Вопросы

для подготовки к экзамену по высшей математике

(1-й курс, зимняя сессия 2009-10 уч. г.)

1.  Числа и числовые множества. Счетные и несчетные множества. Границы и грани числовых множеств.

2.  Перестановки, сочетания. Бином Ньютона.

3.  Комплексные числа. Арифметические операции. Алгебраическая форма, геометрическое представление комплексных чисел.

4.  Тригонометрическая форма комплексных чисел. Формулы Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

5.  Многочлены. Деление с остатком. Корни многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на неприводимые множители.

6.  Рациональные функции. Представление рациональной функции в виде суммы простейших. Метод неопределенных коэффициентов. Приемы нахождения неопределенных коэффициентов.

7.  Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Обратная матрица.

8.  Определители, их вычисление. Свойства определителей.

9.  Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Метод Крамера.

10.  Метод Гаусса.

11.  Векторы. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Базис в R2 и в R3. Свойства базиса.

12.  Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов.

13.  Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

14.  Прямая на плоскости. Способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых.

15.  Нормальное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.

16.  Плоскость. Способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.

17.  Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Линейные неравенства с двумя и с тремя переменными. Системы линейных неравенств.

18.  Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

19.  Преобразования системы координат. Упрощение уравнения второго порядка.

20.  Последовательности. Бесконечно малые последовательности, их свойства.

21.  Сходящиеся последовательности. Предел. Свойства сходящихся последовательностей. Сходимость монотонной ограниченной последовательности. Число е.

23. Функция. Способы задания функции.

24.  Свойства предела. Теорема Гейне.

25.  Предел функции в точке. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. Бесконечные пределы.

26.  Замечательные пределы: тригонометрический, показательно-степенной, логарифмический, показательный.

27.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций.

28.  Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва.

27. Локальная ограниченность и локальное сохранение знака непрерывной функции.

28.  Теорема о промежуточном значении. Теорема Вейерштрасса.

29.  Непрерывность композиции. Непрерывность основных элементарных функций.

30.  Графики основных элементарных функций.

31.  Дифференцируемость функции. Дифференциал. Производная. Правила дифференцирования.

32.  Производные основных элементарных функций.

33.  Дифференцирование композиции. Производная обратной функции.

34.  Производные высших порядков.

35.  Дифференциалы. Инвариантность формы первого дифференциала. Приращение функции. Эластичность функции.

36.  Стационарные точки. Теорема Ферма. Теорема Ролля.

37.  Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Формула Тейлора.

38.  Остаточный член формулы Тейлора.

39.  Основные разложения по формуле Тейлора.

40.  Правила Лопиталя.

41.  Геометрический и экономический смысл первой и второй производной.

42.  Монотонность. Критерий постоянства. Критерий монотонности, критерий строгой монотонности.

43.  Локальный экстремум, необходимое условие. Исследование стационарных точек.

44.  Острый экстремум. Глобальный экстремум.

45.  Выпуклость, критерии выпуклости. Перегибы.

46.  Асимптоты. План исследования функции.