности ЛПР. Свойства функции полезности, характеризующие
склонность и несклонность к риску. Локальная несклонность к риску. Теорема Пратта.
2.3 Парадокс Алле. Причины нерационального поведения ЛПР.
2.4 Принятие решений в условиях риска на примере задачи о выборе оптимального
портфеля ценных бумаг
2.6 Коллективный выбор решения. Системы голосования и парадокс де Кондорсэ.
Формализация задачи о построении системы голосования. Теорема Эрроу
ЛИТЕРАТУРА
1., Х. Райфа. Игры и решения. М.,ИЛ, 1961.
2.Вопpосы анализа и пpоцедуpы принятия решений. М., Миp, 1976.
3.Г. Райфа. Анализ решений. М., Наука, 1977.
4.Р. Кини, Х. Райфа. Принятие решений при многих кpитеpиях: пpедпочтения и замещения. М. Радио и связь, 1981.
5., . Паpето-оптимальные решения многокpитеpиальных задач. М.,Наука, 1982.
6.. Вычислительные методы теории принятия решений. М., Наука, 1989.
7.Р. Штойеp. Многокpитеpиальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М., Радио и Связь, 1992.
8., . Качественные методы принятия решений. М: Физматлит,1996.
9.. Теория и методы принятия решений. М: Логос, 2000.
10. . Математические модели принятия решений в экономике. М: Высшая школа, 2002.
ПРОГРАММА КУРСА
НЕГЛАДКИЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
авторы – д. ф.-м. н., профессор ,
к. ф.- м. н. , доцент
Мотивация и история проблематики.
1. Основные законы механики. Уравнения движения Ньютона и Лагранжа.
2. Случаи упрощения и интегрируемости уравнений Лагранжа. Преобразование Лежандра. Канонические уравнения механики (уравнения Гамильтона). Случаи упрощения и интегрируемости канонических уравнений.
3. Уравнение в частных производных первого порядка – уравнение Гамильтона-Якоби (ГЯ). Главная функция Гамильтона и полный интеграл уравнения ГЯ.
4. Теорема Якоби. Полная система независимых первых интегралов канонической системы уравнений движения.
5. Пример. Движение материальной точки в трехмерном пространстве под действием силы тяжести. Уравнения Аристотеля, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона.
6. 2. Естественный способ задания движения материальной точки с помощью полной системы независимых первых интегралов. Уравнение эйконала.
7. Классические решения уравнения Гамильтона-Якоби. Метод характеристик Коши для краевой задачи.
8. Содержательность понятия обобщенного решения. Пример ограниченной применимости классического метода характеристик. Интегральная поверхность с особенностью «ласточкин хвост».
9. Задача оптимального управления, негладкая функция цены. Принцип оптимальности, метод динамического программирования.
Негладкий анализ - математический аппарат теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби.
10. Полунепрерывные функции и их свойства. Выпуклые функции и их свойства.
11. Многозначные отображения и их свойства.
12. Контингентные конусы (конусы Булигана), их свойства. Полупроизводные Дини по направлениям от негладких функций.
13. Взаимосвязи полупроизводных по направлениям с конусами
Булигана к надграфикам и подграфикам негладких и разрывных функций.
14. Субдифференциалы и их взаимосвязи с производными по
направлениям.
14. Кларка - об оценке конечных
разностей.
15. Теорема о плотности субдифференциалов.
16. Дифференциальные включения. Мотивация их введения: неточное описание динамики, задачи управления, дифференциальные управления с разрывной правой частью.
17. Теорема существования решений дифференциальных включений. Условия продолжимости решений. Свойства пучков решений дифференциальных включений: компактность, связность, полунепрерывность сверху по начальным данным.
18. Слабая инвариантность множеств относительно дифференциальных
включений. Критерии слабой инвариантности.
19. Эквивалентность критериев слабой инвариантности в терминах конуса Булигана и его выпуклой оболочки.
Теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби.
20. Постановка краевой задачи Коши для УЧП 1-ого порядка, основные предположения о входных данных задачи.
21. Определение канонического комплекса и канонического семейства характеристических дифференциальных включений (ХДВ). Определение минимаксного решения задачи Коши для УЧП 1-ого порядка с помощью канонического семейства ХДВ.
