Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет –
Высшая школа экономики»
Факультет психологии
Программа дисциплины
Математические методы в психологии
для направления 030300.62 – Психология
подготовки бакалавра
Автор: старший преподаватель
Рекомендована секцией УМС ______________________________ Председатель ______________________________ «_____» __________________ 2010 г. | Одобрена на заседании кафедры высшей математики Зав. кафедрой к. ф.-м. н., проф. «_____» _____________ 2010 г. |
Утверждена УС Ученый секретарь ______________________________ «_____» __________________ 2010 г. |
Москва, 2010
I.Пояснительная записка.
Требования к студентам: знание курса математики по программе средней общеобразовательной школы, базовый курс информатики.
Аннотация: Курс ставит одной из своих целей привить необходимую математическую культуру использования науки в социально-экономической и деловой сферах; обучение математическим методам на материале, включающем количественные характеристики социально-экономических, психологических процессов и явлений.
Теперь уже не обсуждается вопрос, стоит ли преподавать математику гуманитариям, она давно преподается. Вопрос в том, как ее им преподавать. Проблема здесь, в первую очередь, психологическая, так как, почему-то многие относят математику к самой, что ни на есть, точной науке, ставя равенство между математикой и техническими дисциплинами, вторая – некачественное преподавание математики в школе.
Автор же считает, что математика – самая гуманитарная и, несомненно, самая гуманистическая наука. Ее следует ставить в один ряд с поэзией, музыкой. И изучать ее могут все, в том числе и юристы, и врачи, и теологи, и журналисты, и музыканты, и др. И не потому, что «любая наука достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой» (для психологии актуально), но ради формирования стиля мышления, ощущения гармонии, и т. п. В этом общепедагогическая значимость дисциплины.
Психологам же, помимо названных причин, математика необходима именно в прикладном значении: математические методы в психологии, др. невозможно изучать без классического курса математики, теории вероятностей, математической статистики. Психология – наука математическая.
Объем теоретического материала не велик. Курс построен так, что не требуется углубленная школьная подготовка, но при его изучении предполагается наличие терпения, аккуратности и воли. Наличие мощных программных средств, в том числе математического направления, позволяют не концентрироваться на громоздких рутинных операциях, появляется время для анализа, выводов, философии: какую роль играет математика в формировании мировоззрения, становления психики человека, и т. д.
К важнейшим аспектам общеобразовательной значимости математики для психологов следует отнести:
§ мировоззренческий. Он связан с формированием системного мышления; системного подхода к анализу процессов и явлений окружающего мира;
§ логический. Он связан с формированием и развитием логического мышления; систематизацией знаний об окружающем мире;
§ «пользовательский». Он связан с приобретением и использованием навыков математической постановки и решения классических оптимизационных задач, моделирования, прогнозирования / экстраполяции;
§ творческий. Связан с развитием и формированием творческого мышления, самореализацией личности.
Дидактические цели курса (Учебная задача курса):
Дидактическими целями курса являются:
Знать: основные методы классического математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии. Основные направления приложений методов математического анализа и линейной алгебры в современной области социальных наук.
Уметь: использовать полученные знания при постановке прикладных задач, их решении; содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты; правильно и уместно использовать математическую терминологию в своей профессиональной деятельности.
Понимать: роль математики в исследовании социально-экономических, психических процессов и явлений, роль логической культуры в становлении взаимоотношений между людьми, становлении личности, формировании качеств личности, т.п.
Исследовать: возможности использования, применения полученных знаний в профессиональной деятельности, развития творческого, логического, парадоксального и др. типов мышления, самоактуализации.
Форма контроля:
Изучение «Математики» - 1,2,3,4 модули I курса.
