Вопросы к экзамену по математике. МРМ, 1й курс, лектор –
Алгебра
1. Линейные операции над матрицами. Свойства (д-во)
2. Произведение матриц. Свойства (д-во).
3. Обратная матрица. Определение и свойства (д-во).
4. Определитель матрицы. Свойства (д-во).
5. Миноры. Вычисление определителя с помощью миноров (вывод).
6. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной (вывод).
7. Метод Гаусса решения СЛУ.
8. Метод Крамера решения СЛУ (вывод).
9. Исследование СЛУ. Виды систем, решение, т. Кронекера-Капелли.
10. Вектор. Определение, операции, свойства операций (д-во).
11. Проекция вектора на ось. Свойства (д-во).
12. Базис. Декартова система координат. Направляющие косинусы.
13. Операции над векторами в декартовом базисе.
14. Скалярное произведение: определение, вычисление (вывод), свойства (д-во)
15. Векторное произведение: определение, вычисление (вывод), свойства (д-во)
16. Смешанное произведение: определение, вычисление (вывод), свойства (д-во)
17. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой (вывод).
18. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
19. Плоскость в пространстве. Вывод уравнений.
20. Прямая в пространстве. Вывод уравнений.
21. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве.
22. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
23. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
24. Кривые второго порядка. Общее уравнение. Виды кривых. Свойства.
25. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы.
Матем. анализ: пределы и дифференциальное исчисление.
1. Определение предела функции в точке. Арифметические свойства предела (д-во).
2. Основные теоремы о пределах: о единственности, о предельном переходе (д-во).
3. Односторонние пределы. Теорема о пределе монотонной функции.
4. Бесконечно большие и бесконечно малые. Теорема о связи б. м.в. с пределом (д-во).
5. Вычисление предела. Неопределенности. Раскрытие неопределенностей.
6. Первый замечательный предел (вывод).
7. Второй замечательный предел (вывод).
8. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
9. Непрерывность функции на интервале. Свойства функций непрерывных на отрезке.
10. Производная. Геометрический смысл, необх. и достаточное условия существования.
11. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции (д-во).
12. Правила дифференцирования (д-во).
13. Логарифмическое дифференцирование.
14. Дифференцирование параметрически заданной функции.
15. Дифференциал. Свойства дифференциала (д-во).
16. Монотонность функции. Условия (д-во).
17. Экстремумы функции. Теорема Ферма. Достаточные признаки.
18. Выпуклость и вогнутость функции. Условия перегиба.
19. Асимптоты. Вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты (вывод уравнения).
20. Функции нескольких переменных. Определение, непрерывность.
21. Дифференцирование функции двух переменных. Частные производные.
22. Дифференциал функции двух переменных.
23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
24. Производная сложной функции нескольких переменных.
25. Производная неявно заданной функции (вывод).
Матем. анализ: интегральное исчисление и дифференциальные уравнения.
1. Неопределенный интеграл: определение и свойства (д-во).
2. Метод интегрирования по частям (вывод).
3. Интегрирование дробно-рациональных функций. Разложение дроби на простейшие.
4. Интегрирование дробно-рациональных функций. Основные дроби, их интегрирование.
5. Интегрирование тригонометрических функций. УТП.
6. Интегрирование иррациональных функций.
7. Определенный интеграл. Определение, теорема существования.
8. Основные свойства определенного интеграла (д-во).
9. Вычисление определенного интеграла (д-во).
10. Теорема о среднем.
11. Замена переменной в определенном интеграле.
12. Несобственный интеграл. Определение, сведение различных случаев к основному.
13. Вычисление площади фигуры в декартовых координатах (вывод).
14. Вычисление площади фигуры в полярных координатах (вывод).
15. Вычисление площади фигуры при параметрическом задании функций (вывод).
16. Вычисление длины дуги (вывод).
17. Определение и понятие решения ДУ.
18. Задача Коши для ДУ 1-го порядка.
19. ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными.
20. Однородные ДУ 1-го порядка.
21. Линейные ДУ 1-го порядка.
22. Уравнение Бернулли.
23. Уравнения высших порядков. Уравнения, не содержащие переменной.
24. Уравнения высших порядков. Уравнения, не содержащие искомой функции.