22. Совместность минимаксных и классических решений. Аксиоматическое определение характеристических комплексов и порождаемых ими ХДВ.
23. Проверка выполнения аксиоматических свойств каноническими комплексами. Выбор комплексов, адекватных задаче. Пример: линейное уравнение ГЯ и его комплексы. Верхние и нижние решения; определение минимаксного решения на базе этих понятий.
24. Эквивалентность свойства слабой инвариантности графика непрерывной функции и свойства слабой инвариантности её надграфика и подграфика (одновременно) относительно канонического семейства ХДВ.
25. Эквивалентные определения слабой инвариантности надграфика верхнего решения относительно верхних ХДВ.
26. Доказательства эквивалентностей различных определений верхних (нижних) решений.
27. Теорема существования минимаксного и/или вязкостного решения. Метод исчезающей вязкости.
28. Принцип сравнения для верхних и нижних решений.
29. Теоремы о единственности и корректности минимаксного решения краевой задачи Коши для уравнения ГЯ.
30. Приложения теории минимаксных и вязкостных решений к задачам управления. Обзор аналитических, конструктивных и численных методов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi - Bellman Equations, Boston, Birkh\"{a}user, (1997), 370 p.
2. Bellman R.Dynamic Programming, Princeton, Princeton University Press, (1957), 210 p.
3. Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. Nonsmooth Analysis and Control Theory, New York, Springer, (1997), 278 p.
4. Crandall M. G., Lions P. L. //Trans. A. M.S., (1983), {\bf 277}, 1, 1--42.
5. J. L. Davy. Properties of the solution set of a generalized
differential equation. // Bull. Austral. Math. Soc. 1972,
Vol.6, P.379-398.
6. Fleming W. H., Soner H. M. Controlled Marcov Processes and
Viscosity Solutions, New York, Springer Verlag, (1993),
428 p.
7. Красовский~Н. Н., Субботин~А. И. Позиционные дифференциальные
игры, Москва: Наука, (1974), 456 c.
8. // Матем. сборник, (1966), {\bf 70/(112)}, c.394-416.
9. , Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении, Москва: Наука, (1994), 142.
10. Понтрягин~Л. С., Болтянский~В. Г., Гамкрелидзе~Р. В., Мищенко~Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, Москва: Наука, (1969), 384 c.
11. . Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003, 336 стр.
12. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва: Наука, 1985, 224 стр.
13. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Москва: Наука, (1977), 624 c.
14. Evans L. C. Partial Differential Equations. // Graduate Studies in Mathematics. (1998), Vol.19. AMS: Providence, Rhode Island.
15. Subbotina N. N. The method of characteristics for Hamilton-Jacobi equations and applications to dynamical optimization. // Journal of Mathematical Sciences. Springer, New York. 2006. V.135. No.3. P..
ПРОГРАММА КУРСА
«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ»
авторы: член-корреспондент РАН. , к. ф.-м. н., доцент
Аннотация: В курсе рассматриваются типичные постановки задач управления и дифференциальных игр. Приводятся доказательства утверждений, характеризующих оптимальные решения в классе программных управлений и управлений по принципу обратной связи. Существенное внимание уделяется идейной стороне вычислительных алгоритмов. Рассматриваются прикладные задачи.
Курс опирается на общеизвестные факты математического анализа и на стандартные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение курса дает основу для изучения и понимания более специальных вопросов математической теории
управления.
Содержание курса
1. Примеры прикладных задач с демонстрацией результатов применения методов теории управления и дифференциальных игр: задача о посадке самолета в условиях ветрового возмущения, задача об обводе препятствий, задача о преодолении самолетом препятствия
по высоте, задача о восстановлении траектории самолета в условиях неточных замеров его положения, задача о преследовании двумя догоняющими объектами одного убегающего.
2. Модельные задачи теории управления и теории дифференциальных игр с фиксированным и нефиксированным моментами окончания: материальная точка на прямой, осциллятор, автомобиль Дубинса. Описание динамики, вхождение полезного управления и помехи, показатель качества, программное управление и управление обратной связи.
3. Линейные управляемые системы. Формула Коши. Выпуклость множества достижимости. Теорема об отделимости выпуклых множеств. Опорная функция. Принцип максимума Понтрягина для управлений, ведущих на границу множества достижимости. Принцип максимума в задачах с фиксированным моментом окончания и терминальной функцией платы. Принцип максимума для задач быстродействия. Необходимые и достаточные условия оптимальности, записываемые при помощи принципа максимума.