1 модуль – 8 рабочих недель; формы текущего контроля – 1 домашнее задание (срок сдачи*) – 8-я неделя);
2 модуль – 8 рабочих недель; формы текущего контроля – 1 контрольная работа(2-я неделя);
3 модуль – 10 рабочих недель; формы текущего контроля – 2 домашнее задание(срок сдачи – 10-я неделя);
4 модуль – 10 рабочих недель; формы текущего контроля – 2 контрольная работа (срок сдачи – 2-я неделя);
Экзаменационный билет содержит теоретические вопросы (см. III раздел), практические задания. Один из дополнительных вопросов – творческий – «математика в психологии» обязателен для каждого билета, оценивается дополнительно.
По желанию, студенты могут писать дополнительные рефераты, эссе, тематика которых согласовывается с преподавателем. Этот вид работы оценивается отдельно, так как не является обязательным, и учитывается при выставлении итоговой оценки.
Итоговая оценка за первый семестр (1-й и 2-й модули):
Итоговая оценка за второй семестр (3-й и 4-й модули):
где:
– оценка за контрольную работу (i=1,2);
– средняя арифметическая оценка за текущую работу в каждом семестре;
– оценка за i –ое домашнее задание (i=1,2);
- оценка, полученная на зачете;
– оценка, полученная на экзамене;
Итоговая оценка (годовая):
,
где :
, 
– оценка за 1-й, 2-й, семестры;
– итоговая оценка.
Все формы контроля оцениваются по 10-балльной шкале с округлением до целых единиц.
Итоговая оценка по 5-балльной и по 10-балльной шкале проставляется в ведомость и зачетную книжку студента.
Оценка "отлично" по 5-балльной шкале соответствует 8, 9, 10 по 10-балльной шкале; "хорошо" – 6, 7; "удовлетворительно" – 4, 5; "неудовлетворительно" – 1, 2, 3.
-Тематика контрольных работ
Контрольная работа №1. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Контрольная работа №2. Производная функции одного аргумента. Интегралы. Производные функций многих переменных.
-Тематика домашних заданий.
Домашнее задание №1. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Домашнее задание №2
Предел функции у=f(х). Производная функции у=f(х). Дифференциал функции у=f(х). Полное исследование функции у=f(х). Интегралы. Производные функций многих переменных.
Лаборатoрные работы.
Лабораторная работа № 1. Метод наименьших квадратов.
Лабораторная работа № 2. Практический гармонический анализ.
3. Методические указания студентам:
Домашние задания, эссе, рефераты, т. п. рекомендуется выполнять в Word’e, с соблюдением соответствующих ГОСТов.*)
5. Рекомендации по использованию информационных технологий.
Все изучаемые разделы допускают использование информационных технологий в той или иной мере.
Для вычислительных операций, экспериментальной работы рекомендуются:
- Mathcad. Компьютерная программа for Windows;
- Maple. Компьютерная программа for Windows;
- Excel. Компьютерная программа for Windows; и другие.
Для эссе, рефератов, домашних заданий, т. д. рекомендуется Word.
II. Содержание программы “Математика”.
Раздел 1. "Основы линейной алгебры и аналитической геометрии"
Матрицы и операции над ними. Определитель, его свойства и методы вычисления. Минор, алгебраическое дополнение. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Методы решений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод, метод подстановки. Геометрическая интерпретация решения. Понятие устойчивости решения. Однородные системы линейных уравнений.
Векторы и операции над ними. Разложение вектора по базису. Линейно зависимые, линейно независимые системы векторов.
Собственные значения и собственные векторы.
Прямая и плоскость в 
.
Раздел 2. "Основы математического анализа".
Функции и их графики. Способы задания функций. Свойства. Сложная функция. Обратная функция. Функция, заданная неявно.
Последовательность. Свойства. Предел последовательности.
Предел функции 
. Теоремы о пределах. 1-й, 2-й замечательные пределы. Бесконечно большие, бесконечно малые функции.
Непрерывность функции. Основные теоремы. Классификация точек разрыва.