4. Применение принципа максимума Понтрягина к задачам оптимального быстродействия для материальной точки на прямой и для линейного осциллятора. Синтез оптимального управления.
5. Нелинейные задачи программного управления. Теорема о дифференцируемости решения векторного дифференциального уравнения по начальным данным. Игольчатые вариации. Принцип максимума Понтрягина для управлений, ведущих на границу множества
достижимости. Необходимые условия оптимальности программного управления для задач с фиксированным моментом окончания и дифференцируемой функцией платы. Отличие в формулировке и доказательстве принципа максимума для задач быстродействия. Задачи
с интегральным показателем качества. Структура множеств достижимости для автомобиля Дубинса. Особые управления. Изохроны в задаче управления c динамикой уравнения Дуффинга.
6. Принцип динамического программирования для задач оптимального управления. Уравнение Беллмана. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Метод характеристик нахождения решения задачи Коши. Адаптация к задачам оптимального управления.
7. Управляемые системы общего вида и дифференциальные включения. Множества достижимости и интегральные воронки управляемых систем и дифференциальных включений. Их свойства. Незамкнутость (в общем случае) множеств достижимости управляемых систем.
8. Алгоритмы приближённого вычисления множеств достижимости нелинейных управляемых систем с геометрическими ограничениями на управления. Оценки сходимости алгоритмов. Примеры вычисления множеств достижимости для управляемых систем на плоскости и в трехмерном пространстве.
9. Алгоритмы приближённого вычисления множеств достижимости нелинейных управляемых систем с интегральными (квадратичными) ограничениями на управления.
10. Инвариантность как одна из центральных концепций современной математики. Свойство инвариантности в алгебре, теории чисел и теории управления. Понятия слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений.
Свойство инвариантности (в прямом времени) и слабой инвариантности (в обратном времени) интегральных воронок динамических систем.
Задачи о сближении управляемых систем с терминальным множеством и пути их решения, основанные на использовании интегральных воронок и конструкций управления с поводырем.
11. Задачи управления нелинейными динамическими системами при наличии фазовых ограничений. Понятия выживающих траекторий управляемых систем и ядра выживаемости. Алгоритмы приближенного вычисления ядер выживаемости и выживающих траекторий управляемых систем. Примеры вычисления ядер выживаемости и выживающих траекторий в задачах на плоскости и в трехмерном пространстве.
12. Задачи об обводе препятствий управляемыми протяженными объектами. Трехэтапный метод решения задачи об обводе препятствий, основанный на применении процедур управления с поводырем. Алгоритмы, лежащие в основе трехэтапного метода решения
задачи об обводе препятствий.
13. Типичные постановки задач теории антагонистических дифференциальных игр. Уравнение Айзекса. Понятие о методе Айзекса решения дифференциальных игр. Сингулярные поверхности и их типы.
14. Важность формализации дифференциальных игр. Подход к решению линейных дифференциальных игр о сближении с выпуклым целевым множеством. Позиционная формализация : дискретная схема управления, предельные
(конструктивные) движения, гарантированные результаты игроков.
15. Свойство стабильности в позиционных дифференциальных играх. Первоначальные схемы определения стабильности. Работы по унификации дифференциальных игр. Определения стабильности, базирующиеся на аксиоматическом подходе.
16. Стабильные мосты в дифференциальных играх. Множество позиционного поглощения как максимальный u-стабильный мост. Экстремальная позиционная стратегия. Теорема и об альтернативе.
17. Процедуры управления с поводырем в игровых задачах управления. Различные варианты процедур управления с поводырем. Алгоритмы, лежащие в основе процедур управления с поводырем в игровых задачах управления.
18. Функция цены игры в дифференциальных играх. Существование функции цены игры. Свойства функции цены дифференциальной игры.
19. Игровые задачи управления с фиксированным моментом окончания. Приближенное конструирование максимальных u-стабильных мостов на базе попятных процедур.
20. Игровые задачи управления с нефиксированным моментом окончания. Специфика свойства стабильности в этих задачах. Приближенное конструирование максимальных u-стабильных мостов на базе попятных пошаговых процедур.
21. Инфинитезимальное определение свойства стабильности в дифференциальных играх, базирующееся на понятии конуса Булигана. Доказательство эквивалентности инфинитезимального определения стабильности традиционным определениям стабильности. Инфинитезимальные свойства максимальных стабильных мостов в игровых задачах управления с фиксированным моментом окончания.
22. Сравнение решений игровых задач управления с фиксированным и нефиксированным моментами окончания (случай стационарных конфликтно-управляемых систем). Геометрические и аналитические критерии совпадения решений. Демонстрация примеров и задач.
23. Упрощение процедур попятных конструкций для задач с линейной динамикой. Геометрическая разность двух множеств (разность Минковского) и ее свойства. Применение геометрической разности в попятных конструкциях построения стабильных мостов для линейных дифференциальных игр с фиксированным моментом окончания и выпуклым целевым множеством. Альтернированный интеграл Понтрягина.
24. Алгоритмы построения максимальных стабильных мостов для линейных дифференциальных игр малой размерности с фиксированным моментом окончания (размерность 2 и 3 после перехода к редуцированной динамике без фазовой переменной в правой части).
Апостериорная оценка результатов численных построений. Примеры численного построения максимальных стабильных мостов: линеаризованная задача воздушного перехвата, обобщенный контрольный пример Понтрягина.
25. Реализация попятных процедур построения максимальных стабильных мостов для игр с нелинейной динамикой, случай малой размерности фазового вектора. Задача игрового быстродействия “шофер-убийца” и ее варианты; результаты численного построения
множеств уровня функции цены и оптимальных стратегий.
26. Адаптивное управление на основе методов дифференциальных игр для задач с неизвестным уровнем динамической помехи. Примеры численного моделирования процессов посадки самолета и преодоления препятствия по высоте при наличии ветровых возмущений.
27. Предварительные сведения о задачах с неполной информацией. Трубки информационных множеств. Примеры численного построения: задача о космическом снаряде, задача наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости.
Литература
1. , , Мищенко теория оптимальных процессов. Физматгиз, 1961.
2. Красовский управления движением. М.: Наука, 1968.
3. Болтянский методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
4. Ли Э. Б., Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.
5. Благодатских в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.
6. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
7. О линейных дифференциальных играх. I // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 4. С.1278–1281.
8. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 4. С.764–766.
9. , Субботин дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
10. Куржанский и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
11. , Ченцов гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
12. Красовский динамической системой. М.: Наука, 1985.
13. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С. 1260–1263.
14. Красовский дифференциальных игр // Тр. Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. Свердловск, 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С. 32–45.
15. Об игровой задаче о сближении в данный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99, № 3. C. 394–420.
16. , , Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 2. С. 216–222.
17. , Турова шофер-убийца: история и современные исследования. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.
18. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
19. –П., ЭкландИ. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.
ПРОГРАММА СПЕЦСЕМИНАРА
«СИНГУЛЯРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ»
Руководитель семинара к. ф.-м. н.,доцент
Аннотация: Функция оптимального результата в задачах управления и дифференциальных играх, как правило, не является гладкой. Могут быть также случаи, когда на некоторых поверхностях она разрывна. Многообразия, на которых теряется гладкость или отсутствует непрерывность, называются сингулярными, а кривые, из которых они набираются, – сингулярными характеристиками.
В процессе работы семинара предполагается изучить причины возникновения сингулярных многообразий, их типы и способы описания. Базовая книга – Melikyan A. A. Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Birkhauser, Boston, 1998.
Часть занятий будет посвящена возможности численного построения сингулярных многообразий. Здесь будут использованы работы, выполненные в последние годы в Институте математики и механики УрО РАН.
Тематика семинара естественным образом стыкуется с общим курсом оптимального управления, а также со специальным курсом, посвященным обобщенным (вязкостным и минимаксным) решениям уравнений в частных производных.
Программа семинара
1. Примеры решения задач управления и дифференциальных игр. Разбиение фазового пространства на клетки с гладкой функцией оптимального результата. Оптимальные движения внутри клеток и на разделяющих поверхностях. Предварительное понятие об уравнении Беллмана-Айзекса в частных производных первого порядка.
2. Классическая задача Коши для уравнений в частных производных первого порядка. Постановка задачи. Гладкие решения. Метод характеристик.
3. Задача Коши для интегральных поверхностей. Характеристическое поле на многообразии.