Производная функции в точке. Геометрический смысл производной. Основные теоремы. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Исследование функций. Применение производных для исследования функций. Экстремальные задачи и их решение.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Методы интегрирования некоторых классов элементарных функций.
Определенный интеграл функции на отрезке 
как предел интегральных сумм. Геометрический смысл. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла.
Несобственный интеграл.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Функции многих переменных. Производные функций многих переменных. Дифференциал. Экстремумы функции многих переменных.
Числовые ряды (знакоположительные, знакочередующиеся). Основные определения. Необходимые признаки сходимости. Достаточные признаки сходимости.
Функциональные ряды. Степенной ряд. Область сходимости.
Ряд Фурье. Гармонический анализ.
Tематический расчет часов.
(1-4 модули 1-го курса)
№ п/п | Наименование разделов и тем | Аудиторные часы – лекции | Аудиторные часы – семинары | Часы самостоятельной работы |
1 | Раздел 1. "Основы линейной алгебры и аналитической геометрии" | 12 | 12 | 40 |
Тема 1. Матрицы и определители. | 4 | 4 | 10 | |
Тема 2. Системы линейных уравнений. | 2 | 2 | 10 | |
Тема 3. Векторы. | 2 | 2 | 5 | |
Тема 4. Собственные значения и собственные векторы. | 2 | 2 | 5 | |
Тема 5. Прямая и плоскость. | 2 | 2 | 10 | |
2 | Раздел 2. "Основы математического анализа" | 40 | 40 | 90 |
Тема 1. Функции и графики. | 2 | 2 | 4 | |
Тема 2. Последовательность. | 2 | 2 | 4 | |
Тема 3. Предел функции. | 2 | 2 | 6 | |
Тема 4. Непрерывность функции. | 2 | 2 | 4 | |
Тема 5. Производная функции. Дифференциал. | 4 | 4 | 4 | |
Тема 6.Исследование функции. | 2 | 2 | 10 | |
Тема 7.Первообразная и неопределенный интеграл. | 4 | 4 | 8 | |
Тема 8.Определенный интеграл. | 2 | 2 | 6 | |
Тема 9.Несобственный интеграл. | 2 | 2 | 4 | |
Тема 10.Обыкновенные дифференциальные уравнения. | 4 | 4 | 8 | |
Тема 11.Функция многих переменных. Производная. Дифференциал. | 2 | 2 | 8 | |
Тема 12. Экстремумы функции многих переменных. | 4 | 4 | 10 | |
Тема 13. Числовые ряды. | 4 | 4 | 4 | |
Тема 14.Функциональные (степенные) ряды. Ряды Фурье. | 4 | 4 | 10 | |
Итого | 52 | 52 | 130 |
Всего: учебных часов –234.
Из них: аудиторных часов – 102:
в том числе :
лекций – 52;
семинарских занятий – 52;
часов самостоятельной работы –130.
Тематика заданий по различным формам контроля:
- Примерная*) тематика эссе, рефератов:
1. Роль математики и математического образования в современном мире.
2. Что такое математическое моделирование.
3. Математика и философия.
4. Математика и психология(приветствуются различные вариации).
5. Российская сборная по математике без москвичей.
6. О числах 7, 666, 1937.( О каждом – отдельно. О других числах.).
7. Почему (-3)*2=8, а 14+4=16, или как учат математике в средней школе?
8. «Пополам», «надвое», «напополам», «функция ограничена сбоку», … . Как лучше? О математической терминологии.
9. Евклид, Лобачевский, Риман. Что общего? В чем разница?
10. С. Ковалевская и математика.
11. Математикам не присуждают Нобелевскую премию.
12. Теорема Пуанкаре, Григорий Перельман, премия Дж. Ч. Филдза.
13. Почему « в Москве нет неба»? (Бразильский джаз-музыкант 19 ноября 2002г. в Москве)
14. Математика и музыка.
15. Интуиция и неявное знание в математике.
16. Кто и как учится на учителя математики.