4. Задача Коши с подвижной границей. Скобки Якоби. Достаточные условия существования гладкого решения. Возможность появления кусочно-гладких решений.
5. Вязкостные решения. Определения регулярных и сингулярных точек решения. Необходимые условия для простейшей сингулярности.
6. Дисперсионные сингулярные поверхности.
7. Сингулярные характеристики для экивокальной поверхности. Уравнения сингулярных характеристик.
8. Фокальные сингулярные поверхности. Их типы.
9. Примеры начальной и терминальной краевых задач.
10. Уравнение Беллмана в оптимальном управлении. Задача с фиксированным моментом
окончания, задача быстродействия.
11. Уравнение Айзекса в дифференциальных играх. Функция цены в задачах с фиксированным моментом окончания и в задачах преследования.
12. Линейная игра преследования-уклонения с эллиптическими вектограммами. Дисперсионная и фокальная поверхности.
13. Дифференциальные игры с простыми движениями на многообразиях. Описание динамики. Первичная и вторичная области решения. Рассеивающая и экивокальная сингулярные поверхности.
14. Игры с простыми движениями на двумерном конусе.
15. Гладкие решения уравнений в частных производных с негладким гамильтонианом.
16. Ударные волны, связанные с уравнениями в частных производных первого порядка.
Сингулярные характеристики для задач на плоскости. Уравнения для фокальной и экивокальной линий.
17. Ударные волны, порождаемые граничными условиями.
18. Возможность численного построения сингулярных поверхностей в дифференциальных играх. Сингулярные линии, идущие по границе максимального стабильного моста. Конструирование сингулярных поверхностей на базе сингулярных линий.
19. Примеры численного построения сингулярных поверхностей в линейных дифференциальных играх с фиксированным моментом окончания и выпуклой терминальной функцией
платы.
20. Сингулярные поверхности в игровых задачах быстродействия. Примеры численного построения для задачи преследования “шофер-убийца”.
Литература
1. Melikyan A. A. Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Birkhauser, Boston, 1998.
2. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
3. , Субботин дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
ПРОГРАММА КУРСА
«СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ»
авторы – д. ф.-м. н., профессор , к. ф.-м. н., доцент
1. Общие сведения о системе MATLAB. Язык программирования MATLAB.
1.1. Cоставляющие системы MATLAB. Пользовательский интерфейс Вычислительные средства MATLAB. Константы и системные переменные. Работа с векторами и матрицами. Математические выражения и функции. Редактирование и отладки М-файлов.
1.2. Структура многомерных массивов Работа с элементами массива. Управляющие структуры. Обработка данных массива.
1.3. Встроенные средства для решения типовых задач линейной алгебры и анализа
1.4. Графические средства MATLAB. Визуализация результатов вычислений. Специальная и трехмерная графика.
1.5. Решение матричных уравнений и матричных неравенств в системе MATLAB
2. Средства для решения начальных и краевых задач для ОДУ в MATLAB. Моделирование нелинейных динамических систем. Примеры хаотического поведения решений, странные аттракторы.
3. Решение задач оптимального управления в MATLAB.
3.1 Управляемость и наблюдаемость линейных систем. Задачи модального управления и стабилизация управляемых систем.
3.3 Конструирование асимптотических наблюдателей. Стабилизация линейных систем по неполным измерениям. Оптимальная стабилизация.
3.3 Построение множеств достижимости управляемых систем.
4 Пакет программ оптимизации MATLAB Optimization Toolbox. Решение задач линейного, нелинейного и полубесконечного программирования в рамках указанного пакета.
5 Эллипсоидальные оценки в задачах управления. Пакет программ Ellipsoidal Toolbox.
6 Полиэдральные аппроксимации в задачах оценивания и управления. Пакет программ Boxes.
ЛИТЕРАТУРА
1. , MATLAB 5X. Вычисления, визуализация, программирование. -Москва : Кудиц-Образ, 2000.
2. , Фрадков математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. - М:Наука, 2001.
3. MATLAB Optimization Toolbox. Users Guide. Version 5. MathWorks, 1997.
4. Форсайт Дж., Машинные методы математических вычислений. - М.: Мир, 1980.
5. Матричный анализ. –М: Мир, 1989.
6. , Фрадков главы теории
автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999
7. A. A. Kurzhanski, and P. Varaiya, Ellipsoidal Toolbox Manual, EECS Department,
University of California, Berkeley, 2008
программа практикума по курсу «СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ»
автор – к. ф.-м. н., доцент
1. Введение: необходимость инструмента, история, структура (ядро + пакеты-toolkit'ы). Стратегия распространения MatLab'а: бесплатное ядро, платные тулкиты. Установка.
2. Запуск Матлаба, рабочая область, вкладка рабочей папки, вкладка переменных. Окно интерактивной работы. Управление выводом, переменными. Имена переменных, зависимость от регистра. Сохранение и восстановление переменных. Программирование в MatLab, редактор-отладчик, запуск. Файлы-сценарии и файлы-функции. Функции, возвращающие одно и несколько значений. Подсказка по собственным функциям.
3. Набор функций. Ввод-вывод, перевод чисел в строки (для вывода через disp), форматированный вывод. Алгоритмические конструкции: ветвление (if-elseif-else), циклы for и while, задание последовательностей. Однострочные варианты алгоритмических конструкций.
4. Работа с матрицами: задание, задание через последовательности, функция linspace, специальные матрицы. Работа с диапазонами: выделение, удаление, замена. Матричные и поэлементные операции, вычисление определителя, транспонирование, обращение. Матричные операции вместо циклической обработки. Контроль времени.
5. Работа со строками. Строки как векторы символов. Получение ASCII-кода символа, получение символа с заданным кодом, сравнение строк, функции работы со строками. Массивы строк. Выполнение выражений, записанных в строке (eval). Создание функций через строку (inline).
5. Графика в Матлабе. Графики: простое построение, функция расширенного построения, управление построением. Несколько графиков на одном рисунке, подписи на графиках. Декартовы, логарифмические, полярные координаты. Рисование быстро изменяющихся функций. Рисование векторных полей. Трехмерные построения: линии, анимированные линии, поверхности. Построение линий уровня. Визуализация матриц. Графический ввод.
6. Техника векторизации: логические массивы, преобразование массива к логической структуре, выборка элементов массива. Условные вычисления.
7. Тонкости программирования: локальные, глобальные, статические переменные. Совпадающие входные и выходные параметры. Переменное число аргументов, проверка количества аргументов. Вспомогательные функции. Компиляция в промежуточный код. Отладка: пошаговое исполнение, точки останова, просмотр переменных.
8. Тонкости программирования 2. Структуры, массивы структур. Ячейки, массивы ячеек. Визуализация массивов ячеек. Работа с датчиком случайных чисел. Сортировка вектора.
9. Символьные вычисления - пакет syms (Symbolic Math Toolbox). Вычисления, конвертирование числовых значений в стандартный вид, арифметика высокой точности. Графика и символьные вычисления.
10. Решение дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения - функции odeXX. Символьное решение дифференциальных уравнений. Решение краевых задач для обыкновенных уравнений - функция bvp4c. Решение УЧП - функции pdede и pdeval.
11. Программирование без программирования - пакет Simulink.
- моделирование механических систем (дифференциальных систем)
12. Нейронные сети
13. Нечеткая логика
ЛИТЕРАТУРА:
1. Brian D. Hahn, Daniael T. Valentine "Essential MatLab for Engineers and Scientists", Elsevier, 2007.
Тема 11 "Simulink":
2. Richard J. Gran "Numerical Computing with Simulink, Volume I: Crating Simulations", SIAM, Philadelphia, 2007.
Темы 11, 12, 13:
4. "Математические пакеты расширения MatLab. Специальный справочник", Питер, Санкт-Петербург, 2001.
. Программа магистерского экзамена
по специальности
010304 – Математическая кибернетика
ВОПРОСЫ ПО МЕТОДАМ ОПТИМИЗАЦИИ
1. .Постановка задачи многокpитеpиальной оптимизации. Эффективные и слабо эффективные оценки и pешения. Внешняя устойчивость эффективных множеств.
2. Условия оптимальности в гладких и выпуклых задачах многокpитеpиальной оптимизации. Свеpтки кpитеpиев, их свойства. Стpуктуpа множеств эффективных оценок в выпуклых и линейных задачах многокpитеpиальной оптимизации.