17. Король (?) математики К. Гаусс.
18. Великие математики (на выбор студента).
19. Ошибки в математических рассуждениях.
20. Великие парадоксы математики.
21. О теории игр.
22. О теории голосования.
23. О теории управления.
24. Математика и искусство.
25. Леонардо да Винче и математика.
26. Математика и творчество.
27. Математика и рутина.
28. Математика и самопедагогика.
29. Математика о гармонизации личности, общества.
И т. п.
- Вопросы для оценки качества освоения дисциплины:
1. Матрицы и операции над ними.
2. Определитель, его свойства, вычисление.
3. Минор, алгебраическое дополнение.
4. Ранг матрицы.
5. Обратная матрица.
6. Система линейных уравнений, основные понятия.
7. Теорема Крронекера-Капелли.
8. Методы решения систем линейных уравнений.
9. Однородные системы линейных уравнений. Базисные и свободные переменные.
10. Собственные значения и собственные векторы.
11. Векторы, линейные операции над векторами.
12. Скалярное произведение векторов. Приложения.
13. Векторное произведение векторов. Приложения.
14. Смешанное произведение векторов. Приложения.
15. Линейная зависимость и независимость векторов.
16. Функция. Основные понятия.
17. Способы задания функции. Сложная функция. Обратная функция.
18. Свойства функций.
19. Последовательность. Свойства. Предел последовательности.
20. Односторонние пределы.
21. Предел функции .
22. Основные теоремы о пределах функции.
23. Бесконечно малые функции. Их свойства.
24. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.
25. Бесконечно большие функции. Их свойства.
26. Первый замечательный предел.
27. Второй замечательный предел.
28. Непрерывность функции. Основные понятия.
29. Точки разрыва, их классификация. Примеры.
30. Непрерывность элементарных функций.
31. Свойства функций, непрерывных в точке.
32. Производная функции в точке. Геометрическая интерпретация.
33. Основные теоремы.
34. Производные основных элементарных функций.
35. Производная сложной функции.
36. Дифференциал. Геометрическая интерпретация.
37. Правило Лопиталя.
38. Монотонность функции. Экстремумы.
39. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба.
40. Производные высших порядков функции одного переменного.
41. Производные функции нескольких переменных.
42. Производные высших порядков функции многих переменных.
43. Экстремумы функции многих переменных.
44. Первообразная. Неопределенный интеграл. Геометрическая интерпретация.
45. Свойства неопределенного интеграла.
46. Методы интегрирования: замена переменной.
47. Методы интегрирования: интегрирование по частям.
48. Методы интегрирования некоторых классов элементарных функций: элементарные дроби, рациональные функции, тригонометрические функции.
49. Примеры некоторых интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
50. Определенный интеграл. Геометрический смысл.
51. Свойства определенного интеграла.
52. Формула Ньютона-Лейбница.
53. Приложение определенного интеграла.
54. Несобственные интегралы.
55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Геометрический смысл. Задача Коши.
56. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
57. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
58. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
59. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
60. Линейные однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами.
61. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
62. Числовые ряды. Основные понятия. Свойства ряда.
63. Необходимые признаки сходимости ряда.
64. Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера.
65. Достаточные признаки сходимости: признак Коши.
66. Достаточные признаки сходимости: интегральный признак.
67. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
68. Абсолютная и условная сходимость.
69. Степенные ряды. Область сходимости.
70. Ряд Тейлора.
71. Ряд Фурье. Основные понятия.
Автор программы ________________ //
29 августа 2010г.
*) Указан последний срок сдачи работы. Позже – работы не принимаются; засчитывается академическая задолжность (0 баллов).
*) Все уточняется во время консультаций.
*) Студенты могут предложить и свою тематику с учетом личных научных и творческих интересов. В любом случае выбранная тема согласовывается с преподавателем, который является научным руководителем/соруководителем, консультантом.