3. . Классификация задач принятия решений при неопределенности, способы описания неопределенности. Принятие решений в условиях риска, функции полезности фон Неймана - Моргенштерна. Свойства функции полезности, характеризующие склонность и несклонность к риску.
4. . Смешанные стратегии в антагонистических матричных играх. Терема о существовании решения игры в классе смешанных стратегий. Применение линейного программирования в задаче нахождения решений.
5. . Постановка задачи об оптимальной стабилизации линейных систем с квадратичным функционалом. Матричное уравнение Риккати и решение задачи оптимальной стабилизации. Алгоритм решения, основанный на разложении характеристического многочлена. Решение задачи построения оптимальных линейно-квадратичных регуляторов по состоянию и выходу.
ВОПРОСЫ ПО ОПТИМАЛЬНОМУ УПРАВЛЕНИЮ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ИГРАМ
1. Фундаментальная матрица Коши, ее свойства, применение для описания множества достижимости линейной управляемой системы.
2. Принцип максимума Понтрягина — необходимое и достаточное условие для управлений, ведущих на границу множества достижимости линейной системы.
3. Структура управлений, ведущих на границу множества достижимости линейной системы, для типичных примеров: управляемая материальная точка на прямой, управляемый осциллятор.
4. Линейная задача управления с фиксированным моментом окончания и выпуклой терминальной функцией платы. Необходимое и достаточное условие оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина. Конкретизация для случая, когда терминальная функция платы есть расстояние от заданной точки.
5. Задача быстродействия для линейной управляемой системы с выпуклым целевым множеством. Формула для оптимального результата. Принцип максимума Понтрягина.
6. Конструирование управления обратной связи на основе решения программных задач.
7. Принцип максимума Понтрягина для управлений, ведущих на границу множества достижимости нелинейной системы. Роль теоремы о дифференцируемости решения дифференциального уравнения по начальному состоянию при выводе принципа максимума.
8. Задача оптимального управления нелинейной системой с непрерывно-дифференцируемой функцией платы. Задача с интегро-терминальной функцией платы. Задача быстродействия. Принцип максимума Понтрягина — необходимое условие оптимальности в этих задачах.
9. Множество управляемости. Связь этого понятия с понятием множества достижимости. Задача синтеза управления. Нахождение оптимального синтеза на основе анализа множеств управляемости. Оптимальный синтез для управляемой материальной точки.
10. Связь классического вариационного исчисления и принципа максимума Понтрягина на примере задачи с интегро-терминальным показателем. Вывод уравнения Эйлера из соотношений принципа максимума.
Дифференциальные игры:
11. Типичные задачи теории антагонистических дифференциальных игр. Позиционная формализация : дискретная схема управления, предельные (конструктивные) движения, гарантированные результаты игроков.
12. Стабильные мосты в дифференциальных играх. Экстремальная позиционная стратегия. Красовского и об альтернативе.
13. Процедура управления с поводырем в игровых задачах.
14. Игровые задачи управления с фиксированным моментом окончания. Свойства функции цены игры. Приближенное конструирование максимальных стабильных мостов на базе попятных процедур.
15. Попятные процедуры для линейных дифференциальных игр с фиксированным моментом окончания. Альтернированный интеграл Понтрягина.
ВОПРОСЫ ПО УРАВНЕНИЯМ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
1. Теорема Якоби. Полная система независимых первых интегралов канонической системы уравнений движения и уравнение Гамильтона-Якоби
2. Метод характеристик Коши Классическое решение краевой задачи для уравнения Гамильтона-Якоби.
3. Полунепрерывные функции и их свойства. Теорема Вейерштрасса.
4. Конусы Булигана, полупроизводные Дини по направлениям от негладких функций и их взаимосвязи.
5. Субдифференциалы и супердифференциалы и их взаимосвязи с производными по направлениям.
6. Дифференциальные включения. Теорема существования решений дифференциальных включений.
7. Слабая инвариантность множеств относительно дифференциальных включений. Критерии слабой инвариантности.
8. Обобщенное (минимаксное и/или вязкостное) решение уравнения Гамильтона-Якоби. Метод исчезающей вязкости. Теорема существования обобщенного (минимаксного и/или вязкостного) решения уравнения Гамильтона-Якоби.
9. Принцип сравнения для верхних и нижних решений уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема о единственности обобщенного (минимаксного и/или вязкостного) решения краевой задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.
